Как решить уравнение с комплексными числами

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

• Складывать и вычитать
• Умножать и делить
• Извлекать корни и возводить в степень
• Переводить из одной формы в другую

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$

$$ z_1 — z_2 = (a_1+ib_1) — (a_2+ib_2) = (a_1 — a_2)+i(b_1 — b_2) $$

Умножение в алгебраической форме:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 — b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$

Умножение в показательной форме:

Деление в алгебраической форме:

Деление в показательной форме:

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

$$ z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:

Осталось найти аргумент:

Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:

Тут же можно записать показательную форму:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2\cdot(-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 \sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$

Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:

Заметим, что $ \sqrt <-4>= 2\sqrt <-1>= 2i $ и продолжим вычисление:

Получили комплексно-сопряженные корни:

$$ x_1 = -1 — i; x_2 = -1 — i $$

Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

В статье «Комплексные числа: примеры с решением» было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

2. Комплексные числа.

Множество всевозможных пар действительных чисел называется множеством комплексных чисел, если выполняются условия:

1) определено сравнение (a,b)=(c,d) Û a=c Ù b=d

2) определено cложение (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) определено умножение (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

При этом число (0,0) называется нулём и обозначается 0, число (1,0) называется единицей и обозначается 1, число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается i. Комплексные числа (a,b) можно обозначать в виде a+ib. При таких обозначениях арифметические операции над комплексными числами выполняются по обычным алгебраическим правилам, но при этом i 2 заменяется на -1. Число a-ib называется комплексно сопряжённым к числу a+ib.

Модулем комплексного числа u=a+ib называется действительное число . При этом можно записатьu=|u|(cosj+isinj) (тригонометрическая форма записи), где j — некоторый угол из промежутка [0;2p) называемый аргументом числа u. Справедливы свойства:

|u+v|£|u|+|v| (неравенство треугольника для модуля)

|u-v|³|u|-|v| (следствие из неравенства треугольника)

u n =|u| n (cosnj+isinnj) (формула возведения в степень)

(формула извлечения корня n-ой степени)

Для вычисления квадратного корня кроме общего способа можно использовать специальный приём. Пусть требуется вычислить квадратный корень из числа a+ib. Обозначим этот корень через x+iy. По определению квадратного корня a+ib = (x+iy) 2 . Раскрывая скобки и сравнивая получаем систему

Её решения дадут нам два значения квадратного корня.

(1+i)(5-i)=5+5i-i-i 2 =5+5i-i+1=6+4i (i 2 заменили на -1)

(домножили числитель и знаменатель на 1-i (сопряжённое к 1+i) и затем i 2 заменили на -1)

Пример 3.

(1-i) 5 = ((cos(7p/4)+isin(7p/4)) 5 = 4(cos(35p/4)+isin(35p/4)) =

= 4(-/2+i/2) = -4+4i (перешли к тригонометрической форме записи и воспользовались формулой возведения в степень)

Пример 4.

Вычислить . Решение: ,обозначим значения корня (их четыре) через u₀, u₁, u₂, u₃. По формуле извлечения корня .

При к=0 получаем u₀=cos(p/8)+isin(p/8)

При к=1 получаем u₁=cos(5p/8)+isin(5p/8)

При к=2 получаем u₂=cos(9p/8)+isin(9p/8)

При к=3 получаем u₃=cos(13p/8)+isin(13p/8)

Пример 5.

Вычислить .

Составим систему Û Þ x 4 -3x 2 -4=0.

Пример 6.

Решить уравнение x 2 + 4x + 5 = 0. Находим D = 16 — 4×5 = -4 < 0 Þ корни комплексные:

1. (1+2i)(2+i) 2. (1+2i):(2+i) 3.

4. 5.

6. x 2 — 16x + 65 = 0 7. 9x 2 + 6x + 5 = 0

8. x 4 + 2x 2 — 3 = 0 9. x 4 + 6x 2 + 25 = 0

10. (2+i)(3-i) 11. (4+2i):(3-i) 12.

