Докажите что множество прямых на плоскости континуально

множества — Верно ли, что множество кoнтинyyм

Верно ли, чтo множество пpямыx нa плоскости кoнтинyyм?

Правильно ли я понимаю, что надо делать так:

уравнение прямой $%ax+by+c = 0$%, где $%a,b,c$% — $%R => (a;b;c) = R * R * R = R$% что и требовалось?

задан 5 Ноя ’14 2:08

Не совсем так, потому что здесь нет однозначности. Прямые с пропорциональными коэффициентами в уравнении будут одинаковыми, а тройки разными, поэтому это не биекция. Но сам факт, что прямых континуум, разумеется, верен.

Спасибо, но как тогда избежать повторений и доказать правильно?

1 ответ

В тех случаях, когда непосредственное построение биекции связано с трудностями, желательно применять теорему Кантора — Бернштейна. То есть доказать, что прямых не больше континуума, но и не меньше. Второе очевидно, а для первого уже годится Ваша конструкция: прямых не больше, чем троек, а последних имеется континуум. Но тут можно и по-другому сделать. Прямые однозначно задаются либо упорядоченной парой $%(k;b)$%, если это $%y=kx+b$%, либо числом $%c$%, если это $%x=c$%. Множество пар $%\mathbb R^2$% равномощно $%\mathbb R$% (по Кантору), и тогда возникают две копии $%\mathbb R$%. Их биективно отобразить на $%\mathbb R$% можно многими способами.

отвечен 5 Ноя ’14 4:23

Спасибо, вопрос по Вашему решению: прямую можно задать y = kx + b, если она не параллельна оси OY и x = c, если она параллельна оси OY. Т.е. мы имеем пару (k;b) и с, т.е. надо отразить (R*R V R) в R. Правильно я понимаю? Как это сделать?

@Leva319: да, правильно. Доказать это дело легко, но надо оговорить, на что мы опираемся. Я предлагаю считать известными теорему Кантора — Бернштейна, а также то, что прямая и плоскость равномощны. Это всё равно используется в других задачах, поэтому можно применить, чтобы не говорить лишних слов. Тогда получается, что мощность множества, которое мы рассматриваем, не больше континуума. Плоскость равномощна прямой, а две прямые (это будет $%\mathbb R\cup\mathbb R$% в виде двух разных копий) помещаются на плоскости. Значит, наше множество не более чем континуально. Так проще всего.

Т.е. R * R V R переходит в R V R, т.к. R * R —> R (плоскость, равномощна прямой). В итоге имеем R V R.

Далее Вы пишите, что R V R помещается на плоскости. Что это значит? Что R V R < R * R?

Затем Вы пишите, что множество не более, чем континуально, т.е. R V R <= R?

@Leva319: тут всё просто. Было множество прямых. Мы их закодировали в виде множества пар и чисел (по отдельности). Потом множество пар $%\mathbb R$% превратили в равномощное ему множество $%\mathbb R$%. Получилось две копии множества $%\mathbb R$%. Каждая из них равномощна числовой прямой (это имелось в виду). Рисуем на плоскости два параллельные прямые. Отсюда следует, что мощность нашего множества не превосходит мощности множества точек плоскости, то есть не больше континуума.

Если $%A$% — часть $%B$%, не равная $%B$%, то отсюда не следует $%A < B$%. Верно лишь $%A\le B$% по мощности.

Все понял. Вы доказали, что |A| <= |R| (где А — множество прямых, R — континуум). А как доказать, что |А| >= |R|?

@Leva319: это совсем очевидно. Ясно, что прямых не меньше, чем точек. Достаточно рассмотреть прямые вида $%x=c$%. Их столько же, сколько точек.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Докажите что множество прямых на плоскости континуально

Это как это так? О какой равномощности здесь может идти речь, когда одной прямой принадлежит бесконечное число точек, а через одну точку проходит бесконечное число прямых?
Нет, понятно, есть такое отображение, так как задача изначально считается решимой, но что это за отображение, я понятия не имею:(((

Помогите, пожалуйста, ламеру:(((

Любая точка задается парой чисел, т. е. множество точек равномощно множеству пар чисел.
Любая прямая, непараллельная оси ОУ задается парой чисел (y=kx+b) Единственно, паре(0, 0) прямая не соответствует, но мощность множества пар чисел от удаления одного элемента не изменится. Т. е., множество всех прямых, непараллельных OY, равномощно множеству пар чисел. Если мы добавим к множеству этих прямых прямые, параллельные OY, то мощность, понятное дело, не поменяется. Таким образом, множество прямых и множество пар чисел равномощны. Следовательно, множества точек и прямых тоже равномощны.
Уже предчувствую, что тут через пару часов начнется

Доказательство континуальности

Доказательство теоремы
Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, подробно доказательство следующей теоремы.

