Как разложить вектор по базису трех векторов

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложения вектора по базисным векторам

• Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
• введите значения базисных векторов;
• введите значения вектора, который нужно разложить по базису;
• Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Разложение вектора по векторам

Пусть есть вектор $ \overline $ и векторы $ \overline

, \overline, \overline $. Как разложить вектор $ \overline $ по векторам $ \overline

, \overline, \overline $ ?

Достаточно представить вектор $ \overline $ в виде линейной комбинации:

$$ \overline = \alpha \overline

+ \beta \overline + \gamma \overline $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ \begin x= \alpha p_x + \beta q_x + \gamma r_x \\ y=\alpha p_y + \beta q_y + \gamma r_y \\ z = \alpha p_z + \beta q_z + \gamma r_z \end $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ \begin 10= 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma \\ 3=3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma \\ 3 = 1 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma \end $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ \begin 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma = 10 \\ 3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma = 3 \\ \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 3 \end $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ \alpha, \beta, \gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ \Delta = \begin 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 — 5 \cdot 7 \cdot 1 — 4 \cdot 2 \cdot 2 — 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 — 35 — 16 — 18 = 1 $$

Так как $ \Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ \Delta_1 = \begin 10 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end = $$

$$ = 10 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 — 5 \cdot 7 \cdot 3 — 4 \cdot 2 \cdot 10 — 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 — 105 — 80 — 18 = 3 $$

$$ \Delta_2 = \begin 2 & 10 & 5 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \end = $$

$$ = 2 \cdot 3 \cdot 2 + 10 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 5 — 5 \cdot 3 \cdot 1 — 4 \cdot 3 \cdot 2 — 10 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 — 15 — 24 — 60 = -2 $$

$$ \Delta_3 = \begin 2 & 3 & 10 \\ 3 & 7 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 10 — 10 \cdot 7 \cdot 1 — 3 \cdot 2 \cdot 2 — 3 \cdot 3 \cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 — 70 — 12 — 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $:

Зная постоянные $ \alpha, \beta, \gamma $, запишем разложение вектора $ \overline $ по векторам $ \overline

, \overline, \overline $:

$$ \overline = 3\overline

— 2\overline + 2\overline $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Как разложить вектор по базису трех векторов

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Разложение вектора по базису

Вектор вида , где () – некоторые числа, называется линейной комбинацией данных векторов . – коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Справедливы следующие теоремы

Т е о р е м а 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора и. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=+, гдеиединственные для этого векторавполне определенные числа.

Т е о р е м а 2. Пусть даны три некомпланарных вектора ,и. Любой векторраскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е.,=++.

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Базис позволяет однозначно сопоставить вектору упорядоченную тройку чисел ,,— коэффициентов разложения этого вектора по векторам базиса. С другой стороны, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса сопоставляется единственный вектор. Если,,— базис и=++, то числа,,называютсякоординатами вектора в данном базисе, при этом пишут. Аналогично дается определение базиса на плоскости, когда вектор имеет две координаты.

Действия над векторами, заданными своими координатами:

1.При умножении вектора на число все его координаты умножаются

на это число. Т.е., (++)=++и<,,>.

2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Т. е., если в выбранном базисе ,, то.

Аффинные координаты

Аффинные координаты в пространстве определяются (рис. 4) заданием базиса ,,и точкиО – начала координат (affinis – смежный, соседний).

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая – ось абсцисс; вторая – ось ординат; третья – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат – координатные плоскости.

Пусть в пространстве задана точка М. —радиус-вектор точки М. Тогда разложение по векторам базиса =++.Аффинными координатами точки М называются координаты — радиус-вектора

в рассматриваемой системе координат, пишут , где— абсцисса,— ордината,— аппликата точкиМ. В заданной аффинной системе координат координаты фиксированной точки определяются однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то в ней каждой упорядоченной тройке чисел ставится в соответствие единственная точка. Аффинная система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками и упорядоченными парами чисел.

З а д а ч а. Пусть в заданной аффинной системеи. Требуется найти координаты вектора.

Р е ш е н и е . Из чертежа (рис. 5) видно , тогда

++++=

=.

Таким образом, , то есть, координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Проекция вектора на ось

Ориентированной осью называется прямая, на которой закреплена точка — начало отсчета, выбрана единица длины и направление отсчета.

Проекцией вектора на осьназывается величина, численно равная длине отрезкамежду основаниями перпендикуляров, опущенных из точекА и В на l. Эта длина берется со знаком плюс, если направление от ксовпадает с направлением осиl и минус в противном случае (рис. 6). Аналогично определяется проекция одного вектора на другой.

Углом между осью и вектором называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором кратчайшим образом (так чтобы их стрелки совпали). Из такого определения следует, что .

Свойства проекции вектора на ось.

1. Проекция равна нулю тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен оси (говорят, вектор ортогонален оси).

2. При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.

3. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на

косинус угла между вектором и осью.

.

В этой формуле знак проекции регулируется знаком косинуса:

— если острый угол (рис. 7), тои;

— если тупой угол (рис. 8), тои.

4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции

.

5. Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых

.