Как найти объем тела ограниченного поверхностями через двойной интеграл

8

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

Как мы знаем, объем V тела, ограничен­ного поверхностью , где — неотрицательная функ­ция, плоскостьюи цилиндрической поверхностью, направ­ляющей для которой служит граница областиD, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции по областиD :

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

Решение. D — заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак, куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограни­чено сверху поверхностью а снизу—поверхностью, причем проекцией обеих поверхностей на пло­скостьОху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх­ним — поверхность второе тело имеет нижним осно­ванием также областьD, а верхним — поверхность (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

(1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда инеотрицательны, но и тогда, когдаи— любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Замечание 2. Если в области D функция меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) областьD₁ где 2) областьD₂ ,где . Предположим, что областиD₁ и D₂ таковы, что двойные интегралы по этим обла­стям существуют. Тогда интеграл по области D₁ будет положи­телен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D₂ будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать раз­ность соответствующих объемов.

б) Вычисление площади плоской области.

Если мы со­ставим интегральную сумму для функции по областиD, то эта сумма будет равна площа­ди S,

при любом способе разбиения. Пере­ходя к пределу в правой части равен­ства, получим

Если область D правильная , то площадь выразится двукратным интегралом

Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно,

Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми

Решение. Определим точки пересечения данных кривых (Рис.19). В точке пересечения ординаты равны, т.е. , отсюдаМы получили две точки пересечения

Следовательно, искомая площадь

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением где функциянепрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскостьOxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадкевозьмём точкуТочкеP_i будет соответствовать на поверхности точка Через точкуM_i проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости выделим такую пло­щадку , которая проектируется на плоскостьОху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел этой суммы, когда наибольший из диаметров пло­щадок— стремится к нулю, мы будем называтьплощадью по­верхности, т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна­чим через угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

(3)

Угол есть в то же время угол между осьюOz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение поверхности дано в виде или в видето соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

(3 ’ )

(3 ’’ )

где D ’ и D ’’ — области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.

Пример 1. Вычислить поверхность сферы

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы (рис.22). В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением Следовательно,

Пример2. Найти площадь той части поверхности цилиндра которая вырезается цилиндром

Решение. На рис.23 изображена часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно,

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) , то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой . Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади основания . Получаем формулу для вычисления площади области :

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры относительно осей и (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры — по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т. е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле .

Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример №53.3.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями и .

Решение:

Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения: .

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями и . Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример №53.4.

Найти массу, статические моменты и и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение:

По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, , где — коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Примеры решений двойных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения заданий с использованием двойных интегралов разной сложности. Для удобства использования примеры разбиты по подразделам:

Порядок интегрирования: примеры решений

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

$$ \int_0^1 dy \int_<-\sqrt>^0 fdx +\int_1^e dy \int_<-1>^<\ln> fdx $$

Задача 2. Свести к однократному интегралу

Задача 3. Изменить порядок интегрирования. Нарисовать область интегрирования и вычислить двойной интеграл двумя способами.

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Двойной интеграл по области: примеры решений

Задача 4. Вычислить двойной интеграл по области $D$

Задача 5. Вычислить двойной интеграл от функции $z=x^3+y^3-3xy$ по области D, заданной системой неравенств $0 \le x \le 2$, $y \le \sqrt$. Область D изобразить на рисунке.

Задача 6. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области $D$.

Площади: примеры решений

Задача 7. Вычислить площадь области D: $y=-2x^2+2, y \ge -6$.

Задача 8. Найти площадь области $x^2-2x+y^2=0$, $x^2-4x+y^2=0$, $y=0$, $y=\sqrt<3>x$.

Задача 9. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (неравенствами) $y=x^2,x=2y^2$

Задача 10. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

Задача 11. Вычислить площадь области, заданной неравенствами $(x-r)^2+y^2 \le r^2, y \ge 0, -2x+2r \ge y$, перейдя предварительно к полярным координатам.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы или типовика по интегральному исчислению, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 60 рублей, срок от нескольких часов.

Объемы: примеры решений

Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

$$ x^2+y^2=2y, \quad x^2+y^2=5y, \quad z=\sqrt, \quad z=0. $$

Задача 13. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

$$ a^2 \le x^2+y^2 \le b^2, \quad x^2-y^2-z^2 \ge 0, x\ge 0$$

Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного и тройного интеграла $x^2+y^2=4x,x^2+y^2+z^2=16$

Масса, центр тяжести, момент: примеры решений

Задача 15. Пластина $D$ задана уравнениями $x=1$, $y \ge 0$, $y^2=4x$ с плотностью $\mu = 6x+3y^2$. Найти массу пластины.