13.

14. x 2 + 12x + 40 = 0 15. x 4 — 4x 2 — 5 = 0

16. x 4 — 6x 2 + 25 = 0

555 Решение алгебраических уравнений.

Поиск рациональных корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами основан на теореме: если рациональное число — корень такого уравнения, то его числитель — множитель свободного члена, а знаменатель — множитель коэффициента при старшей степени. Для подстановки чисел в уравнение можно применять схему Горнера. В комплексной области любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней.

Схема Горнера.

Вычисления по схеме Горнера заносим в таблицу из двух строк. Слева от таблицы пишем проверяемое число. В первой строке записываем коэффициенты исходного уравнения, включая нулевые. Затем в первую ячейку второй строки переписываем число из верхней ячейки, во вторую ячейку второй строки записываем сумму верхнего числа и предыдущего, умноженного на проверяемое число и т.д. Если в последней ячейке получится 0, то проверяемое число — корень, а остальные числа — коэффициенты алгебраического уравнения с уменьшенной на один степенью. Решая это уравнение получим остальные корни.

Решить уравнение x 3 + x — 2 = 0. Рациональные корни этого уравнения ищем среди чисел ±1, ±2. Проверяем число 1:

Комплексные числа в математике

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Алгебраическая форма комплексного числа

На множестве действительных чисел ряд алгебраических задач, в частности нахождение корней квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, не имеет решения. Введём некоторое навое число, которое будем считать решением уравнения х 2 + 1 = 0. Корень уравнения х 2 + 1 = 0 или х 2 = -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Таким образом i 2 = -1.

В некоторых технических дисциплинах мнимую единицу обозначают буквой j. В дальнейшем будем использовать оба обозначения.

Мнимая единица позволяет ввести числа нового вида, которые называют комплексными.

Комплексным числом называют выражение вида , где — действительные числа, i — мнимая единица.

Число называют действительной, а число — мнимой частями комплексного числа. Комплексное число, как правило, обозначают буквой . Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда , то есть когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определено. Комплексное число называется нулём и обозначается 0; комплексное число отождествляется с действительным числом ; комплексное число называют чисто мнимым и обозначают . Число 0 является единым числом, которое одновременно и является действительным, и чисто мнимое.

Комплексные числа называются сопряжёнными и обозначаются и. Например, в числе , сопряжённым к нему будет число , а для числа сопряжённым будет число .

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел

Решение: Сумму находим формальным сложением двучленов

произведение находим перемножив двучлены с последующей заменой .

Ответ:

Легко увидеть, что слагаемое двух сопряжённых чисел является действительным числом:

Воспользуемся этим свойством для введения действия деления двух комплексных чисел.

При делении комплексных чисел , где достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое к знаменателю, то есть на

Пример 2. Даны комплексные числа и Найдите разность и частное

Решение:

Находим разность вычитанием двучленов

Чтобы найти частное умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое к знаменателю:

Ответ:

Действия над комплексными числами имеют следующие интересные свойства:

Доказательство выходит из определения сопряжённых чисел. Действительно,

Аналогично доказываются и другие приведённые свойства.

Возведение комплексного числа в степень выполняется по формулам возведения двучлена в степень. При этом следует учитывать, что

Пример 3. Найти комплексное число

Решение:

Выполнив в знаменателе возведение в степень, получим:

Умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое к знаменателю, то есть на -5-12i, получим:

Ответ: z = i.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие упорядоченную пару действительных чисел и наоборот. Такая упорядоченная пара действительных чисел определяет точку или вектор на плоскости.

Следовательно, комплексное число вида изображается на координатной плоскости точкой или вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец с т. М.

Сама координата плоскости называется при этом комплексной плоскости, ось абсцисс — действительной осью, ось ординат — мнимой осью.