Доказательство тавтологии
Выясните, справедливы ли следующие утверждения (если утверждение несправедливо, то постарайтесь.

Доказательство от противного
Доказать что (A \ (A \ B)) \ (A пересекает B) = пустое множество,методом от противного?

Доказательство выражения
Дорогие друзья. Помогите,пожалуйста,доказать это выражение: А-&gt;В, В-&gt;С |— A-&gt;С Я вот думаю.

Множества мощности континуума

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Пусть множество точек отрезка [0, 1] счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x₁, x₂ … x_n, … .

Разобьем отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка x₁, она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D₁, не содержащий точку x₁ (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D₁ и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D₂, не содержащий точку x₂. Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D₁ É D₂ É D₃ É…ÉD_n É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D₁, D₂, D₃,…, D_n, …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x₁, x₂, … x_n, …, т. е. последовательность x₁, x₂ … x_n, …не исчерпывает всех точек отрезка [0, 1], что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥ < x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n-мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

множества — Верно ли, что множество кoнтинyyм

Верно ли, чтo множество пpямыx нa плоскости кoнтинyyм?

Правильно ли я понимаю, что надо делать так:

уравнение прямой $%ax+by+c = 0$%, где $%a,b,c$% — $%R => (a;b;c) = R * R * R = R$% что и требовалось?

задан 5 Ноя ’14 2:08

Не совсем так, потому что здесь нет однозначности. Прямые с пропорциональными коэффициентами в уравнении будут одинаковыми, а тройки разными, поэтому это не биекция. Но сам факт, что прямых континуум, разумеется, верен.

Спасибо, но как тогда избежать повторений и доказать правильно?

1 ответ

В тех случаях, когда непосредственное построение биекции связано с трудностями, желательно применять теорему Кантора — Бернштейна. То есть доказать, что прямых не больше континуума, но и не меньше. Второе очевидно, а для первого уже годится Ваша конструкция: прямых не больше, чем троек, а последних имеется континуум. Но тут можно и по-другому сделать. Прямые однозначно задаются либо упорядоченной парой $%(k;b)$%, если это $%y=kx+b$%, либо числом $%c$%, если это $%x=c$%. Множество пар $%\mathbb R^2$% равномощно $%\mathbb R$% (по Кантору), и тогда возникают две копии $%\mathbb R$%. Их биективно отобразить на $%\mathbb R$% можно многими способами.

отвечен 5 Ноя ’14 4:23

Спасибо, вопрос по Вашему решению: прямую можно задать y = kx + b, если она не параллельна оси OY и x = c, если она параллельна оси OY. Т.е. мы имеем пару (k;b) и с, т.е. надо отразить (R*R V R) в R. Правильно я понимаю? Как это сделать?

@Leva319: да, правильно. Доказать это дело легко, но надо оговорить, на что мы опираемся. Я предлагаю считать известными теорему Кантора — Бернштейна, а также то, что прямая и плоскость равномощны. Это всё равно используется в других задачах, поэтому можно применить, чтобы не говорить лишних слов. Тогда получается, что мощность множества, которое мы рассматриваем, не больше континуума. Плоскость равномощна прямой, а две прямые (это будет $%\mathbb R\cup\mathbb R$% в виде двух разных копий) помещаются на плоскости. Значит, наше множество не более чем континуально. Так проще всего.

Т.е. R * R V R переходит в R V R, т.к. R * R —> R (плоскость, равномощна прямой). В итоге имеем R V R.

Далее Вы пишите, что R V R помещается на плоскости. Что это значит? Что R V R < R * R?

