Докажите что множество рациональных чисел счетно

Счетность множества рациональных чисел.

Школьная математика имеет дело в основном с рациональными числами.

Рациональным числом называется число вида:

Что мы умеем делать с этими числами?

1) Складывать и вычитать:

Если, то

2) Умножать и делить:

Если

Но в связи с изучаемыми понятиями для нас нужна следующая теорема.

Теорема. Множество рациональных чисел счетно.

Представим множество всех рациональных чисел в виде бесконечной таблицы.

Оценим, как строятся строки этой таблицы.

Первая строка – это все целые числа, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.

Вторая строка – это все несократимые дроби со знаменателем 2, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.

Третья строка – это все несократимые дроби со знаменателем 3, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.

Вообще,n-ая строка это все несократимые дроби со знаменателем n, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.

Очевидно, что в этой таблице находятся все рациональные числа. Используя снова прием диагонализации представим R в виде:

Так как R представилось в форме последовательности, то отсюда следует, что R –счетное множество. 

Соответствие точка-число. Вещественные числа.

Разберем сначала правило, которое каждой точке прямой линии ставит во взаимно-однозначное соответствие некоторое число

Пусть имеется некая бесконечная прямая. Проделаем следующее:

На этой прямой выберем какую-то точку, которую будем считать за начало отсчета. Этой точке поставим в соответствие число +0,0000…

Будем считать, что если точка расположена правее начала отсчета, то соответствующее ей число имеет знак +, а если левее – то знак –. Тем самым на прямой будет задано направление.

Выберем некоторый отрезок, длину которого будем считать за 1.

Пусть М – некоторая точка прямой, расположенная скажем, правее точки отсчета. Будем откладывать от начала отсчета единичные отрезки до тех пор, пока конец не “перескочит” точку М. Сколько раз этот единичный отрезок уложится до точки М определит нам целую часть числа, соответствующего этой точке (на рисунке +2).

Разделим отрезок, равный 1 на 10 равных частей, и от последней точки будем откладывать теперь этот отрезок, равный . Сколько раз он уложился до точки М, определит нам первую цифру числа после запятой (на рисунке +2,6)

Разделим отрезок,равный снова на 10 равных частей, и от последней точки будем откладывать теперь этот отрезок, равный . Сколько раз он уложился до точки М, определит нам вторую цифру числа после запятой (на рисунке +2,63)

Разделим отрезок, равный снова на 10 равных частей, и …

Продолжая этот процесс деления отрезка на 10 равных частей неограниченное число раз, мы и получим число, соответствующее точке М нашей прямой (см. на рис. +2,6375…).

Сделаем только одну важную оговорку. Что делать, если на каком-то этапе конец отрезка “воткнется” в точку М, т.е. совпадет с ней? Здесь, конечно, дело вкуса. Для определенности договоримся, что мы всегда будем откладывать отрезок по недостатку, т.е. так, чтобы его конец не превосходил точки М и не совпадал с ней. Поэтому, скажем, точке М, расположенной на расстоянии ½ длины единичного отрезка будет соответствовать число +0,49999… а не число +0,5000… Эта оговорка гарантирует нам взаимную однозначность соответствия точкачисло.

Итак, каждой точке взаимно однозначно поставлено в соответствие некая бесконечная десятичная дробь, называемая вещественным числом. Дадим точное определение этим числам.

Вещественным числом называется бесконечная десятичная дробь вида:

где ЗНАК

а все цифры a_i после запятойпринадлежат множеству

Запрещаются числа вида:

Существует особое число +0,0000…

Какое же соотношение между рациональными и вещественными числами?Конечно,каждое рациональное число можно также можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. рациональные числа входят во все множество вещественных чисел. Но эти дроби будит обязательно периодическими. Например, .

А если получающаяся дробь непериодическая, например такая +0,101001000100001…? Тогда она соответствует так называемому иррациональному числу.

Итак,<вещ.числа>=<рац.числа><иррац.числа>, где <рац. числа>— это периодические десятичные дроби, а <иррац. числа>это непериодические десятичные дроби.

Пусть даны два вещественных числа:

Будем считать, что a=b, если:

т.е. если у них одинаковые знаки и совпадают все соответствующие друг другу цифры.

Докажите что множество рациональных чисел счетно

Выше мы определили понятие равенства множеств. Для характеристики степени насыщенности бесконечных множеств элементами удобным является понятие эквивалентности множеств. Множество называется бесконечным, если в множестве имеются элементы, количество которых больше . Два множества и называют эквивалентными, и при этом пишут , если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , т. е. существует такое правило, закон, по которому соответствует вполне определенный элемент . При этом, в силу этого правила, двум разным элементам соответствуют два разных элемента и каждый элемент соответствует некоторому элементу .

Например, если — множество точек на окружности радиуса , — множество точек на концентрической окружности радиуса , то очевидно, что (рис. 6).

Очевидно, что если , то .

Если , то множество называется счетным. Естественно, что само множество натуральных чисел является счетным (соответствие устанавливается по схеме ). Множество всех четных натуральных чисел эквивалентно всему множеству , причем соответствие устанавливается по схеме . Отметим, что здесь , . Таким образом, истинное подмножество (часть) множества оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство присуще только бесконечным множествам (его можно принять за определение бесконечного множества).

Из определения счетности множества вытекает, что его элементы можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записывать в виде последовательности его элементов:

Счетная (теоретико-множественная) сумма.

