Метод неопределённых коэффициентов для разложения дроби на сумму простейших дробей
Среди огромного разнообразия алгебраических дробей можно выделить те, что «попроще», например $\frac<1>
Также, не слишком «сложными» кажутся дроби $\frac<5><(x-3)>^2$ или $\frac<7><(x+5)>^6$ . У этих дробей знаменатель вида $(x-a)^n$.
Если рассматривать знаменатели в виде квадратного трёхчлена $x^2+px+q$, то их либо можно разложить на множители, либо нельзя. Например:
$x^2+7x-30 = (x+10)(x-3)$ — на множители раскладывается.
$x^2+7x+30$ – не раскладывается.
Обобщая, получаем следующее определение:
Простейшими (элементарными) дробями называют дроби вида:
где трехчлен $x^2+px+q$ не раскладывается на множители $(p^2-4q \lt 0)$.
Примеры простейших дробей:
Любая рациональная алгебраическая дробь может быть разложена на сумму простейших дробей, и притом единственным способом.
Алгоритм разложения дроби на сумму простейших дробей
Из определения получается, что дробь $\frac<4x+1>
Попробуем её разложить на две простейшие дроби следующим образом:
Дроби равны, знаменатели равны, значит, должны быть равны и числители:
4 x+ 1 = A(x-3)+B(x+10) = (A+B) x+ (-3A+10B)
Теперь используем важнейшее свойство многочленов:
У равных многочленов коэффициенты при соответствующих степенях переменной равны.
$$ <\left\< \begin
Получаем представление дроби в виде суммы простейших дробей:
Этот способ разложения был предложен в 17 веке Декартом и получил название «метода неопределённых коэффициентов».
Алгоритм метода неопределённых коэффициентов
- Разложить знаменатель рациональной дроби $\frac
- Записать дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: $$ \frac
+ \frac + ⋯ $$ - Привести сумму справа к общему знаменателю.
- У дробей слева и справа приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
- Решив полученную систему линейных уравнений, найти коэффициенты A,B,…
Примеры
Пример 1. Разложите на простейшие дроби:
Раскладываем знаменатель на множители:$ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
$$ <\left\< \begin
Раскладываем знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
Раскладываем знаменатель на множители: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
$$ <\left\< \begin
Раскладываем знаменатель на множители:$ 9x^2-4 = (3x-2)(3x+2)$
Записываем разложение с неопределенными коэффициентами:
Пример 2*. Разложите на простейшие дроби:
$$ <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Разложение дроби на простейшие
Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.
Простые дроби имеют название элементарных дробей.
Типы дробей
- A x — a ;
- A ( x — a ) n ;
- M x + N x 2 + p x + q ;
- M x + N ( x 2 + p x + q ) n .
A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.
При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.
Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x — 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x — ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ∫ d ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 — 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ln x 2 + 1 — 2 a r c tan ( x ) + C
Произвести разложение дроби вида — 2 x + 3 x 3 + x .
Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.
Применим деление углом. Получаем, что
Отсюда следует, что дробь примет вид
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + — 2 x + 3 x 3 + x
Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен — 2 x + 3 x 3 + x .
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов
Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:
- Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
- Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.
Рассмотрим на нескольких примерах:
Когда в знаменателе имеется выражение вида ( x — a ) ( x — b ) ( x — c ) ( x — d ) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x — a + B x — b + C x — c + D x — d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.
Когда знаменатель имеет выражение ( x — a ) 2 ( x — b ) 4 ( x — c ) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:
A 2 x — a 2 + A 1 x — a + B 4 x — b 4 + B 3 x — b 3 + B 2 x — b 2 + B 1 x — b + + C 3 x — c 3 + C 2 x — c 2 + C 1 x — c
где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 — неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.
Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.
Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида
P 4 x + Q 4 ( x 2 + p x + q ) 4 + P 3 x + Q 3 ( x 2 + p x + q ) 3 + P 2 x + Q 2 ( x 2 + p x + q ) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 ( x 2 + r x + s ) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 — неопределенными коэффициентами.
Когда имеется знаменатель вида ( x — a ) ( x — b ) 3 ( x 2 + p x + q ) ( x 2 + r x + s ) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа
A x — a + B 3 x — b 3 + В 2 x — b 2 + В 1 x — b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.
Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что
2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 1 ) = A x 2 + A + B x 2 + C x x ( x 2 + 1 ) = = x 2 ( A + B ) + x C + A x ( x 2 + 1 )
Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x — 3 = x 2 ( A + B ) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.
- Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
A + B = 0 C = 2 A = — 3 - Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = — 3 ⇔ A = — 3 B = 3 C = 2
- Производим запись ответа:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = = 2 — A x + B x + C x 2 + 1 = 2 — — 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1
Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид
2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x ( x 2 + 1 ) — ( 3 x + 2 ) x x ( x 2 + 1 ) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.
Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:
x — a x — b x — c x — d .
Произвести разложение дроби 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x .
По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что
x 3 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 )
Квадратный трехчлен x 2 — 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:
x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Запись трехчлена может быть в виде x 2 — 5 x + 6 = ( x — 3 ) ( x — 2 ) .
Тогда изменится знаменатель: x 2 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 ) = x ( x — 3 ) ( x — 2 )
Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:
2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2
Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:
2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2 = = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 )
После упрощения придем к неравенству вида
2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 ) ⇒ ⇒ 2 x 2 — x — 7 = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 )
Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .
Если х = 0 , получим:
2 · 0 2 — 0 — 7 = A ( 0 — 3 ) ( 0 — 2 ) + B · 0 · ( 0 — 2 ) + C · 0 · ( 0 — 3 ) — 7 = 6 A ⇒ A = — 7 6
Если x = 2 , тогда
2 · 2 2 — 2 — 7 = A ( 2 — 3 ) ( 2 — 2 ) + B · 2 · ( 2 — 2 ) + C · 2 · ( 2 — 3 ) — 1 = — 2 C ⇒ C = 1 2
Если x = 3 , тогда
2 · 3 2 — 3 — 7 = A ( 3 — 3 ) ( 3 — 2 ) + B · 3 · ( 3 — 2 ) + C · 3 · ( 3 — 3 ) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Ответ: 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = A x + B x — 3 + C x — 2 = — 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x — 3 + 1 2 · 1 x — 2
Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.
Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 на простейшие дроби.
По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид
x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3
Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3
Приравняем числители и получим, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2
Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = — 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:
— 5 = — 16 A ⇒ A = 5 16
— 15 = 128 B ⇒ B = — 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .
Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда
x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = = 5 16 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 — 15 128 ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + 157 8 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2
Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида
x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 + + x 2 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 — C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128
Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:
25 128 + C 1 = 1 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 = 3 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 — C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128 = 11
Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .
Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:
x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C 3 x — 3 3 + C 2 x — 3 2 + C 1 x — 3 = = 5 16 1 x — 1 — 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x — 3 3 + 293 32 1 x — 3 2 + 103 128 1 x — 3
При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.
Простейшие дроби
Многочлен $n$-ой степени может быть разложен на произведение сомножителей следующим образом:
Здесь $x_, i=\overline<1 ; n>$ — корни многочлена $P_
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
$$a x^<2>+b x+c=a\left(x-x_<1>\right)\left(x-x_<2>\right)$$
если $b^<2>-4 a c \geq 0$ . Здесь $x_1,x_2$ — корни многочлена $ax^2+bx+c$ .
Задание. Разложить на множители многочлен $f(x)=x^2+5x-6$
Решение. Найдем вначале корни многочлена, для этого решим уравнение $f(x)=0$ :
$$f(x)=0 \Rightarrow x^<2>+5 x-6=0$$
Можете проверить решение на нашем онлайн калькуляторе — решение квадратных уравнений.
Ответ. $f(x)=(x-1)(x+6)$
Многочлен третьей степени:
$$a x^<3>+b x^<2>+c x+d=a\left(x-x_<1>\right)\left(x-x_<2>\right)\left(x-x_<3>\right)$$
или 
, если $a x^<3>+b x^<2>+c x+d=a\left(x-x_<1>\right)\left(x^<2>+p x+q\right),$ ecли $p^<2>-4 q< 0$
Задание. Разложить на множители кубический многочлен $f(x)=x^3-x^2-4x-6$
Решение. Найдем корни данного многочлена. Известно, что если многочлен имеет корни, то они являются делителем свободного коэффициента, то есть в данном случае 6, а это ±1,±2,±3,±6. Подставляем указанные значения в заданный многочлен:
Итак, один корень найден, это $x_1=3$ .
