Сколько существует 10 значных чисел

Сколько существует 10 значных чисел

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Решение

Найдём количество десятизначных чисел, в которых все цифры разные. На первом месте в таком числе может стоять любая из девяти отличных от нуля цифр, на втором – любая из девяти цифр, отличных от первой, для третьей цифры остается уже 8 вариантов и т. д. Всего получаем 9·9! чисел. Осталось вычесть это количество из количества 9·10 9 всех десятизначных чисел (см. решение задачи 60336).

Упр.831 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

2Дискретка / комбинаторика

элемент из набора . Число n при этом называется порядком перестановки .

Число всех перестановок порядка n обозначается P и равняется факториалу

В более общем смысле , перестановкой произвольного ( обычно конечного ) множества называется всякая биекция этого множества на себя . Если

множество содержит q i элементов i — го

q 1 + . + q m = n и

сорта идентичны , то число

Размещением называется расположение « предметов » на некоторых « местах » при условии , что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны . Более формально , размещением ( из n по m ) называется упорядоченный набор из m различных элементов некоторого n — элементного

множества . Число размещений из n по

соотношением A m =

видеть , что при

размещений превратиться в число перестановок P = n ! .

Размещение с повторениями – это размещение предметов в предположении , что каждый предмет может участвовать в размещении сколь угодно раз . По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по m равно

Если на каждую i — ю из m позиций можно поставить один из q i элементов , то количество таких размещений A n m ( q 1 . q n ) = q 1 q n .

Сочетанием из n по m называется набор m различных элементов , выбранных из данных n элементов . Наборы , отличающиеся только порядком следования элементов ( но не составом ), считаются одинаковыми , этим сочетания

отличаются от размещений . Число сочетаний C n m = .

Сочетанием с повторениями называются наборы , в которых каждый элемент может участвовать неограниченное количество раз . Число сочетаний с

повторениями равно C n m = C m m + n −1 = m ! ( n −1 ) ! .

1. Бином Ньютона ( a + b ) n = ∑ C m n a m b n − m ,

2. C n m = C n n − m ,

3. C n m = C n m − − 1 1 + C n m −1 ,

4. C n m = n C n m − − 1 1 ,

5. C n m C m k = C n k C n m − − k k .

Комбинаторные правила : 1. Правило суммы .

Если объект A выбирается n способами , объект B выбирается другими k способами , то « либо A , либо B » можно выбрать n + k способами .

2. Правило произведения .

Объект A выбирается n способами , и объект B после этого выбирается

k способами , то выбрать « A , а после этого B » можно n k способами .

3. Принцип включений — исключений .

— конечные множества , тогда

Вероятность Ρ события A – отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов .

Пусть есть m различных шаров и n различных урн . Найти число способов раскладки шаров по урнам .

Каждый шар может занимать одно из n мест , то есть n – число способов размещения одного шара по n урнам , воспользуемся правилом произведения , получим n m .

Сколькими способами можно разместить m одинаковых шаров по n различным урнам ?

Каждой раскладке шаров по урнам сопоставим бинарный вектор из m + n − 1 элементов , нули – шары ( m штук ), единицы – внутренние перегородки ( n − 1 штук ).

0 0 0 1 0 1 1 0 0

Число раскладок равно числу перестановок элементов вектора без учёта

перестановок нулей и единиц , то есть C m m + n −1 = m ! ( n − 1 ) ! .

Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду , состоящую из пяти человек . Сколькими способами можно выбрать эту команду так , чтобы в неё вошло не более 3 юношей ?

Воспользуемся правилом суммы и получим ответ

n > 2 человек садятся за круглый стол , 2 размещения по местам будем считать совпадающими , если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях . Сколько существует способов сесть за стол ?

Сколько можно построить функций со значениями на множестве из m

элементов , если функции зависят от n переменных x 1 . x n , где x i может принимать одно из k i значений ?

Рассмотрим n = 1 , тогда для каждого аргумента из k 1 можно поставить одно

из m значений , то есть m m , обобщив на случай произвольного n , получим

Из колоды (52 карты ) вынули 10 карт . Найти вероятность того , что

1. выбран ровно один туз ,

2. выбран хотя бы один туз ,

3. не менее двух тузов .

Так как вероятность – отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов , то найдём общее число исходов , для всех подзадач оно будет одинаковым и равным C 52 10 , то есть можно выбрать 10 любых карт из колоды .

1. Один туз мы можем выбрать 4- мя способами ( по числу мастей в картах ). После этого выберем не из тузов оставшиеся 9 карт , это можно

способами , в итоге получим ответ

2. Чтобы выбрать хотя бы один туз можно из общего числа способов выбрать 4 карты вычесть выборки без тузов , которые можно сделать

способами . В итоге получим ответ

3. Для выборки не менее двух тузов отнимем от общего числа способов число способов выборки без тузов и с одним тузом . В итоге получим

ответ C 52 10 − C 48 10 − 4 C 48 9 .

Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов ?

Для формирования трёх пар выберем с учётом порядка 6 шахматистов , это можно сделать A n 6 способами . Так как порядок внутри пары не важен ( число способов установить порядок внутри пар 2 3 ) и порядок самих пар

( перестановки 3! ) тоже не важен , то итоговый ответ будет

Сколько существует n — значных чисел , у которых сумма цифр равна k ,

где k < 10 , k = 10 ?

Задача сводится к урновой схеме , где n – число различных урн и k – количество одинаковых шариков ( один шар – единица ). При рассмотрении случая , когда k < 10 мне не можем в одну из позиций положить больше девяти шаров . Один из шаров мы положим в первую урну , так как первая цифра числа не нуль , остаётся разложить k − 1 шар . Поэтому при k < 10 ответ будет C n k + − k 1 −2 способов .

Если k = 10 , то следует вычесть из общего числа способов варианты , когда в одной из урн становится более 9- ти шариков . Таких вариантов может быть только один , когда в первую урну к уже имеющемуся шарику добавляют ещё

9 шаров , поэтому ответ в случае k = 10 будет C k −1 − 1 .

Сколько существует 10- значных чисел , в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры ?

Для решения задачи из общего числа 10- значных чисел вычтем число чисел , без повторов цифр . Общее количество 10- значных чисел :

В случае чисел без повторов на первую позицию выбираем одну из цифр 1,2,…,9, а на каждую оставшуюся позицию одну из оставшихся цифр – это можно сделать 9 9! способами . В итоге получим ответ 9 10 9 − 9 9! .

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б ?

Для получения количества слов нужно просуммировать количество слов , полученных из 5 букв А и не одной Б , из 5 букв А и 1 буквы Б , из 5 букв А и 2 букв Б , из 5 букв А и 3 букв Б . Также следует не учитывать перестановки

одних и тех же букв . В итоге получим ответ 1

В урне a белых и b чёрных шаров ( a ≥ 2 ,

возвращения извлекаются 2 шара . Найти вероятность того , что шары одного

Общее число исходов C 2

выбор двух шаров из

Благоприятные варианты C 2

( выбор белых шаров ) или C 2

шаров ). В итоге получим ответ

Найти вероятность того , что при размещении n различных шаров по N различным урнам заданная урна будет содержать ровно k ( 0 ≤ k ≤ n ) шаров .

Общее число размещений шаров по урнам – урновая схема , число таких способов N n . Сформировать заданную урну можно C n k способами , то есть

выбрать k шариков из общего количества без учёта порядка в урне . После этого оставшиеся n − k шариков разложим по N −1 урнам , применим урновую

схему и правило произведения . Получим итоговый ответ n .

Колода из 32 карт тщательно перетасована . Найти вероятность того , что все 4 туза лежат в колоде один за другим .

Общее число перестановок колоды карт 32! . Представим туз одной картой , в итоге получим 32 − 4 + 1 = 29 карт , где одна карта есть склеенные тузы , число перестановок новой колоды 29! . Учитывая перестановки тузов 4! получим

окончательный ответ 29! 4! .

Какова вероятность угадать k номеров в спортлото 6 из 49?

Общее число билетов C 49 6 , то есть выбираем 6 чисел из 49. Для формирования нужного билета нужно выбрать k номеров из шести C 6 k , а затем добрать оставшиеся номера из 43 не выпавших чисел C 43 6− k . В итоге получим ответ

Поступающий в ВУЗ сдаёт 4 экзамена . Достаточно набрать 17 баллов . Сколькими способами можно набрать 17 и более баллов ?

Рассмотрим варианты набора 20, 19, 18 ,17 баллов . 20 баллов можно набрать при получении 5, 5, 5, 5 – 1 вариант . 19 баллов можно набрать при получении 5, 5, 5, 4 с учётом перестановок ( получение разных оценок по разным

предметам ), но без учёта перестановок пятёрок –

= 4 . 18 баллов можно

набрать , если получить 5, 5, 5, 3 или 5, 5, 4, 4 с учётом получения разных оценок за разные экзамены и без учёта перестановок одинаковых оценок –

= 10 . 17 баллов можно набрать , если получить 4, 4, 4, 5 или 3, 4, 4, 5 –

= 16 . Просуммировав варианты получим 31 способ .

Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды (52 карты ) так , чтобы среди них были карты каждой масти ?

Существует два варианта формирования шести карт . Первый : выбираем масть , которая даст три карты , затем выбираем эти три карты , потом

добираем из оставшихся мастей по любой карте – C 4 1 C 13 3 ( C 13 1 ) варианта .