счетных (или конечных) множеств есть счетное множество. В самом деле, запишем элементы в виде таблицы:

Перенумеруем их в следующем порядке:

выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь может случиться, что и имеют общие элементы. В результате, получим бесконечную последовательность элементов , очевидно, исчерпывающих множество . Это доказывает, что — счетное множество.

Аналогично доказывается, что конечная сумма счетных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счетное, счетна.

Теорема 1. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство. Рассмотрим сначала положительные рациональные числа . Назовем натуральное число высотой рационального числа . Пусть — множество всех рациональных чисел с высотой, равной . Множества состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например

Легко видеть, что ,

Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе нумерации те, которые были уже занумерованы на более раннем этапе. В результате получим последовательность

Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа. Значит, счетно. Далее, очевидно, что счетно. Поэтому все множество рациональных чисел также счетно.

Теорема 2. Множество всех действительных чисел несчетно.

Доказательство. Для доказательства достаточно установить, что множество действительных чисел интервала образует несчетное множество. Допустим противное, что интервал есть счетное множество, т. е. все его точки можно перенумеровать:

Но это предположение противоречиво. В самом деле, построим вещественное число , где цифры подобраны так, чтобы и . Ясно, что , однако не совпадает ни с одним из чисел , так как иначе должно было бы быть , что не имеет места.

Вопрос 4. Счетность множества рациональных чисел.

ТЕОРЕМА 1. Множество Q всех рациональных чисел является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что счетным является множество Q+, т.е. множества всех положительных рациональных чисел.

Поэтому по теореме: Объединение счетного множество счетных множеств, есть счетное, множество всех дробей рассмотренного вида является счетным, т.е. счетным является Q+. Рассмотрим теперь множество Q- (множество всех отрицательных рациональных чисел). Оно также является счетным, ведь эквивалентное множеству Q+. Когда теперь учесть, что Q=Q₊ÈQ_–È<0>,и использовать след. теоремы: Объединение конечного числа счетных множеств является счетным множествам, Объединение конечного множества и множество счетного есть множество счетное, то получим, что множество Q будет счетным.

ИТОГ. Множество всех рациональных чисел, которые принадлежать любому отрезку, является счетным.

ТЕОРЕМА 2. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х₁, х₂, . х_n, каждый из которых независимо один от второго принимает счетное множество значений, то множество А является счетным

ИТОГ 1. Множество всех пунктов (х, у) плоскости, в которых обе координаты являются рациональными числами, будет счетным.

В общем случае множества всех пунктов n-мерной эвклидовой просторы с рациональными координатами будет счетным.

ИТОГ 2. Множество всех многочленов Р_n(x)=a₀x n +a₁x n – 1 +. +a_n с рациональными коэффициентами, является счетным.

Множество всех рациональных чисел счетно

В поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (чита­тель, конечно, помнит, что рациональными называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рацио­нальные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положитель­ные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рацио­нальных чисел заведомо нет наименьшего чис­ла, каким является единица среди натураль­ных чисел: ведь каково бы ни было положительное рациональное число r, число

также является положительным рациональным чис­лом, и оно меньше, чем r. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа r₁, которое со­гласимся считать первым. Но тогда на следую­щем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. не­посредственно следующим в порядке нашего счета за числом r₁? Дело в том, что, какое бы рациональное число r₂>r₁мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем r₁, и меньшие, чем r₂, и таких бесконечное мно­жество, например числа:

Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших, чем выбранное нами число r₁, нет наименьшего. Какое же объявить пер­вым из следующих за r₁? Но возникшая труд­ность — кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возраста­ющим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать ра­циональные числа как-нибудь иначе, не стре­мясь к тому, чтобы число r₂, первое после r, в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следую­щих за r₁. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко. В самом деле, каждое положительное ра­циональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби

(целое число nбудем при этом записывать в виде дроби

и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби

— натуральное число q+р.

Под высотой рационального числа будем пони­мать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного ра­ционального числа.

Посмотрим, сколько приходится рациональ­ных чисел на каждую данную высоту.

Высоту 1 не имеет ни одно положительное рациональ­ное число (потому что, записывая рациональное число в виде несократимой дроби

видим, что ее высота равна натуральному числу р+q, а так как p ≥ 1, q ≥1 , то р+q ≥2 ).

Высоту 2 имеет, очевидно, единственное рациональное число

Высоту 4 имеют дроби

Среди них оставляем лишь несократимые

Итак, высоту 4 имеют рациональные числа 1/3 и 3.

Высоту 5 имеют дроби

среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа. Высоту 6 имеют дроби

среди которых несократимыми являются лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6 имеют числа

Продолжая рассуждать таким образом даль­ше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой.

В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,

Их конечное число: h-1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начи­наем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и со­считывая то (всегда конечное) число рациональ­ных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r₁получает

номер 1. Далее идут два числа:

и r₃=2 высоты 3, потом два числа:

высоты 4, потом четыре числа:

r₉=4 высоты 5, два числа:

r₁₁=5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через n_h обозначено число рациональных чи­сел высоты h):

• МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
• ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
• Множества конечные и бесконечные
• Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами
• Множество всех рациональных чисел счетно
• Множество всех действительных чисел не счетно. Г. КанторФокус геометрии движения
• Мощность множестваСвойства совершенных чисел

Итак, множество всех положительных ра­циональных чисел есть счетное множество.