Как нарисовать описанную окружность треугольника

от admin 14.03.2023

14.03.2023

Как нарисовать описанную окружность треугольника

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Треугольник описанный около окружности

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

треугольник описанный около окружности

△ ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

\[ h = b \cdot \sin \alpha \]

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

Разносторонний треугольник
Равносторонний / правильный треугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равнобедренныйпрямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

Равнобедренный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Основные формулы:

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

Как нарисовать описанную окружность треугольника

Вписанная и описанная окружность

Например, на рисунке 8.106 LaTeX formula: AD+BC=AB+DC .
Например, на рисунке 8.107 $LaTeX formula: \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^<\circ>» />. <img decoding=$

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают LaTeX formula: R , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :
1) для равностороннего треугольника со стороной LaTeX formula: a :
$LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<3>>» height=»» /> , (8.34) <img decoding=$ и площадью LaTeX formula: S :
$LaTeX formula: R=\frac<abc><4S>» height=»» /> , (8.36) <img decoding=$ и гипотенузой LaTeX formula: c :
$LaTeX formula: R=\frac<c><2>» height=»» /> , (8.38) <img decoding=$ и диагональю LaTeX formula: d :
$LaTeX formula: R=\frac<d><2>» height=»» /> , (8.40) <img decoding=$ :
$LaTeX formula: R=\frac<d><2>» height=»» /> ; (8.42) 6) для ромба с высотой <img decoding=$ :
$LaTeX formula: r=\frac<h><2>» height=»» /> ; (8.43) 7) для трапеции с высотой <img decoding=$ , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
$LaTeX formula: r=\frac<h><2>» height=»» /> . (8.44) Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами <img decoding=$ и площадью LaTeX formula: S , по формуле $LaTeX formula: R=\frac<abc><4S>» height=»» /> найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116); 8) для правильного шестиугольника со стороной <img decoding=$ :
LaTeX formula: R=a , (8.45)
$LaTeX formula: r=\frac<a\sqrt<3>><2>» height=»» /> . (8.46) Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка <img decoding=$ является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна $LaTeX formula: 2\pi -8$ .
Решение. Так как площадь круга радиуса LaTeX formula: r находят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной LaTeX formula: a находят по формуле LaTeX formula: S=a^<2>» height=»» /> , то согласно условию задачи запишем: <img decoding=

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами LaTeX formula: a и LaTeX formula: b находят по формуле LaTeX formula: S=ab .
Пусть LaTeX formula: b=x , тогда LaTeX formula: a=x+3 (рис. 8.118).
Получим: LaTeX formula: x(x+3)=4 , LaTeX formula: x^<2>+3x-4=0″ /> , откуда <img decoding= , следовательно, LaTeX formula: b=1 , LaTeX formula: a=4 .
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: LaTeX formula: d^<2>=1+16=17″ />, <img decoding=

Читать:

Как в 3 д макс вырезать один объект из другого

$LaTeX formula: a^<2>=\left (\frac<d_<1>> <2>\right )^<2>+\left ( \frac<d_<2>> <2>\right )^<2>» /> , <img decoding=$ .
По формуле $LaTeX formula: S=\frac<1><2>d_<1>d_<2>» /> найдем площадь ромба: <img decoding=$ , а так как LaTeX formula: h=2r , то LaTeX formula: S=2ar . Тогда LaTeX formula: 24=10r , а LaTeX formula: r=2,4 .
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна $LaTeX formula: 4\sqrt<3>» />. Решение. Площадь правильного треугольника со стороной <img decoding=$ находят по формуле: $LaTeX formula: S=\frac<\sqrt<3>a^<2>><4>» /> . Зная площадь треугольника, найдем его сторону: <img decoding=$ .
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: $LaTeX formula: r=\frac<4><2\sqrt<3>>=\frac<2><\sqrt<3>>» /> . По формуле 8.30 найдем длину окружности: <img decoding=$ находят по формуле 8.38 . Тогда LaTeX formula: c=2R=4 .
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты LaTeX formula: a и LaTeX formula: b раны и по теореме Пифагора LaTeX formula: c^<2>=2a^<2>» height=»» /> , откуда <img decoding=

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC . Точка LaTeX formula: O является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат LaTeX formula: ANOP со стороной 3. Если катет LaTeX formula: AC = 8 , а сторона квадрата LaTeX formula: AP=3 , то LaTeX formula: PC=5 .
Пусть отрезок LaTeX formula: NB = x . По свойству касательных LaTeX formula: CP=CK=5 и LaTeX formula: BN=BK=x .
Тогда по теореме Пифагора LaTeX formula: BC^<2>=AC^<2>+AB^<2>» height=»» /> или <img decoding= , LaTeX formula: x=12 .
Найдем катет LaTeX formula: AB : LaTeX formula: AB=AN+BN=3+12=15 .
Найдем площадь треугольника: $LaTeX formula: S_<\Delta ABC>=\frac<1><2>\cdot AC\cdot AB» /> , <img decoding=$

