Какие цифры используются в семеричной системе счисления

Какие цифры можно использовать в Семеричной системе счисления?

Какие цифры можно использовать в Семеричной системе счисления?

Происходит переход в следующий разряд — число, следующее за цифрой 9 — 10. В семеричной системе число 10 появится после цифры 6, тогда ряд чисел будет выглядеть так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Какие цифры используются в двоичной системе счисления?

Количество цифр, используемых в системе счисления, называется её «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе — двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной — соответственно, восьми и шестнадцати.

Как перевести в Семеричную систему?

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в семеричную систему счисления нужно десятичное число делить на 7 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Что означает STR в Python?

Строка — базовый тип представляющий из себя неизменяемую последовательность символов; str от «string» — «строка». obj : Объект, который требуется привести к строке, либо получить для него «неформальное» строковое представление. Строки относятся к неизменяемым последовательностям.

Как определить четное или нечетное число Python?

Для того чтобы определить четное число введено или нет в Python необходимо воспользоваться оператором «Остаток деления» и написать условие.

Какие цифры используются в семеричной системе счисления?

Раз это семеричная система исчисления, значит в ней используются семь цифр: конечно же 0 и 1, потом 2 и 3, ещё 4 и 5, и наконец 6.

Не надо думать, что последняя цифра этой системы счисления это 7, это очень грубая, но очень распространенная ошибка, так как последняя цифра это 6.

Двоичная система счисления используется в большей мере в цифровых вычислительных устройствах.

Используется именно двоичная система потому, что значительно легче определить наличие/отсутствие сигнала, чем определить наличие и потом определять какой это сигнал.

Рассмотрю такой вот пример. Есть лампочка. Для того сказать включена она или нет нам достаточно на нее посмотреть. Если же надо будет сказать какая мощность этой лампочки, нам надо СРАВНИТЬ ЯРКОСТЬ этой лампочки с каким-то эталоном. Если такую систему использовать в вычислительных системах, то эту систему надо будет тоже «научить» сравнивать с какими-то эталонами. При этом возникают некоторые трудности — нужен(ы) эталон(ы), надо тратить какое-то время для сравнения, эталон(ы) надо будет периодически проверять и т.п.

Поэтому используется двоичная система как наиболее простая в реализации, обслуживании.

Хотя есть конечно же и системы, в которых используется и троичная система, и четверичная.

Троичные системы используются в некоторых системах передачи данных. В них нуль передается нулем, +1 передается положительным импульсом, -1 передается отрицательным импульсом.

Непозиционная система счисления — это римские цифры.

В Европе, в средние века они были в ходу. Складывать и отнимать их еще как-то можно. Но перемножаь и делить по формальным правилам очень сложно. А чтобы извлекать квадратные корни — приходилось учится в университете.

Вопрос «Представьте число 63 (10 система счисления) в беззнаковом 8 разрядном формате.» мне совершенно непонятен.

Систематическое решение перевода из десятичной системы в двоичную таково:

1) Нужно заданное число разделить на 2. Остаток (0 или 1) записать. (63 делим на 2, получаем частное 31 и остаток 1. 1 записываем).

2) Частное от первого деления опять делим на 2. Остаток от деления (0 или 1) приписываем слева к первому записанному результату, получаем двузначное число. (31 делим на 2, получаем частное 15 и остаток 1. Эту единицу приписываем к первой единице, получаем 11 (двоичное)).

3) Повторяем многократно пункт 2, до тех пор пока в частном не получим 1. Эту последнюю единицу тоже приписываем к тому ряду, что начали писать.

В итоге придется провести 5 операций деления, получим пять единиц в остатках, и одну единицу в последнем частном, всего 6 единиц.

63/2=31 (1 в остатке);

31/2=15 (1 в остатке);

15/2=7 (1 в остатке);

7/2=3 (1 в остатке);

3/2=1 (1 в остатке);

Итак 63 в двоичной системе запишется как 111111.

Описанный выше алгоритм универсальный, он пригоден при переводе в двоичную систему любого числа. Но конкретно для числа 63 есть более изящный нестандартный приём. Прибавим к 63 единицу, получим 64.

4 — это 2^6 (два в шестой степени). В двоичной системе числа, представляющие собой степени двойки записываются как 1 с количеством нулей, равным степени. Те. 64=2^6 ===> 1000000.

Теперь вернёмся к 63. вычтем из двоичного числа 1000000 единицу, получим 111111.

Циклы времени

В настоящее время в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, принята система счета «по-арабски», в которой используются цифры. Однако, так было не всегда.

Раннее числа люди записывали по — разному. История нам рассказывает, что у разных народов была своя собственная или позаимствованная у соседей система записи чисел. Одни использовали буквы, другие — знаки, символы, иероглифы.

Не так просто даже имея цифры – значки, которыми записываются числа, записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления, т.е. способ записи чисел с помощью цифр.

Самая простая была еще у древних людей. Например, какое число нужно записать, столько сделали засечек на дереве или положили в кучку камней… Сейчас она называется — единичная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке, засечке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась, когда потребности в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Это удобно, пока числа небольшие. Но сколько зарубок, камней, палочек надо, чтобы записать число 1 000, не говоря уже о 1 000 000? Абсолютно неудобная система счисления.

