Как найти базис пересечения подпространств

9

5.2. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть заданы два подпространства R₁ и R₂ n-мерного пространства R.

Определение: Если каждый вектор x пространства R можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов:

где , то говорят, что пространство R разложено в прямую сумму подпространств R₁ и R₂. Это записывают так:

Теорема. Для того, чтобы пространствоR разлагалось в прямую сумму подпространств R₁ и R₂,достаточно, чтобы:

Подпространства R₁ и R₂ имели только один общий вектор x = 0 (нулевой вектор).

Сума размерностей этих подпространств была равна размерности пространства R.

Пусть имеем два произвольных подпространства R₁ и R₂ линейного пространства R. Подпространство пересечения R₁ и R₂ — это совокупность векторов, принадлежащих обоим подпространствам R₁ и R₂:

☺ Пример 124. Пусть R₁ и R₂ – два двумерных подпространства трехмерного прос-транства (две плоскости, проходящие через начало координат). Тогда их пересечение есть одномерное подпространство (прямая, по которой эти плоскости пересекаются).

По двум подпространствам R₁ и R₂ можно построить еще одно подпространство, которое называют суммой: векторами этого подпространства являются всевозможные суммы вида:

где , его обозначают: (в отличие от прямой суммы двух подпрос-транств, запись (*) элемента из R может быть неоднозначной. Легко проверить, что построенные элементы (*) образуют подпространство.

Теорема. Сумма размерностей R₁ и R₂, равна размерности их суммы плюс размерность пересечения.

☺ Пример 125. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Решение: Нетрудно заметить, что векторы a₁ и a₂, b₁ и b₂: — линейно независимы. Согласно вышеприведенной теореме запишем размерность пересечения в виде d = k+r-s, где k = 2 – число независимых векторов, порождающих подпространство R₁; r = 2 – число независи-мых векторов, порождающих подпространство R₂; s – число независимых векторов, порождающих подпространство (его предстоим вычислить).

Применяя один из способов вычисления ранга системы векторов, получаем: s = 3. В таком случае размерность пересечения d = 2 + 2 — 3 = 1/

Найдем базис из условия:

Решая эту систему одним из способов, изложенных в Гл.5, получим: x₁ = -s; x₂ = 4s; x₃ = -3s; x₄ = s, где s – произвольная постоянная. Принимая s = -1, получим:

c = a₁— 4 a₂ = 3 b₁— b₂ = (5, -2, -3, -4).

Ответ: базис пересечения подпространств: c = a₁— 4 a₂ = 3 b₁— b₂ = (5, -2, -3, -4).

☻Решите примеры:

Пример 126. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Ответ: базис пересечения подпространств: c = -4a₁ + 13a₂ = 8 b₁+ 3b₂ = (5, 9, -13, 27).

Пример 127. Найдем базис пересечения подпространств , если R₁ натянут на векторы a₁ и a₂, а R₂ – на векторы b₁ и b₂:

, ,

, .

Ответ: базис пересечения подпространств: c = 2a₁— 3 a₂ = — b₁+ b₂ = (1, 3, -1, 1).

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

1. Если подпространство задано как линейная оболочка столбцов матрицы , то множество решений однородной системы , т.е.

2. Если подпространство задано как множество решений однородной системы неизвестными, то линейная оболочка столбцов транспонированной матрицы является его алгебраическим дополнением , т.е.

где — i-й столбец матрицы (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).

Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае , а потом в общем. Пусть — одномерное подпространство — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства . Рассмотрим уравнение . Множество решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство . Найдем пересечение . Подставляя элемент в уравнение , что возможно только при . Следовательно, элемент принадлежит подпространству . Учитывая, что в .Таким образом,

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае . Представим в виде суммы , где . Из (8.15) следует, что . Согласно (8.18), множество решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет до всего пространства . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество решений системы этих уравнений. Поэтому , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).

Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства в пространстве многочленов не более, чем 3-й степени.

Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в стандартный базис . Пространство изоморфно и в стандартном базисе. Раскладывая по базису, получаем:

т.е. многочлену соответствует координатный столбец — элемент пространства для многочлена .

Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства в пространстве — это множество решений системы , т.е. системы

Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:

Базисные переменные , свободные — . Выражаем базисные переменные через свободные: . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( и ), получаем решения: , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу находим многочлен

Аналогично получаем . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид

Проверим равенство . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов и

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

Ранг матрицы . Таким образом, равенство выполняется.

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Для заданных подпространств требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы и . Тогда, приписывая к образующим одного подпространства образующие другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств

поскольку любой вектор имеет вид . Базис суммы можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): и . Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:

1) для каждой однородной системы и найти фундаментальные системы решений и соответственно. При этом получим и , где ;

2) по правилу (8.19) найти сумму .

Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы , если подпространство

подпространство — линейной оболочкой своих образующих:

Решение. Образующие подпространства , где . По правилу (8.19) получаем . Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом .

Нахождение пересечения подпространств

Для заданных подпространств пространства требуется найти размерность и базис их пересечения . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): и . Тогда, приписывая к системе , задающей одно подпространство, систему , задающую другое подпространство, получаем систему определяющую пересечение подпространств:

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.

Пусть подпространства пространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): и . Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению , которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов и столбцов соответственно:

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде , где — матрицы, составленные из данных столбцов, — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство можно рассматривать как одно родную систему уравнений с неизвестными и . Каждому решению этой системы соответствует вектор , при надлежащий пересечению рассматривать однородную систему , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор при надлежит пересечению и и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.

