Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Научный форум dxdy

Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел

Здравствуйте! Встретился с комбинаторной задачей, которая звучит так:

Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр которых четна?

Найти общее количество 9-значных чисел не сложно ( $9\cdot10^8$ ), но как именно мне подступиться к этому сложному условию четности суммы цифр?

Точно! Спасибо большое, получается последней цифрой может быть 0,2,4,6,8! И значит ответ $9\cdot10^7\cdot5$ .

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

Решение

Разобьём девятизначные числа на пары последовательных: (100000000, 100000001), (100000000, 100000001), . В каждой паре сумма цифр второго числа на 1 больше суммы цифр первого, значит, ровно одна из них чётна. Следовательно, числа с чётной суммой цифр составляют ровно половину от количества всех девятизначных чисел, а их 9·10 8 (см. решение задачи 60336).

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

TomasSmZRs

Давайте напишем все случаи четырёхзначного числа, сумма цифр которых чётна ( ч – это четная цифра, н – нечетная цифра):

Теперь на основе всех возможных вариантов записи четырёхзначного числа, сумма цифр которых чётна, узнаем количество цифр, которое можно поставить.

Итак, всего четных цифр существует пять (0, 2, 4, 6, 8), а нечётных тоже пять (1, 3, 5, 7, 9). Их количество мы будем подставлять вместо ‘ч’ и ‘н’. Но, так как число не может начинаться на 0 (иначе это уже будет трёхзначное число), то во всех вариантах записи числа, которое начинается на четную цифру, мы исключаем ноль, и поэтому вариантов первой цифры такого числа будет не 5, а 4.

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Помогите, пожалуйста, решить задачку по дискретной математике.
Найти коэффициент $x^k$ в разложении многочлена $(2x^3+x^2-x-2)^5$ , k=5.
Вообще не знаю с какого бока к ней подступиться.

!	PAV:
	Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно.

Помогите, пожалуйста, решить задачку по дискретной математике.
Найти коэффициент x^k в разложении многочлена $(2x^3+x^2-x-2)^5$ , k=5.
Вообще не знаю с какого бока к ней подступиться.

Можно сначала решить в целых неотрицательных числах такую систему:
$$ \left\< \begin<array> <rcrcrcrcl>a&+&b&+&c&+&d&=&5\\ 3a&+&2b&+&c&&&=&5 \end <array>\right. raquo; /> А затем применить к каждому решению полиномиальную формулу, не забыв про коэффициенты перед степенями x. Впрочем, я согласен, что это «стрельба из пушек по воробьям». В данном конкретном случае не сложно и «в лоб» посчитать. antbez Большое спасибо, полиномиальная формула — это как раз то, что было нужно. Просто вообще не знала, с чего начинать. Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды: VAL Да, спасибо, к этой системе я в конечном счете и пришла. Есть еще 2 задачки: 1) Сколько существует чисел, не превосходящих 1000, которые: а) делятся одновременно на 6 и на 15; б) делятся на 6 или на 15? 2) Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр которых четна? 1a. Выразите условие делимости одновременно на 6 и 15 в более простом виде, используя разложение на простые. 1б. Формула включений-исключений (в простейшем виде, для двух множеств). 2. В задаче нужно уточнить, считаются ли девятизначными числа с меньшим числом разрядов. В любом случае нужно задать начальные 8 разрядов произвольным допустимым образом, а затем приписать последний разряд так, чтобы сумма была четной. Ссылки дать не могу. Задача вообще-то на формулу произведения комбинаторики: при последовательном выполнении некоторых действий количество способов перемножается. В данном случае «действиями» являются последовательные выборы цифр числа, одна за другой. Можете для начала решить задачу попроще: сколько двузначных чисел, сумма цифр которых четна. А можно вместо книжки — совет? При изучении комбинаторики (а именно этот раздел дискретной математики мы сейчас обсуждаем) очень многие студенты допускают принципиальную ошибку. Начитавшись (по диагонали) книжек или лекций, они приходят к выводу, что главное в комбинаторике это формулы. И «решают» задачи по принципу: «Применим формулу сочетаний. Ах, не то! Ну тогда размещений, сочетаний с повторениями, разбиений. «. А задача, хоть и не сложная, но не вписывается ни в одну готовую формулу. На самом деле, успех в решении комбинаторных задач основан на умении вести комбинаторные рассуждения. За редким исключением для решения учебных комбиторных задач (типа тех, что Вы привели) хватает не слишком сложных рассуждений и формулы для числа сочетаний (размещения и размещения с повторениями тоже часто встречаются по ходу решения, но формулы для их подсчета вполне могут применяться на уровне интуиции). В свете вышеизложенного могу посоветовать древнюю, но, на мой взгляд, не устаревшую книжку Н.Я.Виленкина «Комбинаторика». Она не годится для освоения дискретной математики в полном объеме (там просто нет других разделов), но комбинаторика изложена по принципу разбора все более усложняющихся задач. Причем во главу угла ставятся именно комбинаторные рассуждения. Это если я ничего не забыл. Сам-то я ее лет 20 не открывал$

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Научный форум dxdy

Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Решение

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна

Добавить комментарий Отменить ответ