Затем Вы пишите, что множество не более, чем континуально, т.е. R V R <= R?

@Leva319: тут всё просто. Было множество прямых. Мы их закодировали в виде множества пар и чисел (по отдельности). Потом множество пар $%\mathbb R$% превратили в равномощное ему множество $%\mathbb R$%. Получилось две копии множества $%\mathbb R$%. Каждая из них равномощна числовой прямой (это имелось в виду). Рисуем на плоскости два параллельные прямые. Отсюда следует, что мощность нашего множества не превосходит мощности множества точек плоскости, то есть не больше континуума.

Если $%A$% — часть $%B$%, не равная $%B$%, то отсюда не следует $%A < B$%. Верно лишь $%A\le B$% по мощности.

Все понял. Вы доказали, что |A| <= |R| (где А — множество прямых, R — континуум). А как доказать, что |А| >= |R|?

@Leva319: это совсем очевидно. Ясно, что прямых не меньше, чем точек. Достаточно рассмотреть прямые вида $%x=c$%. Их столько же, сколько точек.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Лекции по математической логике / Lec2_G / Lec2

Все рассмотренные до сих пор бесконечные множества были счетными, то есть равномощными множеству N натуральных чисел. Кантору принадлежит следующая замечательная теорема, которая утверждает, что существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Способ, которым доказывается эта теорема, называется “диагональным процессом”, или “диагональной конструкцией” Кантора. Он с успехом используется и во многих других рассуждениях.

Множество C = <0, 1>N всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Пусть X C – любое счетное подмножество. Можно записать: X = 1, x₂, …>. Каждый элемент множества X – бесконечная последовательность: x_j = _j1, _j2, …, где _jk <0, 1>. Построим новую бесконечную последовательность y = 1-₁₁, 1-₂₂, 1-₃₃, …. Заметим, что j: y  x_j, поскольку j-ые члены этих последовательностей различны: _jj  1-_jj. Следовательно, yX и потому X  C. Это и означает, что C несчетно.

Всякое множество равномощное C называется множеством мощности континуума.

Как было отмечено в предыдущем разделе, [0, 1)  C и потому множество точек этого полуинтервала имеет мощность континуума. Множество C совпадает с множеством всех функций, определенных на N и принимающих значения 0 и 1. Каждую такую функцию можно рассматривать как характеристическую для некоторого подмножества N и потому C равномощно множеству P(N) всех подмножеств натурального ряда.

Объединение не более чем счетного числа попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Очевидно, что k [k-1, k)[0, 1). Поскольку и отображение t(x) = nx полуинтервала [0, 1) на [0, n) является взаимно однозначным, теорема верна для конечного объединения. В случае счетного объединения надо рассмотреть взаимно однозначное отображение t(x) = x/(1-x) единичного полуинтервала на [0, ).

Множество R действительных чисел имеет мощность континуума.

Действительно, поскольку добавление одного элемента не меняет мощность бесконечного множества, [0, )(0, ). Остается заметить, что R = (- , 0)<0>(0, ) и применить теорему 2.2. Отметим, что латинское слово континуум, что значит непрерывный, связано именно с этим примером. Само множество R иногда называют “числовым континуумом”( непрерывная совокупность точек-чисел).

Произведение двух (или любого конечного числа) множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Надо доказать, что CC  C. Каждой упорядоченной паре бесконечных последовательностей из нулей и единиц (₁,₂, …; ₁, ₂, …) поставим в соответствие “смешанную” последовательность ₁, ₁, ₂, ₂, … . Это соответствие определяет взаимно однозначное отображение CC → C, что и доказывает теорему.

Из теоремы 2.3 вытекает, что имеется взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости (и даже любого конечномерного пространства!) и множеством всех точек прямой. Интуитивно представляется, что такого соответствия быть не может, поскольку эти множества имеют разную размерность. Оказывается, что интуиция нас не обманывает, если допустимо рассматривать не любые, а всюду непрерывные взаимно однозначные соответствия. Как доказал в начале 20 века голландский математик Л. Брауэр, взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между множествами разной размерности построить нельзя.

Множество R N всех бесконечных последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума.

(R N естественно рассматривать как произведение счетного числа множеств мощности континуума.)