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: $LaTeX formula: \frac<6><4>=\frac<x><8>» />, откуда <img decoding=$ .
В свою очередь по формуле Герона $LaTeX formula: S=\sqrt<p(p-a)(p-b)(p-c)>» /> найдем площадь треугольника. Так как <img decoding=$ , то $LaTeX formula: S=\sqrt<15\cdot9\cdot3\cdot3>=9\sqrt<15>» />. Тогда <img decoding=$

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: LaTeX formula: CD=9 , LaTeX formula: h=2r=AB=6 .
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: LaTeX formula: AB+DC=BC+AD , LaTeX formula: 6+9=BC+AD , LaTeX formula: BC+AD = 15 .
Согласно формуле $LaTeX formula: S=\frac<1><2>(a+b)h» /> найдем площадь трапеции: <img decoding=$ , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции LaTeX formula: BD .
Радиус окружности, описанной около треугольника LaTeX formula: ABD , найдем по формуле 8.36 :
$LaTeX formula: R=\frac<AB\cdot BD\cdot AD><4\cdot S_<\triangle ABD>>=\frac<AB\cdot BD\cdot AD><4\cdot \frac<1><2>\cdot AD\cdot BN>» /> , <img decoding=$ и вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k , получим LaTeX formula: BC=5k , LaTeX formula: AD=12k .
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то $LaTeX formula: \frac<1><2>(5k +12k)=17″ />, откуда <img decoding=$ . Тогда LaTeX formula: BC = 10 , LaTeX formula: AD = 24 .
Поскольку четырехугольник LaTeX formula: BCKN является прямоугольником, то LaTeX formula: NK = 10 , тогда $LaTeX formula: AN=KD=\frac<1><2>(24-10)=7″ height=»» /> . <img decoding=$ , а, следовательно, и около трапеции LaTeX formula: ABCD :
$LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<338>\cdot 17\sqrt<2>><2\cdot 17>=\frac<2\cdot 13><2>=13″ />. Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: <img decoding=$ .
Ответ: $LaTeX formula: 169\pi$ .
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна $LaTeX formula: \sqrt<3>» />. Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: <img decoding=$ .
Длину окружности радиуса LaTeX formula: R находят по формуле:
$LaTeX formula: C=2\pi R$ . (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
$LaTeX formula: S=\pi R^<2>» /> . (8.32) <h2>Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов</h2> Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника. Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач. Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности. <img decoding=$

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле:

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Длина стороны равностороннего треугольника равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

где — сторона треугольника.

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где – полупериметр треугольника, a – его стороны.

Тогда , а диаметр окружности равен

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Рисунок к задаче 1

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .

В ответ запишем .

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике сторона равна , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

По теореме синусов

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике угол А равен , а угол В – . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона равна 10.

Зная, что сумма углов треугольника равна , найдем угол С.

По теореме синусов

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника :

Периметр треугольника – это сумма длин сторон, т.е.

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника равны 6 и соответственно, угол . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника .

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника , равен 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Пусть длина радиуса описанной окружности , а длина радиуса вписанной окружности

Мы знаем, что , где – полупериметр, – стороны треугольника.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Пусть радиус вписанной окружности , а гипотенуза

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике

Площадь находится по формуле где – полупериметр, – стороны треугольника.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника окружность в точке Р.

б) Найдите площадь треугольника , если радиус окружности, описанной около треугольника равен 10,

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов и соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
Тогда

– внешний угол треугольника , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б) , следовательно, треугольник – равнобедренный, – основание,

Угол равен , значит,

По теореме синусов для треугольника :

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. .

Найдем угол С из треугольника :

как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника находится по формуле:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Как нарисовать описанную окружность треугольника

Как нарисовать описанную окружность треугольника

Треугольник описанный около окружности

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус описанной окружности около треугольника

Площадь треугольника

Периметр треугольника

Сторона треугольника

Средняя линия треугольника

Высота треугольника

Свойства

Признаки существования

Признаки равенства

Термины

Как нарисовать описанную окружность треугольника

Вписанная и описанная окружность

Как нарисовать окружность в лазарусе

Как нарисовать ось координат

Похожие статьи