Второй вариант : выбираем две масти , которые дадут по две карты , затем выбираем из каждой масти по две карты , потом добираем оставшиеся карты

– C 4 2 ( C 13 2 ) ( C 13 1 ) варианта . Воспользуемся правилом суммы и получим

итоговый ответ C 4 1 C 13 3 ( C 13 1 ) + C 4 2 ( C 13 2 ) ( C 13 1 ) способов .

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 75226522?

Пятизначное число может состоять из комбинации следующих цифр , количество таких комбинаций можно получить при использовании перестановок с элементами одинакового сорта ( одинаковые цифры в числе ):

7, 2, 6, 5, 5 – Ρ ( 1,1,1, 2 ) , 7, 6, 5, 2, 2 – Ρ ( 1,1,1, 2 ) , 7, 2, 2, 5, 5 – Ρ ( 1, 2, 2 ) , 6, 2, 2, 5, 5 – Ρ ( 1, 2, 2 ) , 7, 5, 2, 2, 2 – Ρ ( 1,1, 3 ) , 7, 6, 2, 2, 2 – Ρ ( 1,1, 3 ) , 5, 6, 2, 2, 2 – Ρ ( 1,1, 3 ) , 7, 2, 2, 2, 2 – Ρ ( 1, 4 ) , 5, 2, 2, 2, 2 – Ρ ( 1, 4 ) , 6, 2, 2, 2, 2 – Ρ ( 1, 4 ) , 5, 5, 2, 2, 2 – Ρ ( 2, 3 ) ,

просуммировав варианты получим 265 вариантов .

Имеется множество C , состоящее из n элементов . Сколькими способами можно выбрать в C два подмножества A и B так , чтобы множества A и B не пересекались ?

Любой элемент может попасть в одно из множеств A и B или не попасть в них . Итоговый ответ 3 n .

Сколько существует n- значных натуральных чисел , у которых цифры расположены в неубывающем порядке ?

Рассмотрим урновую схему , где сначала идут единицы , затем двойки и т . д . Также возможен вариант , что каких либо цифр нет . Цифры будут служить

урнами , а разряды шариками . Получим ответ C n n +9−1 = ( n + 8 ) ! .

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так , чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом ?

2. Сколько существует чисел от 0 до 10 n , в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры ?

3. Сколько диагоналей в выпуклом n — угольнике ?

4. В футбольной команде (11 человек ) нужно выбрать капитана и ассистента . Сколькими способами можно это сделать ?

5. Сколькими способами можно разбить 10 человек на две команды ?

6. В классе 31 человек , сколькими способами можно выбрать команду (11 человек ) так , чтобы Петя и Вася не входили в команду одновременно ?

7. Множество состоит из n элементов , сколько множеств можно построить из данного множества ( мощность множеств всех подмножеств )?

теория-чисел — Помогите решить

Сколько существует десятизначных целых чисел, все цифры которых различны и делится на 11111 без остотка.

задан 23 Дек ’18 10:31

1 ответ

Красивая комбинаторная задача.

Для начала заметим, что 10-значное число с участием всех цифр делится на 9, так как его сумма цифр равна 45. Числа 11111 и 9 взаимно просты, поэтому имеет место делимость на 99999=10^5-1. Таким образом, можно говорить о делимости на последнее число.

Пусть ABCDEabcde — запись 10-значного числа. Очевидно, что оно сравнимо по модулю 10^5-1 с суммой двух пятизначных чисел: ABCDE и abcde. Понятно, что каждое из слагаемых меньше 99999, поэтому сумма будет меньше удвоенного такого числа, и тогда она в точности равна 99999. А это значит, что A+a=9, B+b=9, . , E+e=9. Получается полное описание.

Осталось подсчитать количество. Прежде всего, мы задаём перестановку на 5-элементном множестве, состоящем из 2-элементных множеств цифр <0,9>, <1,8>, <2,7>, <3,6>, <4,5>. Это 5! вариантов. Одна из цифр первого по счёту множества перестановки будет первой, а другая — шестой, и так далее. То есть мы 5 раз выбираем один из двух вариантов, и домножаем на 2^5. В результате получается множество 10-разрядных чисел, которые нам подходят. Остаётся вычесть количество тех из них, которые начинаются с нуля. На первом месте 0, на шестом 9. Остальные 4 множества цифр упорядочиваем 4! способами и умножаем это число на 2^4 по тому же принципу, что и выше.

В итоге получается ответ 2^<5>5!-2^<4>4!=2^<4>4!(10-1)=2^<7>3^<3>=2*12^<3>=3456. И числа тут вдобавок получаются интересные.