Одна из простых систем счисления, с возможностью записывания больших чисел встречается у народов Древнего Египта. Немного ознакомимся с ней.

Египетская система счисления — непозиционная система счисления, которая как утверждает ОИ, употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э. В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

Нумерация на барельефе с египетскими письменами.

У египтян была система из 7 (семи) основных символов — иероглифов для цифр.

Отдельные символы для цифр: единица, десять, сто, одна тысяча, десять тысяч, сто тысяч и один миллион.

Таблица 1. Символика и значения

Для составления номера 276, например, требовалось пятнадцать символов: два символа «сотни», семь символов «десятки» и шесть «единичных» символов.

Числа выглядели следующим образом: 276 в иероглифах; 4622 в иероглифах.

Примеры 276 и 4622 в иероглифах видны на каменной резьбе из Карнака около 1500 г. до н.э. и теперь хранятся в Лувре в Париже.

Записывались числа цифрами – символами, начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (англ. add — добавлять, складывать), непозиционными.

Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета.

Сложение чисел выглядело так.

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Математика в Древнем Египте использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Древнейшие древнеегипетские математические тексты археологи и традиционные историки относят к началу II тысячелетия до н. э.

Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (якобы 2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Следует отметить, что иероглифы не оставались прежними в течение всей истории древней египетской цивилизации. Численные иероглифы были несколько разными в эти разные периоды, но сохранили широко подобный стиль.

Другая система цифр, которую египтяне использовали после изобретения письма на папирусе, была составлена ​​из иератических цифр.

Иератическое письмо — одна из форм египетского письма, применявшихся для записи текстов на египетском языке. Это ранняя форма древнеегипетской скорописи. При нанесении иероглифических знаков кисточкой на папирус, остраконы, камень или кожу, знаки получили более округлую, курсивную форму (др.греч. γράμματα ἱερατικά — «буквы по вертикали»).

Эти иератические цифры позволяли записывать числа в гораздо более компактной форме, но при использовании системы требовалось запоминать еще много символов. Были отдельные символы для:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,
100, 200, 300, 400, 800, 900,
1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000

Всего 36 иероглифов.

Вот вариант иератических цифр:

С этими номерами системы можно было бы сформировать несколько символов. Число 9999 состояло всего из 4 иератических символов вместо 36 иероглифов.

Иератические цифры не формировали позиционную систему, поэтому конкретные цифры могли быть записаны в любом порядке.
Вот два способа, которым египтяне писали 2765 в иератических цифрах:

Как иероглифы, иератические символы менялись со временем, но они претерпевали большие изменения. Первоначально используемые символы были близки к соответствующему иероглифу, но их форма расходилась с течением времени. Эти версии датируются якобы примерно 1800 годом до нашей эры.

Две системы якобы работали параллельно около 2000 лет, причем иератические символы использовались в письменной форме на папирусе, например, в папирусе Ринда и Московском папирусе, в то время как иероглифы продолжали использоваться, когда вырезаны на камне.

Обратим внимание: Иератическое письмо имело гораздо более широкую сферу применения, чем иероглифическое. Сравнительно большим объёмом дошедших до нас иероглифических надписей человечество обязано только лучшей сохранности камня — основного материала иероглифических текстов.

Иератикой писали всевозможные административные и юридические документы, математические, медицинские тексты. Некоторые наиболее известные папирусы:

• Большой папирус Харриса
• Папирус Присса
• Папирус Ринда
• Папирус Эберса
• Московский математический папирус

Здесь стоит обратить особое внимание на время (даты) обнаружения «древних папирусов»:

Большой папирус Харриса или, что безусловно точнее, Папирус Харриса I (так как есть и другие папирусы в коллекции Энтони Харриса) — древнеегипетский папирус из собрания Британского музея, официальное название: Папирус Британского музея 9999. Свиток длиной 41 метр с текстом из 1 500 строк считается самым длинным папирусом.

Папирус был найден в захоронении в районе Мединет-Абу, на западном берегу Нила в Луксоре и приобретён английским коллекционером Энтони Харрисом в 1855 году. Папирус был куплен Британским музеем в 1872 году. Факсимильное издание папируса было подготовлено Британским музеем под названием: «Факсимиле египетского иератического папируса времён царствования фараона Рамсеса III» (Facsimile of an Egyptian Hieratic papyrus of the reign of Ramses III, now in the British Museum) в 1876 году.

Папирус, датируемый периодом XII династии Среднего царства древнего Египта (около 1991—1783 до н. э.). Назван в честь египтолога, который его обнаружил.

Рукопись была обнаружена французским востоковедом Эмилем Приссом в Фивах в 1856 году и с тех пор хранится в Национальной библиотеке Франции в Париже.

