Докажите, что число √5 является иррациональным числом
Тогда его можно представить в виде несократимой дроби, а именно √5 = a/b, где a,b — натуральные числа.
Т.к. 5b² делится на 5, то и a² делится на 5.
Тогда a=5c, где c — натуральное.
Получаем 5b² = (5c)², 5b²=25c², b²=5c², а значит что и b делится на 5. Таким образом мы имеем: a делится на 5 и b делится на 5, что противоречит условию, что a/b это несократимая дробь. Следовательно √5 — иррациональное число
Квадратный корень из 5 — Square root of 5
Квадратный корень из 5 — это положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает простое число 5. Его более точно называют главным квадратным корнем из 5, чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Это число появляется в дробном выражении для золотого сечения. В форме surd он может быть обозначен как:
2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089… (последовательность A002163 в OEIS ).
, которая может быть округлена в меньшую сторону до 2,236067977499789696409 % точности. Можно использовать приближение 161/72 (≈ 2,23611) для квадратного корня из пяти. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (прибл.. 4.3 × 10). По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате было вычислено как минимум до 2 000 000 000 000 цифр.
Содержание
- 1 Доказательства иррациональности
- 2 Непрерывная дробь
- 3 Вавилонский метод
- 4 Вложенные квадратные разложения
- 5 Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи
- 6 Геометрия
- 7 Тригонометрия
- 8 Диофантовы приближения
- 9 Алгебра
- 10 Тождества Рамануджана
- 11 См. также
- 12 Ссылки
Доказательства иррациональности
1. Это доказательство иррациональности квадратного корня из 5 использует метод Ферма. od бесконечного спуска :
Предположим, что √5 рационально, и выразим его в наименьших возможных терминах (то есть как полностью сокращенная дробь ) как m / n для натуральных чисел m и n. Тогда √5 может быть выражено в младших числах как 5n — 2m / m — 2n, что является противоречием. (Два дробных выражения равны, потому что приравнивание их, перекрестное умножение и сокращение, как аддитивные члены, дают 5n = m и m / n = √5, что верно согласно посылке. Второе дробное выражение для √5 выражается в младших членах так как, сравнивая знаменатели, m — 2n
2. Это доказательство иррациональности также является доказательством от противоречия :
Предположим, что √5 = a / b, где a / b находится в приведенной форме. Таким образом, 5 = a / b и 5b = a. Если бы b было четным, то b, a и a сделали бы дробь a / b не в сокращенной форме четной. Таким образом, b является нечетным, и, следуя аналогичному процессу, a будет нечетным. Теперь пусть a = 2m + 1 и b = 2n + 1, где m и n — целые числа. Подставляя в 5b = a, мы получаем: 5 (2 n + 1) 2 = (2 m + 1) 2 <\ displaystyle 5 (2n + 1) ^ <2>= (2m + 1) ^ <2>> , что упрощается до: 5 (4 n 2 + 4 n + 1) = 4 m 2 + 4 m + 1 <\ displaystyle 5 \ left (4n ^ <2>+ 4n + 1 \ right) = 4m ^ <2>+ 4m + 1> получается: 20 n 2 + 20 n + 5 = 4 m 2 + 4 m + 1 <\ displaystyle 20n ^ <2>+ 20n + 5 = 4m ^ <2>+ 4m + 1> Вычитанием 1 из с обеих сторон, получаем: 20 n 2 + 20 n + 4 = 4 m 2 + 4 m <\ displaystyle 20n ^ <2>+ 20n + 4 = 4m ^ <2>+ 4m> , что уменьшает на: 5 n 2 + 5 n + 1 = m 2 + m <\ displaystyle 5n ^ <2>+ 5n + 1 = m ^ <2>+ m> Другими словами: 5 n (n + 1) + 1 = m (m + 1) <\ displaystyle 5n (n + 1) + 1 = m (m + 1)>Выражение x (x + 1) является четным для любого целого числа x (поскольку либо x, либо x + 1 четное). Таким образом, это говорит о том, что 5 × чет + 1 = четное или нечетное = четное. Поскольку не существует целого, которое было бы одновременно и четным, и нечетным, мы пришли к противоречию, и √5 является иррациональным.
Непрерывная дробь
Его можно выразить как непрерывная дробь
Конвергенты и Полуконвергенты этой непрерывной дроби имеют следующий вид (черные члены — полуконвергенты):
Преобразователи в непрерывную дробь окрашены в красный цвет; их числители — 2, 9, 38, 161. (последовательность A001077 в OEIS ), а их знаменатели — 1, 4, 17, 72. (последовательность A001076 в OEIS ).
