Как найти угол зная косинус

Таблица косинусов, найти значения угла косинусов

Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций. Является соотношением ближнего к углу прямоугольного треугольника катета к гипотенузе. Записывается следующим образом: cos (А) = АС/АВ, где АС – ближний катет угла (А), АВ – гипотенуза.

Зачем необходимо производить такие сложные на первый взгляд вычисления? Еще с древних времен известна аксиома: знаю угол – знаю его тригонометрическую функцию. Соответственно, если известен cos любого угла, в таблице Брадиса можно найти этот угол. И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.

Эти данные используются не только в голых математических вычислениях. Невозможно составить даже элементарный план местности, не зная тригонометрических функций. Посредством онлайн калькулятора можно облегчить задачу и получать требуемые данные за доли секунды.

Найти угол, зная косинус угла: примеры решения

Имея на руках значение косинуса угла, выяснить угол, которому он принадлежит, совсем не сложно.

Существует специальная тригонометрическая функция, которой можно воспользоваться для этого и называется она арккосинусом (записывается как $\arccos$).

Для того чтобы воспользоваться ей и узнать значение угла, можно применить специальную расширенную таблицу со значениями углов и соответствующих им тригонометрических функций. Эта таблица называется таблицей Брадиса.

Также наиболее часто встречающиеся значения углов и соответствующих им синусов-косинусов собраны в небольшую таблицу внизу:

Рисунок 1. Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Но есть и другой, более современный вариант нахождения угла по значению косинуса: достаточно включить режим Scientific (Научный) и найти кнопку переключения функций на калькуляторе.

В Windows 10 она обозначается стрелкой как показано на рисунке. При её нажатии кнопка $\sin$ поменяется на $\sin^<-1>$, а $\cos$ на $\cos^<-1>$. Теперь для того чтобы узнать значение угла по косинусу — просто набираете значение функции и жмёте кнопку $\cos^<-1>$. Не забудьте выбрать нужную единицу измерения — градусы или радианы.

Рисунок 2. Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Найдите, чему равен $\arccos 0,456$.

Решение:

Воспользуемся калькулятором в Научном режиме, на рисунке представлен калькулятор Mac OC, кнопка переключения между $\sin$ и $\sin^<-1>$ обведена красным:

Рисунок 3. Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После нажатия кнопки мы получили значение $α = 27,129°$.

Определите, чему равен угол, если известен его косинус, и он равен $0,95$.

Как найти угол зная косинус 🚩 значения косинусов 🚩 Математика

Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.

Функция арккосинус не является четной или нечетной

Видео

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Теорема косинусов

Для любого треугольника справедливо равенство:

a 2 = b 2 + c 2 — 2b × c × cosA,

где угол A — это угол, противолежащий стороне a.

Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A — прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0. Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:

где a — гипотенуза.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

1. Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6. Из треугольника АВС найдем cos B:
2. Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.

1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
2. Так как a 2 + b 2 < c 2 , то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

Как пользоваться теоремой косинусов

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 4969.

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии. Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора, и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .

• Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?

• В нашем примере сторона XZ неизвестна, поэтому в формуле она обозначена как c <\displaystyle c>. Так как стороны YX и YZ известны, они обозначены переменными a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>. Переменная C <\displaystyle C>— это угол Y. Итак, формула запишется следующим образом: c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) cos ⁡ 89 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)\cos <89>> .

• Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) ( 0 , 01745 ) <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)(0,01745)> .

• Например:
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) ( 0 , 01745 ) <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)(0,01745)>
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-1,5707>

• Например:
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-1,5707>
  c 2 = 25 + 81 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=25+81-1,5707>
  c 2 = 106 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=106-1,5707>

• Например:
  c 2 = 106 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=106-1,5707>
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle c^<2>=104,4293>

• Например:
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle c^<2>=104,4293>
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <104,4293>>>
  c = 10 , 2191 <\displaystyle c=10,2191>
  Итак, неизвестная сторона равна 10,2191 см.

• Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.

• Например, сторона RT противоположна неизвестному углу S, поэтому сторона RT — это c <\displaystyle c>в формуле. Другие стороны будут a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>. Итак, формула запишется следующим образом: 12 2 = 8 2 + 10 2 − 2 ( 8 ) ( 10 ) cos ⁡ C <\displaystyle 12^<2>=8^<2>+10^<2>-2(8)(10)\cos > .