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда по имени его первого владельца) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1650 до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса. Язык: среднеегипетский, письменность: иератическое письмо.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. Шьютом. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее. Она состоит из двух частей: BM 10057 (32 см × 295,5 cм) и BM 10058 (32 см × 199,5 cм). Между ними должен быть кусок примерно 18 см длиной, который был утерян. Некоторые фрагменты, которые частично заполняют этот промежуток, были обнаружены в 1922 году в музее Нью-Йоркского исторического общества.

Медицинское сочинение, написанное иератическим письмом на папирусе и составленное в Древнем Египте. Содержит обширный список различных болезней, их симптомов, диагностику и методы лечения. В нём имеется, в частности, описание приготовления лекарств и методов лечения в областях травматологии, борьбы с паразитами, стоматологии, а также по гинекологии и контрацепции. Кроме того, в папирусе имеются и астрономические наблюдения — в частности, о гелиакическом восходе Сириуса в 9-й год правления фараона Аменхотепа I.

Папирус Эберса был обнаружен немецким египтологом и писателем Георгом Эберсом в Фивах зимой 1873 года и приобретён им для Лейпцигского музея. В настоящее время он хранится в библиотеке Лейпцигского университета. В 1874 году он был Г.Эберсом опубликован.

Один из древнейших известных современности математических текстов.

Первым владельцем этого папируса был один из основателей русской египтологии Владимир Семёнович Голенищев. Ныне «папирус Голенищева» находится в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Основываясь на способе написания курсивного иератического текста, специалисты предполагают, что он принадлежит ко времени правления XI династии (Аменемхетов-Сенусертов) периода Среднего царства Древнего Египта.

В 1880 г. В. С. Голенищев был зачислен на службу в Эрмитаж. Здесь он начал работу по каталогизации, реставрации и исследованию древнеегипетских памятников. До него этим никто не занимался, и никто точно не знал, что же из египетских древностей хранилось в Эрмитаже. Здесь, в Эрмитаже Владимир Семёнович сделал открытие, прославившее его как египтолога. Он нашёл прекрасный папирус с иератическими письменами. В результате своих исследований он выяснил, что папирус состоит из двух литературных произведений. Назвал он эту находку «Папирус № 1 Санкт-Петербурга». Папирус этот содержал «Поучение Мерикара» (Папирус Эрмитаж 1116A) и «Пророчество Неферти» (Папирус Эрмитаж 1116B), вошедшие в список известнейших произведений Древнего Египта.

В 1881 году Владимир Семёнович сделал ещё одно потрясающее открытие масштаба мировой египтологии, открыв ещё один прекрасно сохранившийся папирус, датируемый эпохой Среднего царства и содержащий текст, впоследствии получивший название «Сказка о потерпевшем кораблекрушение» (Папирус Эрмитаж 1115).

Очень интересно, что свои открытия по Египтологии Голенищев сделал в Эрмитаже. И только потом с открытиями отправился в Египет.

В 1884—1885 Голенищев проводил свои эпиграфические исследования в Вади-Хаммамате, которые сам же и финансировал, а после опубликовал их результаты. На протяжении следующих 25 лет он совершил более 60 поездок в Египет и собрал коллекцию из более чем 6000 египетских предметов.

ВСЕ ПАПИРУСЫ «находятся» археологами в середине – конце 19 века и позже, а датируются глубокой древностью! Понятное дело – чем древнее, тем дороже!

Вернемся к системам счисления. Итак, система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Непозиционная, аддитивная система счисления — система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения. Такую египетскую систему мы рассмотрели выше (Таблица 2). Этой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.

Позже стали использоваться Алфавитные аддитивные системы счисления.

В этой системе счисления для записи чисел используется уже не несколько цифр, а большая часть алфавита. Эта система счисления была очень распространена. Такой системой счисления пользовались Римляне, Греки, Арабы, Евреи, Сирийцы, Славяне, Грузины.

Самая распространенная Римская (латинская) нумерация. Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Лекции последние с презентациями и вопросами / Лекция 3. Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

Позиционные и непозиционные системы счисления. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.

Наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Позиционные системы счисления. Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 10, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления — позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления — позиционная система счисления с основанием 16, в которой для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Перевод чисел из системы счисления с основанием p>1 в десятичную систему счисления:

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = a_n·p n +a_{n – 1}·p n –1 + a₁·p 1 + a₀·p 0 , где a_n. a₀ – цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035₁₀=1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010₂ = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

1000001₍₂₎=1 2 6 +0 2 5 +0 2 4 +0 2 3 +0 2 2 + 0 2 1 +1 2 0 = 64+1=65₍₁₀₎.

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

1000011111,0101₍₂₎=1 2 9 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -2 + 1 2 -4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125₍₁₀₎.

1216,04₍₈₎=1 8 3 +2 8 2 +1 8 1 +6 8 0 +4 8 -2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625₍₁₀₎.

29A,5₍₁₆₎ = 2 16 2 +9 16 1 +10 16 0 +5 16 -1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125₍₁₀₎.

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1:

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875₍₁₀₎; в) 115,94₍₁₀₎ (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

а) 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎ = 1110011,11110₍₂₎ (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Алгоритм перевода из 2-ой в систему с основанием степень двойки (4, 8, 16):

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки,

1) достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2 3 ). В целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо.

2) Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа.

3) Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.