Как дополнить систему векторов до базиса

Пример 3. Построение ортонормированного базиса

Построить ортонормированный базис подпространства пространства натянутого на систему векторови

Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространствакоторое является линейной оболочкой векторовПрименим к этим векторам процесс ортогонализации.

Вначале возьмём Векторбудем искать в видеИз условия перпендикулярностиполучаем:Следовательно,Далее, следующий базисный вектор будем искать в видеИз условийиполучаем:и

Отсюда Таким образом, ортогональный базис пространстватаков:Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:

Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.

Убедиться в том, что векторы ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.

Решение.Проверим ортогональность. Имеем:Следовательно,Таким образом, мы можем положитьДругие векторыортогонального базиса удовлетворяют условиямиПустьУсловиедаёт систему

Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:Перенесёмв правую часть:Переменныездесьсвободные, а переменные–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначалезатеми найдёмСоставим таблицу:

линейная-алгебра — Дополнение векторов до базиса пространства

Есть следующий набор линейно независимых векторов: (1,0,0,4,1), (0,1,0,-18,-5), (0,0,1,-5,-2). Как дополнить его до базиса всего пространства $$R^<5>$$ ? Правильно ли я понимаю, что если добавить вектора (1,0,0,0,0) и (0,1,0,0,0), то это и будет ответ? Как в таком случае это строго обосновать?

задан 4 Фев ’17 18:53

Посчитайте определитель матрицы, составленной из этих строк. Если он не 0, то вы правильно подобрали)

@leonardeuler: если вместо указанных векторов добавить два других, а именно, (0,0,0,1,0) и (0,0,0,0,1), то обосновывать практически ничего не надо: получится матрица ступенчатого вида, а её строки линейно независимы.

Для Вашего случая всё тоже подходит, но тут уже надо проверять, и если бы вместо -18 было -20, то базис эти векторы уже не образуют.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Дополнить до базиса

Дана система векторов: . Нужно дополнить до базиса.
Я рассуждал так: канонический базис понятно какой. Нужно из него выбрать вектор, который не принадлежит линейной оболочке этой системы. Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.

Как дополнить систему векторов до базиса

Возникает вопрос о возможности включения любой линейно независимой системы векторов в какой-нибудь базис.

Линейно независимую систему векторов ненулевого конечномерного векторного пространства не являющуюся базисом пространства, можно дополнить до базиса пространства

— линейно независимая система, не являющаяся базисом пространства Пусть — базис пространства Рассмотрим систему

По следствию 3.3, эта система линейно зависима. Поэтому хотя бы один из векторов есть линейная комбинация предшествующих ему векторов в системе (S). Вычеркнем один из таких векторов из системы (S); получим систему

эквивалентную системе S и поэтому порождающую пространство Если содержит более элементов, то (по следствию 3.3) она линейно зависима и, значит, один из элементов является линейной комбинацией предшествующих элементов. Вычеркнем этот элемент из Получающаяся при этом система эквивалентна системе S и поэтому порождает пространство . Продолжая этот процесс, после вычеркиваний мы получаем систему векторов

эквивалентную системе S и поэтому порождающую пространство По следствию 3.4, система является базисом пространства Так как система содержит исходную систему (1), то система является искомым базисом пространства

ТЕОРЕМА 3.7. Если U — подпространство конечномерного векторного пространства то существует такое подпространство пространства 4°, что

Доказательство. Равенство (1) верно, если U — тривиальное подпространство, т. е. нулевое или совпадающее с Предположим, что — нетривиальное подпространство и

По теореме 3.6, систему (2) можно дополнить до базиса пространства т. е. существуют такие векторы что система

является базисом пространства Тогда

где . Докажем, что

Действительно, если , то

В силу линейной независимости системы (3) следует равенство нулю всех коэффициентов, в частности Следовательно, т. е. выполняется (5).