Например, изобразим числа

Представление комплексного числа как вектора на плоскости позволяет ввести понятие модуля и аргумента комплексного числа.

Модулем комплексного числа называют длину вектора, которая соответствует данному числу (обозначают r либо p).

Аргументом комплексного числа называют величину угла между положительным направлением действительной оси и вектора, который соответствует данному комплексному числу.

На основе теоремы Пифагора получаем

Например, комплексное число имеет модуль равный 10, так как

Аргумент комплексного числа , в отличии от модуля, вычисляется неоднозначно. Так аргументом числа 5 являются следующие углы Среди бесконечного множества значений аргумента только одно принадлежит промежутку . Эти значения аргумента мы и будем вычислять.

Аргумент легко вычислить, если комплексное число расположено в I четверти. Действительно, согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике (рис. 2) имеем:

Если комплексные числа размещены в других четвертях, то необходимо провести дополнительные рассуждения. Рассмотрим рис. 3. Видим, что для

Таким образом, алгоритм нахождения аргумента комплексного числа следующий:

1.Определить коэффициент заданного комплексного числа.

2. Найти

3. Установить, в какой четверти расположено комплексное число.

4. Вычислить аргумент согласно приведённым формулам.

Возможны и другие способы нахождения аргумента комплексного числа, например:

Пример 4. Найти аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим рис. 2. Согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике числа можно выразить через r и таким образом:

Тогда комплексное число запишется в виде:

Запись комплексного числа в таком виде называется тригонометрической формой комплексного числа.

Следовательно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и аргумент.

Пример 5. Записать число в тригонометрической форме.

Решение:

Найдём модуль

Найдём острый угол

Вектор, который соответствует данному комплексному числу принадлежит третьей четверти, поэтому аргумент равен следовательно

Ответ:

Для того, чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа из формул

Пример 6. Записать число в алгебраической форме.

Найдём и

Ответ:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

В тригонометрической форме записи комплексного числа выполняют действия умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня n-й степени. Выведение формул, по которым выполняются действия, относительно просты и основываются на основных формулах тригонометрии.

Следовательно, при умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножают, а аргументы складывают; при делении — модули делят, а аргументы вычитают.

Правило умножения комплексных чисел автоматически распространяется на произвольное число множителей. Если взять равные множители

Полученную формулу называют формулой Муавра.

Для извлечении корня n-й степени из комплексного числа используют формулу:

где арифметический корень,

Пример 8. Вычислить Ответ записать в алгебраической форме.

Решение: Находим:

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение: Запишем число в тригонометрической форме:

Пример 10. Вычислите . Ответ запишите в алгебраической и тригонометрической формах.

Решение: Запишем число -81 в тригонометрической форме:

Показательная форма комплексного числа

Рассматривая функцию для комплексной переменной, известный математик Л. Эйлер установил соотношение

Из заданной формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в виде которое называется показательной формой записи.

Над комплексными числами в показательной форме выполняют те же действия что и в тригонометрической форме. Выведение формул, по которым выполняют действия основывается на основных свойствах степени.

Пусть , тогда:

Пример 11. Представить число в алгебраической форме.

Решение: Согласно условию задачи , поэтому

Ответ:

Пример 12. Выполнить действия, результат записать в тригонометрической и показательной формах:

Решение: Сначала выполним действия:

Теперь полученное число запишем в тригонометрической и показательной формах. Для этого найдём модуль и аргумент:

Ответ:

Что такое комплексное число

Комплексные числа — это числа вида , где — вещественные числа, — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство:

Понятие о комплексном числе

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Необходимость выполнения деления привела к понятию обыкновенной (и десятичной) дроби, необходимость выполнения вычитания — к понятиям нуля и отрицательного числа, необходимость извлечения корней из положительных чисел — к понятию иррационального числа.

Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатной прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е., выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости ху можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел ввести упорядоченные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что — разные точки, а значит, и разные числа).

