Что такое линейная комбинация

1.2. Линейная комбинация

(1)

относительно неизвестных величин , называется системой линейных алгебраических уравнений.

Пусть — столбцы матрицы А.

Тогда соотношения (1) равносильны равенству между векторами

(2)

Выражение называется линейной комбинацией

Векторов , а числа называютсякоэффициентами линейной комбинации. Множество всевозможных линейных комбинаций векторов .

называется линейной оболочкой векторов .

Таким образом, равенство (2) означает, что

(3)

Другими словами, система (1) имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда правая часть b принадлежит линейной оболочке (является линейной комбинацией) столбцов матрицы коэффициентов.

Глава 2. Неравенство Коши- Буняковского

2.1 Неравенство Коши-Буняковского

Рассмотрим неравенство Коши в пространстве R_n.

Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства R_n

n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

,

называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается R_n.

Ясно, что тогда и только тогда, когдаx = y, т. е. когда

при всех i = 1, 2, .,n. Также ясно, что .Докажем, что для любых трех точек

(2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также

данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

, (3)

справедливо для любых вещественных чисел a_i и b_i.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax 2 +2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *.

Составим вспомогательную функцию от вещественной переменнойx, сводящуюся к квадратному трехчлену:

,

Из определения видно, чтопри всехx.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

(4)

(a_i и b_i – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение

. В результате получим

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2).

Полагая в неравенстве (4)

мы получим неравенство (2).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей удовлетворяющих условию

Таким образом, l – метрическое пространство

Обозначим через l 2 множества всех таких последовательностей

вещественных чисел, для которых , и положим

.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любыхx и y из l 2 . А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел a_i и b_i (i=1, 2, .). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных

последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

. (6)

Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и , то и последовательность, т.е..

Теперь проверка выполнения в l 2 аксиом метрического

пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для R_n.

Пространство l 2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

Линейная комбинация

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Содержание

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества и любому элементу , обозначаемый , что является единственным.
2. и
   • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
   • Пространство всех функций образует векторное пространство размерности равной мощностиX . вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

   Дополнительные структуры

   См. также

   Литература

   • Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.

   Ссылки

   Wikimedia Foundation . 2010 .

   Полезное

   Смотреть что такое «Линейная комбинация» в других словарях:

   линейная комбинация — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN linear combination … Справочник технического переводчика

   линейная комбинация — tiesinis derinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear combination vok. Linearkombination, f rus. линейная комбинация, f pranc. combinaison linéaire, f … Fizikos terminų žodynas

   Линейная комбинация векторов — [linear combination] вектор, представленный в виде x = aiai +… ai an, где коэффициенты ai произвольные числа, ai рассматриваемые векторы (i = 1, …, n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < a < 1, имеем выпуклую Л.к.в … Экономико-математический словарь

   линейная комбинация векторов — Вектор, представленный в виде x = aiai +… ai an, где коэффициенты ai произвольные числа, ai рассматриваемые векторы (i = 1, …, n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 Справочник технического переводчика

   линейная комбинация атомных орбиталей — atominių orbitalių tiesinis derinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear combination of atomic orbitals vok. Linearkombination der Atomorbitalen, f rus. линейная комбинация атомных орбиталей, f pranc. combinaison linéaire des… … Fizikos terminų žodynas

   линейная алгебра — Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость [linear dependence] «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика

   Линейная зависимость — [linear dependence] «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения … Экономико-математический словарь

   линейная функция — Линейная комбинация значений одной или более переменных: . Иногда нелинейные зависимости можно привести к линейному виду преобразованием предикторов (например, уравнение можно линеаризовать, заменив на : мы получим линейную функцию ), либо… … Словарь социологической статистики

   Линейная независимость — Линейно независимые векторы в R3 … Википедия

   Линейная зависимость — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия

   Линейная зависимость векторов. Линейные комбинации векторов

   Линейная зависимость векторов и её связь с линейной комбинацией векторов

   

   Чтобы понять, что такое линейная зависимость векторов, введём понятие линейной комбинации векторов.

   Линейная комбинация — это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.

   То есть, линейная комбинация — это выражение вида

   где — какие угодно вещественные числа.

   На рисунке сверху — линейная комбинация, представленная вектором , являющимся суммой векторов и , умноженных соответственно на 2 и 3.