Каждый из них является наилучшим рациональным приближением числа √5; другими словами, оно ближе к √5, чем любое рациональное число с меньшим знаменателем.
Вавилонский метод
Когда √5 вычисляется с помощью Вавилонского метода, начиная с r 0 = 2 и используя r n + 1 = 1/2 (r n + 5 / r n), n-е приближение r n равно 2-й сходящейся дробной части последовательность:
2 1 = 2,0, 9 4 = 2,25, 161 72 = 2,23611…, 51841 23184 = 2,2360679779… <\ displaystyle <\ frac <2><1>> = 2,0, \ quad <\ frac <9><4>> = 2,25, \ quad <\ frac <161><72>> = 2,23611 \ точек, \ quad <\ frac <51841><23184>> = 2,2360679779 \ ldots>
вложенные квадратные разложения
Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к 5 <\ displaystyle <\ sqrt <5>>> :
5 = 3–10 (1 5 + (1 5 + (1 5 + (1 5 + ⋯) 2) 2) 2) 2 = 9 4 — 4 (1 16 — (1 16 — (1 16 — (1 16 — ⋯) 2) 2) 2) 2 = 9 4 — 5 (1 20 + (1 20 + (1 20 + (1 20 + ⋯) 2) 2) 2) 2 <\ displaystyle <\ begin
Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи
Диагональ √5 / 2 полуквадрата образует основу для геометрического построения золотого прямоугольника..
Золотое сечение φ — это среднее арифметическое из 1 и √5. алгебраическое соотношение между √5, золотым сечением и , сопряженным с золотым сечением (Φ = –1 / φ = 1 — φ), выражается в следующих формулах:
5 = φ — Φ = 2 φ — 1 = 1-2 Φ φ = 1 + 5 2 Φ = 1-5 2. <\ displaystyle <\ begin
(См. Раздел ниже для их геометрической интерпретации как разложения прямоугольника √5.)
√5 затем естественным образом фигурирует в выражении замкнутой формы для чисел Фибоначчи, формулы, которая обычно имеет вид записано в терминах золотого сечения:
Частное от √5 и φ (или произведение √5 и Φ) и обратная величина дают интересный образец непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка :
5 φ = Φ ⋅ 5 = 5 — 5 2 = 1,3819660112501051518… = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…] φ 5 = 1 Φ ⋅ 5 = 5 + 5 10 = 0,72360679774997896964… = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…]. <\ displaystyle <\ begin
Ряды сходящихся к этим значениям представляют собой ряды Фибоначчи числа и серии чисел Люка в качестве числителей и знаменателей, и наоборот, соответственно:
Геометрия
треугольник Конвея разложение на гомотетические меньшие треугольники.
Геометрически, √5 соответствует диагонали прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2, как следует из теоремы Пифагора. Такой прямоугольник можно получить, разделив пополам квадрат или поместив два равных квадрата рядом. Вместе с алгебраическим соотношением между √5 и φ, это формирует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата и для построения правильного пятиугольника с учетом его стороны. (поскольку отношение сторон правильного пятиугольника к диагонали равно φ).
Образуя двугранный прямой угол с двумя равными квадратами, которые делят пополам прямоугольник 1: 2, можно увидеть, что √5 также соответствует соотношению между длина куба ребра и кратчайшее расстояние от одной из его вершин до противоположной при прохождении поверхности куба (кратчайшее расстояние при прохождении через внутри куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трех, умноженных на ребро).
Число √5 может быть алгебраически и геометрически связано с √2 и √3, поскольку это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, измеряющими √2 и √3 (опять же, теорема Пифагора доказывает это). Прямоугольники таких пропорций могут быть найдены внутри куба: стороны любого треугольника, определяемого точкой center куба, одной из его вершин и средней точкой стороны, расположенной на одной из граней, содержащих эта вершина и противоположная ей вершина находятся в соотношении √2: √3: √5. Это следует из геометрических соотношений между кубом и величинами √2 (отношение ребер к диагонали, или расстояние между противоположными ребрами), √3 (отношение ребер к диагонали куба) и √5 (отношение просто упомянутое выше).
Прямоугольник с пропорциями сторон 1: √5 называется прямоугольником из пяти корней и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников, основанных на √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… и последовательно построены с использованием диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. Прямоугольник корня 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размером Φ × 1) или на два золотых прямоугольника разных размеров (размером Φ × 1 и 1 × φ). Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размером 1 × φ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между √5, φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корень-5 может быть построен из прямоугольника 1: 2 (прямоугольник корень-4) или непосредственно из квадрата аналогично тому, как это сделано для золотого прямоугольника, показанного на иллюстрации, но с продолжением дуги длины √ 5/2 в обе стороны.