• Например, 12 2 = 8 2 + 10 2 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 12^<2>=8^<2>+10^<2>-160\cos > .

• Например, 144 = 8 2 + 10 2 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=8^<2>+10^<2>-160\cos >

• Например:
  144 = 64 + 100 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=64+100-160\cos >
  144 = 164 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=164-160\cos >

• Например, чтобы изолировать косинус неизвестного угла, вычтите 164 из обеих сторон уравнения, а затем разделите каждую сторону на -160:
  144 − 164 = 164 − 164 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144-164=164-164-160\cos >
  − 20 = − 160 cos ⁡ C <\displaystyle -20=-160\cos >
  − 20 − 160 = − 160 cos ⁡ C − 160 <\displaystyle <\frac <-20><-160>>=<\frac <-160\cos ><-160>>>
  0 , 125 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,125=\cos >

• Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.

• Так как даны две стороны и угол между ними, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Неизвестная сторона — это c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) cos ⁡ 68 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)\cos <68>> .
• Вычислите c 2 <\displaystyle c^<2>> , соблюдая порядок математических операций:
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) cos ⁡ 68 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)\cos <68>>
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) ( 0 , 3746 ) <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)(0,3746)>
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-254,7325>
  c 2 = 400 + 289 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=400+289-254,7325>
  c 2 = 689 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=689-254,7325>
  c 2 = 434 , 2675 <\displaystyle c^<2>=434,2675>
• Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Так вы найдете неизвестную сторону:
  c 2 = 434 , 2675 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <434,2675>>>
  c = 20 , 8391 <\displaystyle c=20,8391>
  Итак, неизвестная сторона равна 20,8391 см.

• Так как даны все три стороны, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Сторона, противоположная неизвестному углу, — это c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: 13 2 = 22 2 + 16 2 − 2 ( 22 ) ( 16 ) cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=22^<2>+16^<2>-2(22)(16)\cos > .
• Упростите полученное выражение:
  13 2 = 22 2 + 16 2 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=22^<2>+16^<2>-704\cos >
  13 2 = 484 + 256 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=484+256-704\cos >
  169 = 484 + 256 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169=484+256-704\cos >
  169 = 740 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169=740-704\cos >
• Изолируйте косинус:
  169 − 740 = 740 − 740 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169-740=740-740-704\cos >
  − 571 = − 704 cos ⁡ C <\displaystyle -571=-704\cos >
  − 571 − 704 = − 704 cos ⁡ C − 704 <\displaystyle <\frac <-571><-704>>=<\frac <-704\cos ><-704>>>
  0 , 8111 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,8111=\cos >
• Найдите арккосинус. Так вы вычислите неизвестный угол:
  0 , 8111 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,8111=\cos >
  35 , 7985 = C O S − 1 <\displaystyle 35,7985=COS^<-1>> .
  Таким образом, угол H равен 35,7985°.

• Тропы образуют треугольник. Нужно найти длину неизвестной тропы, которая представляет собой сторону треугольника. Так как даны длины двух других троп и угол между ними, можно использовать теорему косинусов.
• Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Неизвестную тропу (Болотную) обозначим как c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) cos ⁡ 135 <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)\cos <135>> .
• Вычислите c 2 <\displaystyle c^<2>> :
  c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) cos ⁡ 135 <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)\cos <135>>
  c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) ( − 0 , 7071 ) <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)(-0,7071)>
  c 2 = 3 2 + 5 2 − ( − 21 , 2132 ) <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-(-21,2132)>
  c 2 = 9 + 25 + 21 , 2132 <\displaystyle c^<2>=9+25+21,2132>
  c 2 = 55 , 2132 <\displaystyle c^<2>=55,2132>
• Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Так вы найдете длину неизвестной тропы:
  c 2 = 55 , 2132 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <55,2132>>>
  c = 7 , 4306 <\displaystyle c=7,4306>
  Итак, длина Болотной тропы равна 7,4306 км.

• Проще пользоваться теоремой синусов. Поэтому сначала выясните, можно ли применить ее к данной задаче.

Дополнительные статьи

1. ↑https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
2. ↑http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
3. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-example
4. ↑http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=IntroductoryMathematics_TrigonometryTable.xml
5. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-example
6. ↑https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
7. ↑http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
8. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-missing-angle
9. ↑http://www.mathopenref.com/arccos.html

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 4969.