Какое из двух множеств является подмножеством другого a или aub

Ответы к странице 217 №827-832 ГДЗ к учебнику "Математика" 6 класс Дорофеев, Шарыгин

а) Множество A является подмножеством AUB.

б) Множество A∩B является подмножеством множества A.

Задание № 828

Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от деления на 4? Назовите их. Какому классу принадлежит число 100, 50, 43, 17? Приведите свои примеры чисел, относящихся к каждому классу.

Разбиение множества натуральных чисел по остаткам от деления на 4 содержит 4 класса:
1 класс − остатки равны 0, например: 12, 20;
2 класс − остатки равна 1, например: 13, 21;
3 класс − остатки равна 2, например: 14, 22;
4 класс − остатки равна 3, например: 15, 23.
число 100 принадлежит 1 классу;
число 50 принадлежит 3 классу;
число 43 принадлежит 4 классу;
число 17 принадлежит 2 классу.

Задание № 829

Постройте разбиение множества натуральных чисел на классы, используя два признака: четность и кратность 5. Вам поможет следующая таблица.
Опишите словами каждый класс и приведите примеры относящихся к нему чисел.
Подсказка. A − это множество четных чисел, кратных 5.

A − это множество четных чисел, кратных 5;
B − это множество четных чисел, не кратных 5;
C − это множество нечетных чисел, кратных 5;
D − это множество нечетных чисел, не кратных 5.

Задание № 830

Найдите значение выражения:
а) 2a − b при a = 5, b = −10;
б) ab − 60 при a = −6, b = 3.

а) 2a − b при a = 5, b = −10:
2 * 5 − (−10) = 10 + 10 = 20

б) ab − 60 при a = −6, b = 3:
−6 * 3 − 60 = −18 − 60 = −78

Задание № 831

На координатной прямой (рис.10.8) отмечены точки A, B, C и D. Координаты точек B и D известны. Найдите координаты точек A и C.

10 (клеточек) − между точками B и D;
3 − (−2) = 3 + 2 = 5 (единиц) − между точками B и D;
10 : 5 = 2 (клеточки) − соответствуют одной единице;
6 (клеточек) − между точками A и B;
6 : 2 = 3 (единицы) − между точками A и B;
−2 − 3 = −5 − координата точки A;
4 (клеточки) − между точками C и D;
4 : 2 = 2 (единицы) − между точками C и D;
3 − 2 = 1 − координата точки C.
Ответ: A(−5); C(1).

Задание № 832

Найдите расстояние между самыми удаленными и самыми близкими точками двух окружностей, если:
а) радиусы окружностей равны 3 см и 4 см, а расстояние между центрами 10 см;
б) радиусы окружностей равны 2 см и 5 см, а расстояние между центрами 1 см.
Подсказка. Сделайте схематический рисунок: начните с изображения точек, являющихся центрами окружностей.

а) 1) 10 + 3 + 4 = 17 (см) − расстояние между самыми удаленными точками окружностей;
2) 10 − (3 + 4) = 10 − 7 = 3 (см) − расстояние между самыми близкими точками окружностей.

б) 5 + 2 + 1 = 8 (см) − расстояние между самыми удаленными точками окружностей;
5 − (2 + 1) = 5 − 3 = 2 (см) − расстояние между самыми близкими точками окружностей.

Какое из двух множеств является подмножеством другого a или aub

– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;

6) Какое множество является подмножеством другого множества? Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :

Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:

:

Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :

г)Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

.

12) Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трёх множеств.

( ) C ( ) C

A B A B

D D

Композицией бинарных отношений и , заданных на множестве , называют отношение такое, что

Отношение называется транзитивным, если из и следует «.

Подмножества множеств. Алгебра подмножеств

Два множества A и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Из этого принципа следует, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся элементом одного из них и не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не содержат элементов, то они не различимы и поэтому пустое множество – единственно.

Подмножества. Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент A является элементом B.

.

Следствие 1. Очевидно, для любого множества A, т.к. каждый элемент из A есть элемент из A.

Следствие 2. Для любого множества A, , ибо если бы пустое множество не являлось подмножеством A, то в пустом подмножестве существовали бы элементы, не принадлежащие A. Однако пустое множество не содержит вообще ни одного элемента.

Если , то пишут, и если, то A – собственное подмножество B.

Понятие подмножества множеств позволяет легко формализовать понятие равенства двух множеств.

Утверждение. Для любых A и B

. (1.1)

Логическую эквивалентность, определяемую выражением (1.1) используют как основной способ доказательства равенства двух множеств.

Замечание. Отношение включения  обладает рядом очевидных свойств:

(рефлексивность);

(транзитивность).

Для любого множества X можно определить специальное множество всех подмножеств множества X, которое называется булеаном ℬ, которое включает в себя само множество X, все его подмножества и пустое множество .

Пример. Пусть – это множество, состоящее из трех элементов. Тогда булеанℬ(X) это множество:

ℬ

Собственными подмножествами ℬ(X) являются следующие множества:

В общем случае, если множество X содержит n элементов, то множество его подмножеств ℬ(X) состоит из элементов.

Операции на множествах.

Пусть U – универсальное множество, . Тогда для множеств X,Y можно определить операции.

Определение. Объединением множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (X или Y):

. (1.2)

Рис. 1.1 – Объединение множеств Рис. 1.2 – Пересечение множеств

Определение. Пересечением множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих в X и в Y одновременно:

. (1.3)

Определение. Разностью множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов, входящих в множество X, но не входящих в Y:

. (1.4)

Рис. 1.3 – Разность множеств Рис. 1.4 – Симметрическая

разность множеств

Определение. Симметрической разностью двух множеств X и Y называется множество , состоящее из элементов множества X и элементов множества Y, за исключением элементов, являющихся общими для обоих множеств:

. (1.5)

Определение. Для любого множества дополнением множествадо U называется такое множество, что:

. (1.6)

Рис. 1.5 – Дополнение множества X до U

На рис. 1.1  1.5 представлены диаграммы Венна, наглядно демонстрирующие результаты операций .

Дополнение множества иногда обозначается . Операциисвязаны между собой законами де Моргана:

, (1.7)

. (1.8)

В справедливости законов де Моргана легко убедиться самостоятельно.

В таблице 1.1 представлены основные свойства операций над множествами.

Объединение, пересечение, дополнение

,

,

,

, ,,,,

теоремы де Моргана

,

Операции объединения и пересечения можно обобщить. Пусть – множество индексов,– семейство подмножеств множества X.

Определение. Семейство подмножеств множества X, для которых, называетсяразбиением множества X, если выполняются следующие два условия:

,

.

Определение. Семейство подмножеств множества X называетсяпокрытием множества X, если: .

Будем, как и ранее, считать, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U. Тогда имеет место следующее определение.

Определение. Класс K подмножеств из U называется алгеброй, если:

1. ;

2. из того, что следует, что;

3. из того, что следует, что.

Пример. Пусть , тогда классобразует алгебру.

Определение. Класс F подмножеств из U образует -алгебру, если:

1. ;

2. из того, что следует;

3. из того, что ,следует, что.

Пример. Множество всех подмножеств U образует -алгебру, т.е.ℬ(U) – -алгебра.

Объединение множеств

Объединение множеств A и B являет собой такое же, как и исходные, множество, в составе которого наличествуют элементы, принадлежащие одному или прочим из объединяемых множеств. Удостоверяет объединение двух множеств наличие в обозначении между ними специального знака, напоминающего латинскую букву «U».

Понять, как происходит объединение множеств легко на простом примере:
Если A = и B = , то A U B = .
Или: если A = и B = , то A U B =