Решение уравнений в целых числах.
Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.
Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.
Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и с Î Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a 1 d, b=b 1 d, c=c 1 d и (x 0 , y 0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x 0 +b 1 t, y=y 0 –a 1 t, где t ─ произвольное целое число.
1. Решить в целых числах уравнения:
2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.
1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:
Так как x,у Î Z, то получим совокупность систем уравнений:
ФМШ №146 г. Пермь
Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)
2). Решить в натуральных числах уравнение: 3 х +4 у =5 z .
3). Решить в целых числах уравнение:
4). Решить в целых числах уравнение:
5). Решить в целых числах уравнение:
4ху+13у 2 +х 2 =58.
6). Решить в целых числах уравнение:
7). Решить в целых числах уравнение:
8). Решить в целых числах уравнение:
9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3 m +7=2 n .
10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.
а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?
в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:
а) Пусть а 1 =х, тогда а 2 = 14х или а 1 =14х, тогда а 2 =х. Тогда по условию а 1 + а 2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.
б) Пусть а 1 =х, тогда а 2 = 14х, а 3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.
двух соседних чисел кратна 15, а 4321=15∙288+1, то
последовательности равен 1, тогда n=288∙2+1=577.
Ответ: а) нет; б) да; в) 577.
ФМШ №146 г. Пермь
12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.
а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?
в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?
Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.
ФМШ №146 г. Пермь
Список литературы:
1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001
2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000
3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003
4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993
5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.
6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.
7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.
8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009
9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009
10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010
11. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009
12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010
13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009
14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010
15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010
уравнения — Как решить уравнение в натуральных числах
То, о чём Вы спрашиваете, относится к теме «диофантовы уравнения». Речь идёт об уравнениях, решения которых требуется найти в целых или в натуральных числах. Переменных в такого рода уравнениях обычно присутствует несколько. Общего алгоритма, позволяющего выяснить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение, не существует. Этот факт был установлен в 1970 году (отрицательное решение т.н. Десятой Проблемы Гильберта).
Можно привести конкретные примеры уравнений достаточно простого вида, о которых никто не знает, есть ли у них решения в целых числах. До недавнего времени это не было известно про уравнение $%x^3+y^3+z^3=30$%. Об этом упоминается в некоторых популярных книжках. (Здесь числа могут иметь разные знаки: для натуральных чисел отсутствие решений очевидно.) Где-то на рубеже двух тысячелетий был найден пример решения (конечно, при этом были задействованы компьютерные вычисления). Вот конкретный пример решения, которое можно непосредственно подставить и проверить: $%x=-283059965$%, $%y=-2218888517$%, $%z=2220422932$%.
Ответ на аналогичный вопрос, касающийся уравнения $%x^3+y^3+z^3=33$%, не известен по сей день.
Тем не менее, в олимпиадных задачах, связанных с диофантовыми уравнениями, обычно применяется один из нескольких известных приёмов. Это может быть рассмотрение остатков от деления на какое-нибудь число. Применив этот подход, иногда удаётся доказать, что у уравнения нет решений в целых числах. Однако иногда бывает так: решения у уравнения есть, и частные примеры находятся легко, однако доказательство того, что других решений нет, может быть сопряжено со значительными трудностями. Здесь на форуме не так давно обсуждалось одно уравнение такого типа. Скажем, можно рассмотреть уравнение $%x^3=y^2+2$% в натуральных числах, у которого есть очевидное решение $%x=3$%, $%y=5$%. При этом весьма непросто доказать, что других решений нет. Это требует рассмотрения числовых систем, использующих комплексные числа, и обладающих свойствами, схожими с обычной системой целых чисел со сложением и умножением.
Очень часто бывает полезен такой метод, который связан с нахождением ограничений. В частности, он применим к уравнению, указанному Вами в пункте 1. Ясно, что если все три числа большие, то обратные им числа малы, и их сумма не равняется единице. А если есть маленькое число, то все такие случаи перебираются вручную, и для каждого из них решения находятся полным перебором. Задача с похожим содержанием, насколько я помню, предлагалась в каких-то вариантах ЕГЭ.
Так или иначе, есть разные приёмы, позволяющие исследовать те или иные типы уравнений, но общего алгоритма, пригодного для решения таких задач, не имеется. Мне не известны какие-либо подходящие источники, систематически исследующие разные типы уравнений, но такие задачи то и дело встречаются в разного рода сборниках олимпиадных задач. Что касается общетеоретических сведений, то к ним можно отнести, например, описание пифагоровых троек, то есть общего уравнения $%a^2+b^2=c^2$% в натуральных числах. Если Вам этот материал не знаком, то полезно было бы прочитать (изложений этого вопроса, в том числе популярных, имеется масса).
Как решить уравнение в натуральных числах
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево.
При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Докажите, что уравнение 3x² + 2 = y² нельзя решить в целых числах.
Докажите, что уравнение x /y + y /z + z /x = 1 неразрешимо в натуральных числах.
Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей.
В комнате стоят трёхногие табуретки и четвероногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног.