Комплексным числом называют всякую упорядоченную пару действительных чисел

Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда

Арифметические операции над комплексными числами

Суммой комплексных чисел называют комплексное число

Например,

Комплексным нулем считают пару (0; 0). Числом, противоположным числу считают число обозначают его

Разностью комплексных чисел называют, как обычно, такое число Разность всегда существует и единственна. В самом деле, пусть Тогда Это значит, что откуда находим

Таким образом, получаем следующее правило вычитания комплексных чисел:

Например, (9; 10) — (8; 12) = (9 — 8; 10 — 12) = (1;-2).

Произведением комплексных чисел называют комплексное число

Например, если то

Арифметические операции над комплексными числами обладают теми же свойствами, что арифметические операции над действительными числами (см. п. 29).

Пусть Существует, и только одно, комплексное число такое, что Это число и называют, как обычно, частным от деления z на w.

Имеем Так как то должны выполняться равенства

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными находим (см. п. 164) Итак,

Получили следующее правило деления комплексных чисел: если то

Алгебраическая форма комплексного числа

Используя введенные в п. 45 определения сложения и умножения комплексных чисел, легко получить следующие равенства:

Условились вместо писать просто , а комплексное число (0; 1) обозначать буквой и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид т. е.

а равенство (2) — вид

Запись называют алгебраической формой комплексного числа при этом число называют действительной частью комплексного числа z, a bi — его мнимой частью.

Например,

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то число называют мнимым, если при этом = 0, т. е. число имеет вид bi, то его называют чисто мнимым, наконец, если у комплексного числа мнимая часть равна нулю, то получается действительное число .

Алгебраическая форма существенно облегчает выполнение арифметических операций над комплексными числами.

Сложение. Известно (см. п. 45), что

Выполнив сложение тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Сравнивая равенства (7) и (8), замечаем, что получился верный результат.

Вычитание. Известно (см. п. 45), что

Выполнив вычитание тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Сравнивая равенства (9) и (10), замечаем, что получился верный результат.

Умножение. Известно (см. п. 45), что

Выполнив умножение тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Воспользуемся тем, что (см. равенство (5)); тогда В результате получаем

Сравнивая равенства (11) и (12), замечаем, что получился верный результат.

Деление. Известно (см. п. 45), что если то

Выполним деление тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, a — обычной дробью. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на с — di (предполагая, что значение дроби от этого не изменится), находим

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что получился верный результат.

Подводя итоги, приходим к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что Чтобы преобразовать в комплексное число дробь вида нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число с — di; числа с + di и с — di называют комплексно-сопряженными.

Пример 1.

Вычислить

Решение:

Применив формулу , получим

Пример 2.

Вычислить

Решение:

Пример 3.

Найти действительные числа х и у такие, что выполняется равенство

Решение:

Имеем Тогда заданное равенство можно переписать в виде

Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части ( = с) и коэффициенты при мнимых частях (Ь = d). Значит, приходим к системе уравнений

из которой находим (см. п. 164)

Пример 4.

Найти комплексные числа z, удовлетворяющие равенству

Решение:

Будем искать комплексное число z в виде х + yi. Имеем

Из последнего равенства следует, что

Эта система имеет два решения (см. п. 164): (2; 3) и (-2; -3). Значит,

Пример 5.

Вычислить

Решение:

Имеем (см. п. 58)

Значит,

Далее, имеем

Значит,

Отыскание комплексных корней уравнений

Пусть > 0. Так как Тем самым мы получаем возможность извлекать квадратные корни из отрицательных действительных чисел. Это позволяет находить не только действительные, но и мнимые корни уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение.

Имеем (см. п. 137) Итак,

Пример 2.

Решить уравнение

Решение.

Имеем Значит, либо х — 2 = 0, откуда находим либо откуда находим Итак,

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней ­z₀, z₁, z₂, … z_n-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.