   Векторы являются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

   

   Общие условия линейной зависимости векторов

   Определение 1. Векторы , , . называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , . с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

   Векторы , , . , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

   Определение 2. Векторы , , . называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

   Теорема 1. Если хотя бы один из векторов , , . является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

   Теорема 2. Если среди n векторов какие-либо (n — 1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

   Линейные комбинации двух векторов

   Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

   Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.

   Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).

   Линейные комбинации трёх векторов

   Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

   Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

   Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

   Следствие 2. Если векторы , и не компланарны, то они линейно независимы.

   Следствие 3. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).

   Линейные комбинации четырёх векторов

   Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

   Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство

   Пример 1. Составить линейную комбинацию векторов

   с коэффициентами и .

   Решение. Вычислим сначала произведения и . Для этого данные в условии задачи координаты вектора нужно умножить на 2 (умножаем каждую координату), а координаты вектора умножить на 3. Получаем:

   Теперь находим линейную комбинацию. Для этого первую координату полученного вектора складываем с первой координатой вектора , далее вторую со второй, третью с третьей:

   Пример 2. Составить линейную комбинацию векторов

   Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:

   Пример 3. Выяснить, являются ли векторы

   линейно зависимыми.

   Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа
   и , чтобы

   Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда

   Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим

   Таким образом, вектор

   является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.

   Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы.

   С понятием линейной независимости векторов и линейной комбинацией связана тема Базиса системы векторов, которая изучается в отлельном уроке.

   Линейная комбинация

   

   Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией [math]\displaystyle< x >[/math] и [math]\displaystyle< y >[/math] будет выражение вида [math]\displaystyle< ax + by >[/math] , где [math]\displaystyle< a >[/math] и [math]\displaystyle< b >[/math]  — коэффициенты) [1] [2] [3] .

   Понятие линейной комбинации является одним из ключевых в линейной алгебре и смежных областях математики. В классическом случае линейная комбинация рассматривается в контексте векторных пространств, но существуют обобщения на произвольные модули над кольцами и бимодули [⇨]

   Содержание

   Определение

   Пусть [math]\displaystyle< K >[/math]  — поле (например, поле [math]\displaystyle< \R >[/math] вещественных чисел) и [math]\displaystyle< V >[/math]  — векторное пространство над [math]\displaystyle< K >[/math] (элементы [math]\displaystyle< V >[/math]  — векторы, а элементы [math]\displaystyle< K >[/math]  — скаляры). Если [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math]  — векторы, а [math]\displaystyle< a_1, \dots, a_n >[/math]  — скаляры, то линейная комбинация этих векторов со скалярами в качестве коэффициентов — это:

   Имеется некоторая двусмысленность в применении понятия «линейная комбинация», поскольку оно может относиться как к самому выражению, так и его результату. В большинстве случаев подразумевается значение, так как множество всех линейных комбинаций [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math] всегда образует подпространство. Однако можно сказать также «две различные линейные комбинации могут дать то же самое значение» и в этом случае под линейной комбинацией следует понимать выражение. Слабо уловимая разница между этими понятиями является сущностью понятия линейной зависимости — семейство векторов [math]\displaystyle< F >[/math] линейно независимо в точности тогда, когда любая линейная комбинация векторов из [math]\displaystyle< F >[/math] (как значение) единственна (как выражение). В любом случае, даже если линейная комбинация рассматривается как выражение, всё это относится к коэффициентам для каждого [math]\displaystyle< v_i >[/math] ; тривиальные изменения (например, перестановки элементов или добавление элементов с нулевыми коэффициентами) не дают другой линейной комбинации.

   В зависимости от ситуации, [math]\displaystyle< K >[/math] и [math]\displaystyle< V >[/math] могут быть заданы явно, или они могут быть очевидны из контекста. В последнем случае часто говорят о линейной комбинации векторов [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math] с произвольными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать [math]\displaystyle< K >[/math] ). Или, если [math]\displaystyle< S >[/math]  — подмножество [math]\displaystyle< V >[/math] , то можно говорить о линейной комбинации векторов из [math]\displaystyle< S >[/math] , где и коэффициенты, и векторы не специфицированы — за исключением того требования, что векторы должны принадлежать множеству [math]\displaystyle< S >[/math] , а коэффициенты — полю [math]\displaystyle< K >[/math] ). Наконец, можно говорить просто о линейной комбинации, где ничто не специфицировано (за исключением того, что вектора должны принадлежать множеству [math]\displaystyle< V >[/math] , а коэффициенты — полю [math]\displaystyle< K >[/math] ). В этом случае, скорее всего, речь идёт о выражениях, поскольку любой вектор в [math]\displaystyle< V >[/math] определённо является значением некоторой линейной комбинации.