Для нахождения остальных двух корней поделим заданный многочлен $f(x)$ на двучлен $x-3$ в столбик (уголком):
Находим теперь корни квадратного трехчлена $x^2+2x+2$ . Для этого приравниваем его к нулю и находим дискриминант:
$$x^<2>+2 x+2=0 \Rightarrow D=2^<2>-4 \cdot 1 \cdot 2=4-8=-4<0$$ \lt p>Таким образом, трехчлен $x^2+2x+2$ действительных корней не имеет.
Итак, искомое разложение
Ответ. $f(x)=(x-3)\left(x^<2>+2 x+2\right)$
Разложении правильной рациональной дроби
(О разложении правильной рациональной дроби на сумму простых дробей)
Каждая рациональная дробь $\frac
где $A_<1>, \ldots, A_
В частности, если в знаменателе правильной рациональной дроби стоит квадратный трехчлен, то
Задание. Представить в виде суммы простейших дробей дробь $\frac
Решение. Знаменатель рассматриваемой дроби можно разложить на множители следующим образом:
Если многочлен третей степени, то в зависимости от числа и кратности действительных корней разложение будет иметь вид:
Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей
где — действительные числа.
Рациональная дробь (6.9) называется правильной, если 
. При 
дробь называется неправильной, в этом случае делением числителя на знаменатель можно выделить целую часть, которая будет многочленом степени 
и дробный остаток, который является правильной дробью. Такую процедуру называют выделением целой части.
Пример №1
В неправильной рациональной дроби выделить целую часть и правильный рациональный остаток:
Решение:
Разделим числитель на знаменатель «уголком».
В результате получим: .
Пусть дробь (6.9) — правильная. Предположим, что её знаменатель можно разложить на множители
Здесь 
— простой корень многочлена , 
— корень кратности 
.
Квадратные трёхчлены не имеют действительных корней. Тогда правильную дробь (6.9) можно представить суммой простейших дробей.
Зависимость типа простейшей дроби от характера корней знаменателя
- Каждому простому действительному корню соответствует простейшая дробь 1-го типа.
- Каждому кратному действительному корню кратности соответствует одна дробь 1-го типа и
дробей 2-го типа, показатель степени знаменателя которых возрастает от 2-й до -й. - Каждому простому многочлену второй степени с отрицательным дискриминантом соответствует простейшая дробь 3-го типа.
- Каждому кратному многочлену второй степени с отрицательным дискриминантом соответствуют простейшие дроби 3-го и 4-го типа.
Выражения в каждой квадратной скобке соответствуют каждому множителю в разложении (6.10).
Неизвестные коэффициенты 
, 
, 
определяются путём приведения правой части (6.11) к общему знаменателю.
Затем используют равенство числителей полученной и исходной дроби, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .
Другой прием заключается в том, что переменной в равенстве числителей задают ряд числовых значений, причем «удобными» значениями являются действительные корни знаменателя.
И в том и в другом случае образуется система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пример №2
Разложить на простейшие дроби
Решение:
Простому корню знаменателя 
соответствует одна простейшая дробь, корню 
кратности 2 соответствуют две простейшие дроби. Квадратный трёхчлен 
не имеет действительных корней, ему соответствует одна простейшая дробь, в числителе которой — линейный двучлен.
Приводим правую часть к общему знаменателю, приравнивая затем числители левой и правой частей. Получим тождество:
Подставляя в тождество различные значения alt=»Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей» width=»» />, получаем уравнения относительно неизвестных коэффициентов (в первую очередь используем значения alt=»Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей» width=»» />, равные корням знаменателя 0 и -1).
Пусть , тогда 
.
Пусть , тогда 
. Задавая далее 
получаем систему уравнений:
Решаем систему одним из методов (Крамера, Гаусса или матричным). Получим . Запишем окончательный вид разложения заданной дроби на простейшие:
Вывод:
Определение интеграла от рациональной дроби производят в следующей последовательности.
- Выясняют, правильная дробь, или неправильная. Если дробь правильная, переходят к пункту 2. Если дробь неправильная, то выделяют целую часть и правильную рациональную дробь.
- Знаменатель правильной рациональной дроби разлагают на простейшие множители.
- Правильную рациональную дробь представляют суммой простейших дробей 1-4 типов и определяют неизвестные коэффициенты.
- Интеграл от исходной дроби равен сумме интегралов от целой части и простейших дробей.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института