Сколько в комнате табуреток?
Решение линейных уравнений с одной переменной.
В этой теме рассмотрим подробный алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной. Что же такое решение уравнений? Уравнение считается решенным, если мы нашли корни уравнения или доказали, что их нет. Линейные уравнения – это самый простой вид уравнений в школьной программе по математике.
Формула линейного уравнения.
Принято линейное уравнение записывать так:
ax+b=0
где коэффициенты a и b произвольные числа (числа которые явно записаны),
а переменная x – это неизвестное число.
Пример линейных уравнений:
5x-6=0,
0,3-4x=0,
6x=2.
Алгоритм решения линейного уравнения.
В математике существуют различные виды уравнений. Например, квадратные уравнения, рациональные уравнения, иррациональные уравнения и т.д. И каждый вид уравнения решается определенным способом. Не существует единого алгоритма решения всех уравнений, поэтому для каждого вида уравнений свой способ решения. И каждый способ надо запоминать. Теперь вернемся к линейным уравнениям и разберем пошаговый алгоритм действий.
Как решать линейные уравнения?
Правило решения достаточно просты.
1 шаг. У всех уравнений есть две стороны левая и правая. Знак равно = эти две части разделяет. Все что написано в уравнении до знака равно находится с левой части уравнения, а все что написано после знака равно — правая часть.
Рассмотрим пример линейного уравнения:
2x+5=8
Левая часть уравнения (2x+5) = правая часть уравнения (8)
2 шаг. Необходимо перенести неизвестные (переменные или буквы) в одну сторону, а известные (цифры) в другую сторону уравнения. При переносе слева на право или наоборот справа на лево числа или переменной, нужно поменять знак. Если был знак “+” поменяется на знак минус и наоборот.
В нашем примере 2х это неизвестное, а число 5 и 8 известное.
В уравнении 2x+5=8 число 5 находится слева, необходимо, это число перенести вправо, чтобы числа посчитать с числами. У числа 5 знак + поэтому при переносе слева на право знак поменяется на минус. Получим:
2x=8-5
2x=3
3 шаг. Если перед переменной стоит число, а в нашем уравнении стоит 2 перед х, тогда все уравнение делим на это число.
2x=3 |:2
|:2 такая запись означает, что мы должны все элементы уравнения поделить на 2. Если подробно расписать, то линейное уравнение будет выглядеть так:
2x:2=3:2
2x:2 получим 1x или просто х, а 3:2=1,5
x=1,5
4 шаг. Мы нашли корень уравнения x=1,5.
Корень уравнения – это число которое превращает уравнение в верное равенство.
Чтобы проверить правильно ли решено уравнение необходимо вместо переменной х в уравнение 2x+5=8 подставить найденный корень x=1,5.
2x+5=8
2 •1,5+5=8
3+5=8
8=8
Получено верное равенство, поэтому корень найден верно.
Рассмотрим следующий пример:
2х–3,5=7х+10
Сделаем перенос неизвестных влево, а известных вправо. Неизвестные – это 2х и 7х. Необходимо 7х перенести влево и поменять знак с “+” на “–”. Перед 7х не стоит ни каких знаков поэтому считается знак плюс. Известные – это -3,5 и 10. Число -3,5 нужно перенести слева на право и поменять знак с минуса на плюс. Получим:
2х–7х=10+3,5
–5х=13,5
Так как перед переменной х стоит число -5, нужно все уравнение поделить на -5, чтобы перед переменной х стало число 1.
–5х=13,5 |:(–5)
x=13,5:( –5)
x=–2,7
Сделаем проверку. Подставим в уравнение 2х–3,5=7х+10 вместо переменной х число –2,7.
2х–3,5=7х+10
2•(–2,7)–3,5=7•(–2,7)+10
–5,4–3,5= –18,9+10
-8,9=-8,9
Линейные уравнение, которые не имеют решения.
Уравнения могут не иметь решения. Как же выглядят такие линейные равнения? Как решаются такие линейные уравнения.
Для простоты давайте рассмотрим пример:
3х-6,7=х+4+2х
Здесь мы решаем точно также, как и в предыдущих примерах. Неизвестные (3х, х и 2х) группируем с лева, а известные (-6,7 и 4) – с права. Не забываем менять знаки при переносе. Получаем:
3х-х-2х=4+6,7
0х=10,7 или 0=10,7
Всем известно, что число 0 и 10,7 не равны друг другу, следовательно, у такого уравнения нет решения, потому что при любом значении переменной х верного равенства не будет.
Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.
Чаще всего у линейных уравнений один корень, но бывают случаи, когда корней бесконечное множество. Такое линейное уравнение легко распознать визуально. Левая часть и правая часть уравнения равны при любых переменных.
Рассмотрим пример:
-5+2х+1=9+2х-13
Переносим неизвестные влево, а известные вправо. Не забываем менять знак.
2х-2х=9-13+5-1
0=0
Когда левая часть и правая часть равны одинаковым выражениям, тогда такое линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.