Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.
Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.
Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата
Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.
Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника .
Квадрат – это равносторонний прямоугольник.
Квадрат – это ромб с прямыми углами.
Свойства квадрата:
1. Длины всех сторон равны.
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.
5. Диагонали квадрата равны между собой.
6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 
7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.
9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.
10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника .
11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:
Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.
Формула диагонали квадрата:
, 
, 
, 
, 
.
Формула радиуса вписанной окружности квадрата:
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.
.
Формула радиуса описанной окружности квадрата:
.
Формула периметра квадрата:
, 
, 
.
Формула площади квадрата:
, 
, 
, 
, 
.
Что такое квадрат: определение и свойства
В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – квадрата.
- Определение квадрата
- Свойства квадрата
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
Определение квадрата
Квадрат – это правильная геометрическая фигура на плоскости , у которой четыре равные стороны и прямые углы (т.е. 90°). Чаще всего квадрат обозначается названиями вершин (например, ABCD), а его сторона – маленькой латинской буквой (например, a).
- AB = BC = CD = AD = a
- ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°
Свойства квадрата
Свойство 1
Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся пополам.
- AC = BD = d (диагонали)
- AE = EC = BE = ED
- ∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°
Свойство 2
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Для рисунке выше:
- BD – биссектриса углов ABC и ADC, следовательно, ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
- AC – биссектриса углов BAD и BCD, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD
Свойство 3
Центром описанной вокруг и вписанной в квадрат окружностей является точка пересечения его диагоналей (в нашем случае – E).
При этом радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- a – длина стороны квадрата;
- d – длина диагонали квадрата.
Также, один радиус можно выразить через другой:
Свойство 4
Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.
Геометрические фигуры. Квадрат.
Квадрат — правильный четырёхугольник. У квадрата все углы и стороны одинаковы.
Квадраты различаются лишь длиной стороны, а все 4 угла прямые и равны 90°.
Квадратом может стать параллелограмм, ромб либо прямоугольник, когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.
Свойства квадрата.
— у всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:
— противолежащие стороны квадрата параллельны:
— каждый уг ол квадрата прямой:
— сумма углов квадрата равна 360°:
— каждая диагональ квадрата имеет такую же длину, как и другая:
— каждая из диагоналей квадрата делит квадрат на 2 одинаковые симметричные фигуры.
— угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:
AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2
— точку пересечения диагоналей называют центр квадрата и она оказывается центром вписанной и описанной окружностей.
— все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:
— диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника, кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:
Диагональ квадрата.
Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.
Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.
Формулы для определения длины диагонали квадрата:
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Сумма углов квадрата = 360°:
5. Диагонали квадрата одной длины:
6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:
7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
R — радиус вписанной окружности;
D — диаметр вписанной окружности;
d — диагональ квадрата.
10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
R – радиус описанной окружности;
D – диаметр описанной окружности;
11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:
C – линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;
Вписанный круг в квадрат – это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности — сторона квадрата (половина).
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.
Круг, описанный вокруг квадрата — это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Квадрат — определение и свойства
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.
Перечислим свойства квадрата:
- Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен:
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: .
Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.
Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:
Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть
, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:
Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.
Тогда , что и требовалось доказать.
Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:
Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:
- Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
- Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .
Мы знаем, что . Тогда .
Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Первый способ решения:
Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:
Тогда по формуле площади квадрата:
Второй способ решения:
Воспользуемся формулой для площади ромба:
Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому
Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .
Диаметр окружности равен стороне квадрата: .
Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.
Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Диагональ найдем, зная сторону квадрата:
Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:
Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.
Найдем сторону квадрата:
Периметр квадрата со стороной 3 равен:
Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью .
Площадь круга откуда радиус круга равен 2.
Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.
Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными .
Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна
Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.
Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .
Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.
Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
