Как проверить матрицу на симметричность

WolframAlpha для всех

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Как проверить симметричность матрицы в Wolfram|Alpha

Как узнать, является ли данная матрица симметричной?

Матрицу A называют симметричной или симметрической, если ее элементы симметричны относительно диагоналей матрицы. Поэтому симметричная матрица всегда квадратная и совпадает с её транспонированной матрицей:

Отсюда следует, чтобы просто выяснить, является ли матрица симметричной, достаточно просто визуально проверить: (а) квадратная ли она, и (б) симметричны ли ее элементы относительно диагоналей матрицы.

Если же нужно доказать симметричность или несимметричность матрицы, можно найти транспонированную матрицу и сравнить ее с данной матрицей: если они совпадают, значит данная матрица симметричная. В вычислительных алгоритмах может быть удобнее находить разность двух матриц:

калькулятор симметричных матриц

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы определить, является ли данная матрица симметричной или нет, показывая все шаги. Все, что вам нужно сделать, это предоставить матрицу \(A\), введя ее значения ниже.

При необходимости измените размер матриц, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицы (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью "TAB")

Количество строк = Количество столбцов = Change
The number of rows and columns provided needs to be integers that are greater than 1. The maximum number of rows is 8, and the maximum number of columns is 8

Подробнее об этом калькуляторе симметричных матриц

Симметричные матрицы — это специальные матрицы, обладающие очень аккуратными свойствами. Во-первых, симметричная матрица — это тип квадратной матрицы со свойством, что ее строки точно такие же, как и ее столбцы.

Другой способ увидеть, что симметричная матрица — это квадратная матрица со свойством, что когда вы взять его транспонировать , вы получите точную исходную матрицу.

Следовательно, сокращенное определение: Матрица \(A\) симметрична, когда \(A^T = A\).

Как узнать, симметрична ли матрица?

Проверка того, является ли матрица симметричной, является относительно простой операцией, по крайней мере, по сравнению с другими более сложными и сложными матричными процедурами, такими как матричные умножения , или же найти обратную матрицу .

Вы должны выполнить простые шаги, показанные ниже, чтобы определить, является ли матрица симметричной.

Шаг 1: Получите исходную матрицу, заданную \(A\), и вычислите ее транспонированную матрицу.

Шаг 2: После того, как вы вычислили транспонированную матрицу \(A^T\), сравните ее с исходной матрицей почленно.

Шаг 3: Если все элементы транспонированной матрицы совпадают с элементами исходной матрицы, то матрица симметрична.

Что такое формула симметрии матрицы?

Формула симметрии матрицы \(A^T = A\), которая из раз записывается через компоненты, как \(A^T_ = A_\). Другой способ выразить то же самое — использовать формулу симметрии \(A = A_\).

Пример симметричной матрицы

Матрица ниже дает вам пример симметричной матрицы:

Как определить, что он симметричен? Что ж, просто вычислите его транспонирование, получив столбцы исходной матрицы и поместив их в строки транспонирования. И вы увидите, что в данном случае \(A^T = A\). Значит симметрично.

Связанные калькуляторы

report this ad

Симметричные и антисимметричные матрицы

: Квадратная матрица A называется симметричной, если A T =A В частности, симметричной является любая диагональная матрица. Если забыли, что такое диагональная матрица, гляньте на рис. 2 . Попробуйте эту матрицу с рисунка 2 мысленно транспонировать. Диагональные элементы при этом, оказывается, остаются на месте. А теперь посмотрите на симметричную матрицу на рисунке 9. Вы видите симметрию? Попробуйте и эту матрицу мысленно транспонировать. Определение: Квадратная матрица A называется антисимметричной , если A T = -A . Теперь посмотрите на антисимметричную матрицу. Чем она отличается от симметричной? Обратите внимание, что все её диагональные элементы равны нулю. У антисимметричных матриц все диагональные элементы равны нулю. Подумайте, почему? Отметим некоторые свойства операций над симметричными и антисимметричными матрицами. 1. Если A и B — симметричные (антисимметричные) матрицы, то и A + B — симметричная (антисимметричная) матрица. 2.Если A — симметричная (антисимметричная) матрица, то xA также является симметричной (антисимметричной) матрицей. (в самом деле, если умножить матрицы из рисунка 9 на какое — нибудь число, симметрия то всё равно сохранится) 3. Произведение AB двух симметричных или двух антисимметричных матриц A и B есть матрица симметричная при AB = BA и антисимметричная при AB = -BA. 4. Если A — симметричная матрица, то и A m (m = 1, 2, 3, . . .) — симметричная матрица. Если A — антисимметричная матрица, то A m (m = 1, 2, 3, . . .) яв ляется симметричной матрицей при четном m и антисимметричной — при нечетном. 5. Произвольную квадратную матрицу A можно представить в виде суммы двух матриц. (назовём эти матрицы, например A (s) и A (a) ) A=A (s) +A (a) A (s) =(A+A T )/2 A (a) )=(A-A T )/2

Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A −1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице:

Так как , получаем. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) являетсяневырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: системаимеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит названиеальтернативы Фредгольма.

решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы.

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУn ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

Решение.В матричной форме исходная система запишется как , где. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем, следовательно, для матрицыА может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы. Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как, где— алгебраические дополнения элементов.

В нашем случае

Тогда Выполним проверку полученного решения, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений. Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно.

или в другой записи .

Как проверить, симметрична ли матрица?

Я должен разделить матрицу пополам по вертикали и посмотреть, симметрична ли она. Например, если mat [0] [0] == mat [0] [1] и mat [1] [0] == mat [1] [1], матрица является симметричной. Мне удалось проверить симметрию в матрице 2×2, но я хочу, чтобы функция была доступна в любой матрице, например 4×4 или 3×3.

я и j — переменные, которые я использую для прохождения элементов mat, а n — размерность матрицы. Это функция для матрицы 2х2. Как я могу обобщить это?