1. Составить блочную матрицу коэффициентов однородной системы уравнений , где матрицы образованы из заданных столбцов.

2. Для однородной системы с матрицей найти фундаментальную матрицу имеет размеры , где .

3. Из первых строк матрицы . Столбцы матрицы содержат искомые коэффициенты линейных комбинаций (8.21).

4. Записать пересечение .

5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих .

Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы , если они заданы линейными оболочками своих образующих: , где

Решение. Найдем базис и размерность суммы

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих подпространства (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: и . По ступенчатому виду матрицы можно также определить размерности подпространств. В блоке . Ненулевые строки блока В' линейно независимы, следовательно, .

Найдем базис и размерность пересечения .

1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица однородной системы приведена к ступенчатому виду .

2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу системы к упрощенному виду:

Базисные переменные: ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: . Придавая свободным переменным наборы значений

получаем линейно независимые решения

3. Из первых трех строк матрицы .

4. Вычисляем произведение

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения , где .

5. Найдем базис пересечения приводим к ступенчатому виду

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы линейно независимы. Следовательно, два столбца являются базисом пересечения и .

Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения , если они заданы однородными системами уравнений:

Решение. Обозначим матрицы данных систем через соответственно. По правилу (8.20) пересечение Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:

Базисные переменные: , свободная переменная — . Выражаем базисные переменные через свободную: . Фундаментальная система содержит одно решение , которое получаем, задавая . Следовательно, и .

Найдем теперь сумму была найдена в примере 8.9. Следовательно,

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:

Базисные переменные: , свободные переменные: . Выражаем базисные переменные через свободные: . Фундаментальная система состоит из двух решений , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( и ). Следователь но, и . Чтобы определить базис, составим из столбцов матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, и .

Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

Пусть дана цепочка подпространств подпространства .

Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: и . Согласно (8.17) базис пространства образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы составляют такие векторы , которые удовлетворяют системе . Если обозначить через , то линейно независимые столбцы матрицы , линейно независимой над удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц и модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).

2. Найти фундаментальную матрицу .

3. Вычислить матрицу . Ее столбцы образуют искомый базис .

Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства . Согласно (8.16) множество решений системы уравнений составлена из образующих) является алгебраическим дополнением . Тогда множество решений системы является относительным дополнением , а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.

Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве нужно использовать операцию сопряжения матрицы.

линейная-алгебра — Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств $%L_1$% и $%L_2$%, натянутых на системы $%X_1, . X_k$% и $%Y_1, . Y_k$% соответственно;построить подпространство, дополнительное подпространству $%L_1$%;построить проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$% параллельно данному дополнительному подпространству.

$%\begin\alpha_1+\alpha_2-\beta_1-\beta_2 = 0\\2\alpha_1+\alpha_2-3\beta_2 = 0\\\alpha_2-\beta_2 = 0\\\alpha_1-\beta_2 = 0\end $%

2)$%\beginx_1+2x_2+x_4 = 0\\-x_2+x_3-x_4= 0\end $%

задан 26 Мар ’16 21:59

Общую процедуру решения таких задач можно посмотреть здесь.

@Koval: процедура нахождения пересечения чуть сложнее, но у меня она описана. См. второй абзац по ссылке. Надо составить векторное уравнение $%x_1X_1+x_2X_2=y_1Y_1+y_2Y_2$% от четырёх неизвестных. Это даст однородную систему, для которой надо далее найти общее решение.

@Koval: да, равны, и что? В этом нет ничего плохого. У Вас получается одна свободная переменная. Выражаете через неё вектор из пересечения. Получится a(1,3,1,1), где a — параметр. Это даст базис пересечения; он состоит из одного вектора.

@abc: там, конечно, опечатка — имелось в виду (2,3,1,1).

@Koval: вектор, который Вы указали, это не пересечение подпространств, а базис пересечения. Его и надо было найти, но там знак равенства неуместен.

Что касается нахождения дополнительного пространства, то сначала надо решить однородную систему с матрицей из X1, X2. О нахождении проекции потом можно будет поговорить отдельно, но вообще-то там достаточно применить определение.

Берем общее решение a(1,1,1,1) однородной СЛАУ, выделяем из него две первых переменных $%x_1=a$% и $%x_2=a$% и подставляем в общий вид вектора пересечения подпространств: $%x_1(1,2,0,1)+x_2(1,1,1,0)$%. Откуда и находим, что он равен a(2,3,1,1). С тем же результатом можно выделять две другие переменные $%x_3=a$% и $%x_4=a$% и подставлять в $%x_3(1,0,1,0)+x_4(1,3,0,1)$%

@Koval: Есть прекрасная книга Гайфуллина, Смирнова и Пенского «Задачи по линейной алгебре». В ней разобраны все подобные типовые задачи. Вам может пригодиться)

1 ответ

В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.

Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.

Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.

Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-\frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(\frac23;\frac13;1;-\frac13)$%.

Найти базис подпространства заданного уравнением

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M= 0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M= 0, то и . Следовательно и . ■

23. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано N-Мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что Система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга R с n Переменными задаёт в любом N-Мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (N–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном N-Мерном пространстве Ln Зафиксирован базис, то любое его К-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с N Неизвестными ранга (N – к).

Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть Lк – линейное К-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк Любой базис А = (А1, а2,… , ак). Пусть В матричной форме А = Е × А, где А = .

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

После исключения параметров получится система (N – к) линейных однородных уравнений. Векторы А1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (А1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (N – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = , если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (А1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т. е. векторы А1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

D Î L3 Û D = с1А1 + С2А2 + С3А3 . Отсюда D Î L3 Û Х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить С1, с2 и С3 И подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.