Как найти проекцию вектора на плоскость

4. Проекция вектора на ось и на плоскость.

Определение. Проекцией точки на осьназывается точка— точка пересечения этой оси с плоскостью, проходящей через точку, перпендикулярно оси(рис. 2.17).

Определение. Геометрической проекцией вектора на осьназывается вектор, гдеисоответственно проекции Рис. 2.17 точек ина ось.

Пусть орт направления оси, тогда существует такое число, что вектор. Числоназываюталгебраической проекцией вектора на осьи обозначают прили пр.

Очевидно, пр=, где— угол между вектороми положительным направлением оси.

Имеют место следующие свойства: а) ; б). Рассматривая отдельноилегко установить свойство а). Второе свойство очевидно.

Определение. Проекцией точки на плоскостьназывается точка— точка пересечения этой плоскости и перпендикуляра, опущенного из точкина плоскость (рис. 2.18).

Определение. Проекцией вектора на плоскость

называют вектор , гдеипроекции точекина эту плоскость и обозначают её

Рис. 2.18 .

Свойства проекции вектора на плоскость:

а) (постоянный множитель можно выносить за знак проекции);

б) (проекция суммы равна сумме проекций).

Справедливость свойства усматривается из рисунка 2.18.

5. Различные виды произведений векторов.

5.1. Скалярное произведение двух векторов.

Определение скалярного произведения векторов

и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначается(или, или).

Если — угол между векторамии, то по определению.

Так как , то справедлива формула. Справедлива и формула.

Итак,

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.

1). (коммутативный закон). Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2). (ассоциативный закон). ►Действительно, .◄

3). (дистрибутивный закон.) ►◄

4). .

Скалярное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

►Необходимость. Пусть , тогда, откуда либо один из векторов нулевой, либо. Если один из векторов нулевой, то ему можно приписать любое направление, и векторыиперпендикулярны. Если же, то уголпрямой и векторыиперпендикулярны.

Доказано, что из следует.

Достаточность. Пусть, тогда, а, следовательно,. Следовательно, изследует.◄

5). .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора. ►Действительно, ◄

Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть и.

Так как взаимно перпендикулярные орты, то,и, учитывая свойства скалярного произведения, имеем.

Скалярное произведение векторов ив координатной форме равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, т.е. .

Применение скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.

1) или.

2) .

3) .

4) .

● Пример 9. Дано: ,,,,.

Найти: а) длину вектора ;

б) значение параметра , при котором векторыиперпендикулярны.

Решение. а) ;

б) .=

, откуда .

При векторыиперпендикулярны.

● Пример 10. Даны два вектора ,, приложенные к одной точке. Найти вектор, перпендикулярный вектору, равный ему по длине, компланарный с векторами,и образующий с векторомострый угол.

Решение. Так как векторы ,,компланарны, а векторыинеколлинеарны, то векторможет быть разложен по векторами. Найдутся такие числаи, что. Тогда. Вектор, поэтому скалярное произведение.и.

Вектор образует с векторомострый угол, поэтому косинус угла между этими векторами положителен и., откуда.

Так как , то и , откуда. Учитывая, что , имееми.●

Определение проекции вектора на плоскость

$$ art_name$

Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом «Профи.ру» для репетиторов.

Задача. Чему равны координаты проекции вектора на плоскость, проходящую через точки ?

Уравнение плоскости определяется выражением:

Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим это в первое уравнение, получим

Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:

Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:

Это можно разделить на , и тогда мы получим:

Векторы132

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.

Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: , что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, перпендикулярной оси , а значит, сама плоскость ей параллельна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную -1 — координате исходного вектора. Остается найти его первую и третью координаты.

У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть координаты двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.

Общий вид уравнения:

Пусть координаты начала вектора проекции , координаты конца .

Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:

Из этого уравнения имеем:

Уравнение плоскости преобразуем к виду:

Решим эти два уравнения совместно:

Подставим в уравнение прямой:

Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:

Проекции векторов на прямую и на плоскость

Пусть на плоскости задана прямая Проекцией вектора , началом которого служит проекция , начала конца . Проекцией вектора (вдоль плоскости ) называется вектор , началом которого служит проекция , начала конца перпендикулярна прямой

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая . Проекцией вектора параллельно прямой , началом которого служит проекция начала конца , то проекция называется ортогональной.

Свойства проекций векторов

1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую — проекция вектора — проекция вектора , т.е. проекции одного и того же вектора

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы и . Из равенства следует, что четырехугольник — параллелограмм, а треугольники и равны по стороне и двум прилежащим углам

Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.

Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).

1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые и , то любой вектор и на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. .

2. Если в пространстве заданы три прямые и , пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. .

В самом деле, пусть прямые и пересекаются в точке . По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство , которое равносильно доказываемому равенству , так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.

Если же вектор , то соответствующие проекции имеют вид: и равенство , очевидно, выполняется.

Аналогично доказывается второе утверждение.

Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.

Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора и соответственно.

Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора соответственно.

В самом деле, отложим от произвольной точки (рис.1.19,6). Тогда из равенства следует, что , т.е. вектор — является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому — проекции вектора на прямые (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора равны соответственно. Наконец, проекции на прямые равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы соответственно.

Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках соответственно, то

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую вдоль прямой (рис. 1.20). Для этого через точку , параллельную прямой . По свойству 4 проекций имеем:

Перемножая эти пропорции, получаем , что равносильно доказываемому равенству.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.

Пример 1.6. Если на сторонах треугольника взяты соответственно точки так, что прямые пересекаются в одной точке, то

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке (рис.1.21). Через точку проведем прямые и параллельно и соответственно. По свойству проекций (свойство 4):

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:

04.09. Векторная и скалярная проекции вектора

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.

Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Докажите, что при параллельном переносе векторов их векторная проекция не изменится.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 – вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически разделяются строго на практике. Обычно пользуются термином «проекция вектора», подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же задач необходимо четко эти понятия различать. Следуя установившейся традиции, будем использовать термины «проекция вектора», подразумевая скалярную проекцию, и «векторная проекция» – в соответствии с установленным смыслом.

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О – начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L – угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то