Задача 16. Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной кривой

$$ x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), \quad 0 \le t \le 2\pi; y=0. $$

Задача 17. Найти центр тяжести плоской пластины, ограниченной кривой $(x+y)^4=xy$, имеющей плотность

Задача 18. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси $Ox$ тонкой однородной пластинки, имеющей форму области $D$, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования

Задача 19. Найти массу круглой пластины $D: x^2+y^2 \le 1$ с поверхностной плотностью $\rho(x,y)=3-x-y$.

Задача 20. Найти момент инерции относительно оси $Ox$ однородной фигуры, ограниченной двумя кривыми $y^2=8x+4$, $y^2=-8x+4$.

Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений

Прозвучал удар гонга, который открывает второй раунд в бою с двойными интегралами. Если вы недавно надели перчатки или вообще боксируете с грушей, то, пожалуйста, начните с первого раунда Двойные интегралы для чайников. Настоятельно рекомендую разобраться со всеми примерами вводного урока без халтуры, это очень важно. К тому же, добрый дядя Саша нарисовал много картинок, которые можно распечатать и наклеить у себя в туалете. Помните, что Коперник свои блестящие открытия в астрономии делал именно там.

Однако задорное получилось вступление…. Задумался вот… почему? Да потому что мне хорошо. А отчего хорошо, поясню в конце статьи.

Вспоминаем общую запись двойного интеграла:

В первой статье Двойные интегралы для чайников я очень подробно рассмотрел понятие двойного интеграла, алгоритм его решения, важнейшие задачи на обход области интегрирования. Также были прорешаны простейшие двойные интегралы в примерах на нахождение площади плоской фигуры.

Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных . А когда речь заходит о функции двух переменных, то это часто попахивает частными производными второго порядка. Поэтому для освоения примеров вам нужно уметь более или менее уверенно их находить.

В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём. Геометрический смысл двойного интеграла поясню ниже на конкретных примерах.

Начинаем набивать наш двойной интеграл разнообразной начинкой:

Вычислить двойной интеграл
,
Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Напоминаю, что выполнение чертежа – это строго показанный начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно, поскольку ошибка в графике незамедлительно запорет всё задание.

Выберем следующий порядок обхода:

Вопросы порядка обхода области интегрирования, я комментировать практически не буду, пожалуйста, смотрите статью Двойные интегралы для чайников.

Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано.

С интегралами настоятельно рекомендую разбираться по пунктам:

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл:

Вместо «игрека» подставляем функции!

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл , при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится:

Замечательно, если у вас под рукой есть микрокалькулятор, на котором можно считать обыкновенные дроби, он значительно ускорит заключительные вычисления. В последующих примерах я не буду подробно расписывать приведение дробей к общему знаменателю, а просто запишу ответ.

Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом.

Перейдём к обратным функциям:

Для наглядности еще раз приведу чертёж, он будет точно таким же, но с другими обозначениями графиков:

Второй способ обхода области:

Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл.

1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл:

Вместо «икса» подставляются функции!
Всегда проявляйте повышенное внимание при подстановке пределов интегрирования.

2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления:

Результаты совпали, значит, задание выполнено верно.

Если есть время, постарайтесь всегда проводить проверку, даже если этого не требуется в условии: вычислили интеграл одним способом – затем изменили порядок обхода области и вычислили вторым способом.

Ответ:

Вычислить двойной интеграл
,
Выполнить проверку: изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что в двойном интеграле изначально присутствует константа. А константу можно вынести за знак двойного интеграла, в данном случае:

В ходе решения вынесение константы целесообразно проводить в момент перехода к повторным интегралам.

Как видите, свойство линейности справедливо не только для «обычных», но и для кратных интегралов. Интеграл от интеграла недалеко падает.

Самое главное потом при вычислениях вынесенную константу не потерять. А забывают о ней часто.

Примерный образец чистового оформления примера в конце урока.

Двойной интеграл как объем тела

Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла . Предполагаем, что функция существует в каждой точке плоской области и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью .

Согласно общей концепции интегрирования, произведение равно бесконечно малому объёму элементарного кусочка тела (посмотрите на кусок, выделенный на чертеже пунктирными линиями, и мысленно сделайте бесконечно малыми его «длину» и «ширину»). Двойной же интеграл объединяет эти бесконечно малые значения по всей области , в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрического бруса :

Что это за тело, думаю, понятно – снизу цилиндрический брус ограничен заштрихованной областью , а сверху – фрагментом поверхности («шапкой»).