Тригонометрия
Подобно √2 и √3, квадратный корень из 5 широко используется в формулах для точных тригонометрических констант, включая синусы и косинусы каждого угла чья мера в градусах делится на 3, но не на 15. Простейшие из них:
Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц. Поскольку √5 геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра.
диофантовых приближений
Теорема Гурвица в диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число x может быть аппроксимировано бесконечным числом рациональных чисел m / n в самые низкие термины таким образом, что
и что √5 является наилучшим возможным в том смысле, что для любой постоянной, большей, чем √5, существуют некоторые иррациональные числа x, для которых существует лишь конечное число таких приближений.
С этим тесно связано Теорема, что из любых трех последовательных сходящихся pi/qi, p i + 1 / q i + 1, p i + 2 / q i + 2, для числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:
И √5 в знаменателе является наилучшей возможной границей, поскольку подходящие дроби золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более жесткую границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных сходящихся.
Алгебра
Кольцо ℤ [√ − 5] содержит числа образуют a + b√ − 5, где a и b — целые числа, а √ − 5 — мнимое число i√5. Это кольцо является часто цитируемым примером целостной области, которая не является уникальной областью факторизации. Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:
Поле ℚ [√ − 5], как и любое другое квадратичное поле, является абелевым расширением рациональных чисел. Теорема Кронекера – Вебера поэтому гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корней из единицы :
Личности Рамануджана
Квадрат корень 5 появляется в различных тождествах, обнаруженных Шринивасой Рамануджаном с участием цепных дробей.
Корень квадратный из 5 — Square root of 5
Квадратный корень из 5 является положительным вещественным числом , что при умножении на себя, дает простое число 5 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Это число появляется в дробном выражении золотого сечения . В форме сурда это можно обозначить как:
2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089… (последовательность A002163 в OEIS ).
которое можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение 161 / 72 (≈ 2,23611) можно использовать квадратный корень из пяти. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, он отличается от правильного значения менее чем на 1 / 10 000 (прибл. 4,3 × 10 −5 ). По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате составляло не менее 2000000000000 цифр.
СОДЕРЖАНИЕ
Доказательства иррациональности
1 . Это доказательство иррациональности квадратного корня из 5 использует метод бесконечного спуска Ферма :
Предположим, что √ 5 рационально, и выразим его в наименьших возможных выражениях (т. Е. Как полностью уменьшенная дробь ) как м / п для натуральных чисел m и n . Тогда √ 5 может быть выражено в более низких терминах как 5 н — 2 м / м — 2 н Противоречие. (Два дробных выражения равны, потому что приравнивание их, перекрестное умножение и сокращение, как аддитивные, дает 5 n 2 = m 2 и м / п = √ 5 , что верно по посылке. Второе дробное выражение для √ 5 выражается в младших членах, поскольку при сравнении знаменателей m — 2 n < n, поскольку m <3 n, поскольку м / п <3, поскольку √ 5 <3 . И числитель, и знаменатель второго дробного выражения положительны, поскольку 2 < √ 5 < 5 / 2 а также м / п = √ 5. )
2 . Это доказательство иррациональности также является доказательством от противного :
Непрерывная дробь
Его можно выразить в виде непрерывной дроби
Подходящие и полуконвергентные этой непрерывной дроби следующие (черные члены — полуконвергенции):
Подходящие дроби непрерывной дроби окрашены в красный цвет ; их числители — 2, 9, 38, 161, . (последовательность A001077 в OEIS ), а их знаменатели — 1, 4, 17, 72, . (последовательность A001076 в OEIS ).
Каждый из них является наилучшим рациональным приближением из √ 5 ; другими словами, оно ближе к √ 5, чем любое рациональное число с меньшим знаменателем.
Вавилонский метод
Когда √ 5 вычисляется вавилонским методом , начиная с r 0 = 2 и используя r n +1 = 1 / 2 ( г н + 5 / r n ) , То п — й аппроксимант г п равно 2 н й сходящейся последовательности сходящейся:
Вложенные квадратные расширения
Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к : 5 <\ displaystyle <\ sqrt <5>>>
Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи
Золотое отношение φ является средним арифметическим из 1 и √ 5 . Алгебраическое соотношение между √ 5 , золотое сечение и конъюгат золотой пропорции ( Φ = –1 / φ = 1 — φ ) выражается следующими формулами:
(См. Раздел ниже для их геометрической интерпретации как разложения прямоугольника √ 5. )
Тогда √ 5 естественным образом фигурирует в закрытом выражении для чисел Фибоначчи , формуле, которая обычно записывается в терминах золотого сечения:
Частное от √ 5 и φ (или произведения √ 5 и Φ ) и его обратная величина дают интересный образец непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка :
Ряды подходящих к этим значениям представляют собой ряды чисел Фибоначчи и ряды чисел Люка в качестве числителей и знаменателей и наоборот, соответственно:
Геометрия
Геометрически , √ 5 соответствует диагонали из прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это видно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или поместив два равных квадрата рядом. Вместе с алгебраической связью между √ 5 и φ , это формирует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата, а также для построения правильного пятиугольника с учетом его стороны (поскольку отношение сторон к диагонали в правильном пятиугольник равен φ ).