Вместо множества R N удобнее рассматривать равномощное ему множество C N . Элемент x C N можно представлять себе как бесконечную последовательность бесконечных последовательностей из 0 и 1. Записав эти последовательности в строки (бесконечной) матрицы, образуем “зигзаг-последовательность” s(x), как при доказательстве теоремы 1.1 предыдущего раздела. Соответствие x→ s(x) будет взаимно однозначным, откуда и вытекает, что C N  C.

Возникает вопрос: всякое ли несчетное бесконечное множество имеет мощность континуума? Оказывается, что ответ на этот вопрос отрицателен. Мы построим соответствующий пример, применяя некоторую модификацию диагонального метода Кантора.

Множество <0, 1>R всевозможных функций, определенных для всех действительных чисел, и принимающих значения 0 или 1 несчетно и не равномощно C.

Пусть S <0, 1>R состоит из всех таких функций, которые принимают значение 0 во всех точках R\N. Очевидно, что S  <0, 1>N = C и, следовательно, несчетно. Но тогда и все множество <0, 1>R несчетно, так как в противном случае всякое его подмножество было бы не более чем счетно. Пусть F <0, 1>R любое подмножество мощности континуума (мы уже видели, что такие подмножества существуют). Выберем взаимно однозначное отображение  : R→ F. Для каждого xR (x) – функция на R, принимающая значения 0 и 1. Положим: f(x) = 1-((x))(x). Тогда f: R→ <0, 1>. Пусть gF – любая функция и yR число, соответствующее ей при биекции . Имеем: g(y) = ((y))(y)  f(y)  f  g. Итак, fF  F  <0, 1>R и потому множество <0, 1>R не может иметь мощность континуума.

Множество <0, 1>R равномощно P(R ) – множеству всех подмножеств R (см. замечание после теоремы 2.1).

Сравнение мощностей.

Как показывают результаты предыдущего раздела, не все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. Мы уже имели примеры, по крайней мере, трех бесконечных множеств, мощности которых различны. Во-первых, множество натуральных чисел N, мощность которого, а также мощность любого другого счетного множества обозначается א₀ (читается: алеф ноль; алеф – первая буква иврита). Во-вторых, мощность континуума, то есть множества C = <0, 1>N , которая обозначается . И, наконец, мощность множества <0, 1>R = , которую можно обозначить, как . Мы хотим теперь научиться сравнивать мощности – отвечать на вопрос, какое из двух данных множеств имеет большую мощность. Будем в дальнейшем обозначать мощность множества X символом |X|.

Говорят, что |X| ≥ |Y|, если  U X, такое что U  Y. Если |X| ≥ |Y| и в то же время |X|  |Y| , то говорят, что мощность первого множества больше мощности второго:|X| > |Y|.

Например, N R и R несчетно, следовательно, > א₀ . Аналогично, теорема 2.5 показывает, что > .

Отношение порядка, заданное символом “≥” должно обладать свойствами:

a ≥ a (рефлексивность)

(a ≥ b)(b ≥ c)  a ≥ c (транзитивность)

(a ≥ b)(b ≥ a)  a = b (антисимметричность).

Первые два из них очевидны из определения. Третье составляет содержание теоремы Кантора-Бернштейна. (G. Cantor неоднократно формулировал эту теорему, а ее доказательство было дано позднее E. Schrőder΄ом и F. Bernstein΄ом).

a) Если XYZ и XZ, то XYZ.

b) (теорема Кантора-Бернштейна) Если множество X равномощно некоторому подмножеству множества Y, а множество Y, в свою очередь, равномощно некоторому подмножеству множества X, то множества X и Y равномощны.

a) Пусть f : Z→X взаимно однозначное отображение. Из включений ZYX вытекает, что ZX=f(Z) f(Y) f(X). Следовательно, Zf(X)=f 2 (Z) f 2 (Y) f 2 (X) и так далее. Поэтому все включения объединяются в одну цепочку: YXf(Y)f(X)f 2 (Y)f 2 (X)…, которую мы запишем в виде: T₀T₁T₂T₃ … Возникают 2 цепочки равномощных множеств: Y = T₀  T₂  T₄  … и X=T₁ T₃ T₅ … При этом j T_j  T_j+1, откуда вытекает, что . Обозначим эти пересечения U_ и положим U_j = T_j \ T_j+1. Заметим, что f(U_j)=U_j+2 и Y = , а X = , причем все эти множества не пересекаются между собой. Теперь взаимно однозначное отображение H из Y в X можно задать формулой: . Тем самым YX и утверждение a) доказано.

b) Пусть f : X → Y₁ Y и g : Y → X₁ X – биекции. Положим: X₂ = g(Y₁). Тогда X₂ X₁ X , причем X₂  X, а X₁  Y. Применяя a), получаем утверждение теоремы.