Дополнительно поясню геометрический смысл на Примере № 1. В нём мы рассматривали двойной интеграл , причём область интегрирования имела следующий вид:

Из начала координат перпендикулярно экрану монитора мысленно проведите на себя стрелку оси . Подынтегральная функция задаёт плоскость в пространстве, которая проходит над областью и ограничивает цилиндрический брус сверху, поэтому значение его объёма получилось положительным: . Да, такой вот малюсенький брусок, 1/15-я единичного «кубика».

Двойной интеграл может быть и отрицательным, в таких случаях график функции полностью (или бОльшей частью) лежит под областью . И если в задаче требуется найти именно объём тела с помощью двойного интеграла (в тройном этот вопрос отпадает), то к «кускам», лежащим ниже плоскости , следует добавить знак «минус» (по аналогии с площадью криволинейной трапеции, лежащей ниже оси абсцисс).

Однако на практике почти всегда встречаются задачи на формальный расчёт двойных интегралов, поэтому мы продолжим совершенствовать технику вычислений:

Вычислить двойной интеграл
,

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

После того, как корректно выполнен чертеж и правильно найдена область интегрирования, самое время разобраться с порядком обхода.

Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом нужно будет вычислить следующие интегралы:

Энтузиазма, прямо скажем, мало. Проанализируем, а не проще ли использовать второй способ обхода области? Перейдем к обратным функциям, переход здесь элементарен:

Порядок обхода области:

Ну вот, совсем другое дело. И снова заметьте, что во внутреннем интеграле интегрирование осуществляется по «икс», поэтому константу можно сразу вынести во внешний интеграл

1) Найдём внутренний интеграл:

Всё-таки подстановка пределов интегрирования, порой, выглядит своеобразно. Сначала вместо «икса» мы подставили верхний предел интегрирования , затем вместо «икса» подставили нижний предел интегрирования . Будьте внимательны при подстановках!

2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:

Ответ:

Для тренировки можете попробовать вычислить двойной интеграл менее рациональным способом: . Результаты должны совпасть.

Вычислить двойной интеграл
,

Это пример для самостоятельного решения. Постройте область и проанализируйте, какой способ обхода области выгоднее использовать. Полное решение и ответ в конце урока.

Усложняем задачу, теперь подынтегральная функция будет представлять собой сумму. Рассмотрим еще два примера, где я остановлюсь на приёме вычисления интеграла, который типичен и эффективен для кратных интегралов:

Вычислить двойной интеграл
,

Решение: Сначала рассмотрим то, чего делать не нужно – в данном случае не следует использовать свойство линейности кратного интеграла и представлять его в виде:

Почему? Вычислений заметно прибавится!

Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования:

Область незамысловата, даже штриховать не буду. В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области:

Здесь, в отличие от двух предыдущих примеров, из внутреннего интеграла ничего вынести нельзя, поскольку начинкой является сумма.

С повторными интегралами опять разбираемся по отдельности. Да, кстати, кто хочет посмотреть, как решать повторные интегралы одной строкой, пожалуйста, зайдите на страницу Готовые решения по высшей математике и закачайте архив с примерами решений кратных интегралов.

1) Сначала берём внутренний интеграл:

Хотелось бы остановиться на нескольких существенных моментах. Во-первых, о частном интегрировании. О нём я уже подробно рассказывал в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Вкратце повторюсь:

Если интегрирование проводится по «игрек», то переменная «икс» считается константой. И наоборот.

Тем не менее, вот нашли вы первообразную и возникли сомнения, а правильно ли она найдена? Всегда можно выполнить проверку, в данном случае следует найти частную производную по «игрек»:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, всё в порядке.

Момент второй, подстановка пределов интегрирования. По стандартной формуле Ньютона-Лейбница сначала вместо «игреков» мы подставили , а затем – нижний предел интегрирования (нули). После подстановки должны остаться только «иксы».

И, наконец, может показаться странным результат:
Ведь можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые! В данном случае это сделать несложно, и чайникам, вероятно, лучше так и поступить. Но если будет не вторая, а 3-я или 4-я степень? На самом деле линейную функцию в степени выгоднее проинтегрировать, не раскрывая скобок! Данный прием я уже применял и подробно комментировал во втором параграфе урока Как вычислить объем тела вращения?
Ещё раз посмотрим, как он работает:

2) Берём оставшийся внешний интеграл:

При нахождении интеграла использован метод подведения функции под знак дифференциала. Где-нибудь возникли сомнения в правильности интегрирования? Возьмите производную по «икс» и выполните проверку!

Ответ:

Вычислить двойной интеграл
,

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения, как и в разобранном примере, использован первый способ обхода области.