Образуя двугранный прямой угол с двумя равными квадратами, которые делят пополам прямоугольник 1: 2, можно увидеть, что √ 5 также соответствует отношению между длиной ребра куба и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной. , при прохождении по поверхности куба (кратчайшее расстояние при прохождении через внутреннюю часть куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трехкратного ребра).
Число √ 5 может быть алгебраически и геометрически связано с √ 2 и √ 3 , так как это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами размером √ 2 и √ 3 (опять же, теорема Пифагора доказывает это). Прямоугольные треугольники таких пропорций можно найти внутри куба: стороны любого треугольника, определяемые центральной точкой куба, одной из его вершин и средней точкой стороны, расположенной на одной из граней, содержащих эту вершину, и противоположных ей. , находятся в соотношении √ 2 : √ 3 : √ 5 . Это следует из геометрических соотношений между кубом и величинами √ 2 (отношение ребер к диагонали или расстояние между противоположными ребрами), √ 3 (отношение ребер к диагонали куба) и √ 5 (отношение просто упомянутый выше).
Прямоугольник с пропорциями сторон 1: √ 5 называется прямоугольником из пяти корней и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , основанных на √ 1 (= 1), √ 2 , √ 3 , √ 4 (= 2), √ 5 … и последовательно построенные по диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. Прямоугольник корня 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размером Φ × 1 ) или на два золотых прямоугольника разных размеров (размеров Φ × 1 и 1 × φ ). Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размером 1 × φ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между √ 5 , φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корень 5 может быть построен из прямоугольника 1: 2 (прямоугольник корень 4) или непосредственно из квадрата аналогично тому, как это сделано для золотого прямоугольника, показанного на иллюстрации, но с продолжением дуги длины √ 5 / 2 в обе стороны.
Тригонометрия
Подобно √ 2 и √ 3 , квадратный корень из 5 широко используется в формулах для точных тригонометрических констант , в том числе в синусах и косинусах каждого угла, величина которого в градусах делится на 3, но не на 15. Простейшими из них являются
Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . Поскольку √ 5 геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра .
Диофантовы приближения
Теорема Гурвица в диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число x может быть аппроксимировано бесконечным числом рациональных чисел. м / п в самые низкие сроки таким образом, чтобы
и что √ 5 является наилучшим возможным в том смысле, что для любой постоянной, большей, чем √ 5 , существуют некоторые иррациональные числа x, для которых существует только конечное число таких приближений.
С этим тесно связана теорема о том, что любых трех последовательных подходящих дробей п я / q я , п я +1 / д я +1 , p i +2 / д я +2 , числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:
И √ 5 в знаменателе является наилучшей возможной оценкой, поскольку подходящие дроби золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более жесткую границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных сходящихся.
Алгебра
Кольцо ℤ [ √ -5 ] содержит числа вида а + б √ -5 , где и Ь являются целыми числами и √ -5 представляет собой мнимое число я √ 5 . Это кольцо является часто цитируемым примером целостной области, которая не является уникальной областью факторизации . Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:
Поле ℚ [ √ -5 ] , как и любой другой квадратичного поля , является абелево расширение рациональных чисел. Таким образом, теорема Кронекера – Вебера гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корней из единицы :
Личности Рамануджана
Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шринивасой Рамануджаном, с использованием непрерывных дробей .
Докажите что корень из 5 иррациональное число
- $sqrt $ для любого натурального $n$, не являющегося точным квадратом;
- $e^ $ для любого рационального $x
eq 0$ ; - $ln x$ для любого положительного рационального $x
eq 1$ ; - $pi$, а также $pi^ $ для любого целого $n
eq 0$ .
$$0,1010010001 ldots+0,0101101110 ldots=0,111111=0,(1)=frac<1><9>$$
$$3 cdot n^<2>=(3 cdot k)^ <2>Leftrightarrow 3 cdot n^<2>=9 cdot k^ <2>Leftrightarrow n^<2>=3 cdot k^<2>$$