Доказанная теорема сильно упрощает обоснование равномощности двух данных множеств. Например, очевидно, что любое множество V точек прямой, содержащее хотя бы одну внутреннюю точку, имеет мощность континуума. В самом деле, по условию V содержит некоторый интервал (a, b) и, применяя к включениям R  V  (a, b) теорему Кантора-Бернштейна, получаем: |V| = . В качестве другого примера обобщим теорему 2.2.

Объединение не более чем счетного числа континуальных множеств имеет мощность континуума.

Пусть P = — конечное или счетное объединение. Построим (как?) систему множеств Q_j  P_j и попарно не пересекающихся. Пусть f_j : Q_j→P_j – взаимно однозначные отображения и . Построим инъективное отображение f : P→Q следующим способом. Если pP₁, то f(p) = f₁(p); если pP_n, но pP₁P₂ …P_n-1, то f(p) = f_n(p). Тогда P  f(P)Q и по определению |P||Q| = по теореме 2.2. С другой стороны, PP₁ и потому |P|≥|P₁| = . Остается применить теорему Кантора-Бернштейна.

Для любого множества X имеем: |P(X)| > |X|.

Эта теорема обобщает теорему 2.5 и доказывается аналогичным методом. Пусть U  P(X) подмножество, состоящее из всех одноэлементных подмножеств X. Тогда UX и по определению |P(X)| ≥ |X|. Пусть W – любое подмножество P(X) равномощное X и f : W → X – биекция. Каждый элемент W это некоторое подмножество X, а f() – элемент множества X. Построим новое подмножество V X по следующему правилу: f()V  f(). Ясно, что W V и потому VW. Следовательно, W  P(X) и P(X) не равномощно X.

Из этой теоремы вытекает, что, отправляясь от данного бесконечного множества можно построить цепочку множеств, в которой каждое следующее будет иметь мощность большую, чем предыдущее.

В заключении укажем на связь сравнения мощностей с существованием отображений специального вида.

Предположим, что X и Y не пустые множества. Тогда:

Инъективное отображение f : X→Y существует тогда и только тогда, когда |X|  |Y|

Сюръективное отображение g:X→Y существует тогда и только тогда, когда |X| ≥|Y|

Если отображение f инъективно, то множества X и f(X)Y равномощны и по определению |X|  |Y|. Обратно, если выполнено это неравенство, то XZY то есть существует биективное отображение f : X→Z. Это отображение можно рассматривать как инъективное отображение X в Y.

Пусть отображение g сюръективно. Тогда X можно представить в виде объединения попарно не пересекающихся подмножеств: , причем все эти подмножества не пусты. В каждом подмножестве выберем произвольный элемент x(y)g -1 (y). Так как подмножества не пересекаются, все выбранные элементы различны, а потому отображение y→x(y) из Y в X будет инъективным и по a) |Y|  |X|, что и требуется. Обратно, если выполнено неравенство пункта b), существует инъективное отображение h : Y → X. Выберем любой элемент y₀Y(Y  !) и положим: . Тогда g сюръективно, что и требуется.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Равномощность прямой и плоскости

Здравствуйте! Слышал где-то, что множество .
И demolishka тут как тут как только мне эта мысль уже пришла
Мда. извиняюсь за тупой вопрос.

Последний раз редактировалось demolishka 27.04.2015, 01:59, всего редактировалось 2 раз(а).

Делить квадрат конечно можно, но что вы будете делать, если я предложу доказать следующий факт: «Если ).
Ну, для любого конечного доказательство верно с точностью до постоянного коэффициента, вообще-то.