На практике немало примеров, где трудно (а то и невозможно) обойтись без микрокалькулятора-«дробовика». Рассмотрим практический пример на данную тему:

Вычислить двойной интеграл по области

Задача будет решена двумя способами, так как готовое решение у меня уже есть =) А если серьезно, второй способ будет нужен для дополнительных важных комментариев.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Область интегрирования тут простая, и основной гемор ожидается как раз в вычислениях.

Выберем следующий порядок обхода области:

Начинающим чайникам всегда рекомендую выполнять проверку, особенно в подобных примерах: возьмите частную производную по «игрек» от первообразной и получите подынтегральную функцию .

Будьте предельно внимательны в подстановке пределов интегрирования: сначала вместо «игреков» подставляем , затем – ноль. В оформлении вполне допустимо записать один, а не несколько нолей, как это сделано в данном примере. После подстановки должны остаться только «иксы».

2) Второй шаг прост:

Перейдём к обратной функции и изменим порядок обхода области:

1) Вычислим внутренний интеграл:

Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Не лишней будет и промежуточная проверка, возьмём частную производную по «икс» от найденной первообразной:

Получена подынтегральная функция, что и хотелось увидеть.

Подстановка пределов интегрирования здесь сложнее: сначала вместо «иксов» подставляем 1, затем вместо «иксов» подставляем . После подстановки должны остаться только «игреки».

Степени рекомендую оставить в виде , а не преобразовывать их в корни – будет удобнее интегрировать на втором шаге:

Результаты совпали, как оно и должно быть.

Легко заметить, что первый способ решения был заметно проще.

Всегда перед решением анализируйте – какой путь легче и короче.

Дроби в рассмотренном примере еще худо-бедно можно привести к общему знаменателю вручную. Но не удивляйтесь, если на практике получится ответ вроде , по крайне мере, в своей коллекции я нашел немало диких примеров, где без калькулятора-«дробовика» фактически не обойтись.

Ответ:

Ответ получился отрицательным. Геометрически это обозначает, что график подынтегральной функции (поверхность в пространстве) полностью или бОльшей частью (не проверял) располагается ниже области интегрирования под плоскостью .

Вычислить двойной интеграл по области

Это пример для самостоятельного решения. Ответ будет целым – чтобы от своего хорошего настроения не запугать вас окончательно =). Похожие двойные интегралы встречаются в известном задачнике Кузнецова, и по этой причине пример тоже уместен. Полное решение и ответ в конце урока.

Студенты-заочники почти всегда сталкиваются с двойными интегралами наподобие тех, которые уже рассмотрены, но никто не застрахован от творческих примеров, где в подынтегральной функции есть какие-нибудь синусы, косинусы, экспоненты и т.п.

Рассмотрим заключительные примеры на данную тему:

Вычислить двойной интеграл по области

Решение: В ходе выполнения чертежа может возникнуть трудность с построением прямой , которая параллельна оси . Ничего сложного: если , то – примерно на этом уровне и следует провести прямую.

После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить.

Рассмотрим первый способ обхода:

Очевидно, что первый способ является крайне неудачным, поскольку внутренний интеграл придётся дважды брать по частям.

Но есть еще и второй способ обхода области:

Выглядит гораздо привлекательнее, начинаем вычисления:

1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом:

Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Если возникают трудности с интегрированием, можно прибегнуть даже к такому способу: временно замените «игрек» конкретным числом, например, «пятёркой»:
.
Теперь замените «пятёрку» обратно – «игреком»:

И, конечно же, лучше сделать проверку, продифференцировав первообразную по «икс»:

Далее при подстановке пределов интегрирования сначала вместо «икса» подставляем , затем – ноль. После подстановки должны остаться только «игреки».

2) Полученный результат перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть и константа 4:

Ответ:

Таким образом, выбор порядка обхода иногда зависит не только от самой области интегрирования, но и от подынтегральной функции.

Вычислить двойной интеграл по области

Это пример для самостоятельного решения.

Хочется привести ещё примеры, но в первом раунде я обещал не маньячить, поэтому скрепя сердце, заканчиваю статью. Множество других примеров на вычисление двойных интегралов можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике. Если тема проработана качественно, то рискну предположить, что многие читатели без особого труда разберутся и и в тройных интегралах – принципы решения очень похожи!

И напоследок раскрою обещанный секрет – так почему же мне сегодня хорошо?
Я много раз высказывал своим ученикам эту мудрую мысль, но они почему-то смеялись:

Хорошо должно быть каждый день!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода:

Таким образом:

1)
2)
Перейдём к обратным функциям:

Изменим порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)
Ответ:

Пример 4: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже.

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1) ;
2)
Ответ:

Пример 6: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)

Ответ:

Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)
Ответ:

Пример 10: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!