   Примеры и контрпримеры

   Векторы

   Пусть поле [math]\displaystyle< K >[/math]  — множество [math]\displaystyle< \R >[/math] вещественных чисел, а пространство векторов [math]\displaystyle< V >[/math]  — евклидово пространство [math]\displaystyle< \R^3 >[/math] . Любой вектор в [math]\displaystyle< \R^3 >[/math] является линейной комбинацией единичных векторов [math]\displaystyle< e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1) >[/math] . Например, вектор [math]\displaystyle< (a_1, a_2, a_3) >[/math] можно записать:

   Функции

   Пусть [math]\displaystyle< K >[/math]  — множество [math]\displaystyle< \Complex >[/math] всех комплексных чисел, и пусть [math]\displaystyle< V >[/math]  — множество всех непрерывных функций из вещественной прямой [math]\displaystyle< \R >[/math] в комплексную плоскость [math]\displaystyle< \Complex >[/math] . Взяв векторы (функции) [math]\displaystyle< f >[/math] и [math]\displaystyle< g >[/math] , определённые формулами (здесь [math]\displaystyle< e >[/math]  — основание натурального логарифма и [math]\displaystyle< i >[/math]  — мнимая единица):

   [math]\displaystyle < f(t) = e^>[/math] , [math]\displaystyle < g(t) = e^<-i t>>[/math] ,

   можно получить среди прочих следующие их линейные комбинации:

   • [math]\displaystyle< \cos t = \begin\frac12\end e^ + \begin\frac12\end e^ <-i t>>[/math] ,
   • [math]\displaystyle < 2 \sin t = (-i ) e^+ ( i ) e^ <-i t>>[/math] .

   С другой стороны, постоянная функция [math]\displaystyle< h(x)=3 >[/math] не является линейной комбинацией [math]\displaystyle< f >[/math] и [math]\displaystyle< g >[/math] [4] .

   Многочлены

   Пусть [math]\displaystyle< K >[/math]  — это [math]\displaystyle< \R >[/math] , [math]\displaystyle< \Complex >[/math] или любое поле, и пусть [math]\displaystyle< V >[/math]  — множество [math]\displaystyle< P >[/math] всех многочленов с коэффициентами из [math]\displaystyle< K >[/math] . Пусть заданы векторы (многочлены) [math]\displaystyle< p_1 = 1, p_2 = x+1, p_3 = x^2+x+1 >[/math] .

   Является ли многочлен x 2 − 1 линейной комбинацией p₁, p₂ и p₃? Чтобы это определить, является ли многочлен [math]\displaystyle< x^2 -1 >[/math] линейной комбинацией [math]\displaystyle< p_1, p_2, p_3 >[/math] можно записать комбинацию с произвольными коэффициентами [math]\displaystyle< a_1, a_2, a_3 >[/math] и приравнять её к данному многочлену:

   и приведя однородные многочлены:

   Решением этой системы линейных уравнений является [math]\displaystyle< a_1 = -1, a_2 = -1, a_3 = 1 >[/math] . Таким образом, данный многочлен записывается линейной комбинацией [math]\displaystyle< p_1, p_2, p_3 >[/math] :

   Другой пример — [math]\displaystyle< x^3-1 >[/math] , он не может быть представлен линейной комбинацией [math]\displaystyle< p_1, p_2, p_3 >[/math] :

   приравняв теперь коэффициенты для [math]\displaystyle< x^3 >[/math] , получаем противоречие [math]\displaystyle< 0 = 1 >[/math] .

   Линейная оболочка

   Пусть [math]\displaystyle< S=\[/math] > — векторы в некотором векторном пространстве [math]\displaystyle< V >[/math] над некоторым полем [math]\displaystyle< K >[/math] . Множество всех линейных комбинаций этих векторов называется линейной оболочкой (или просто оболочкой) векторов из [math]\displaystyle< S >[/math] . Обозначения — [math]\displaystyle< \mathrm(S) >[/math] или [math]\displaystyle< \mathrm(S) >[/math] :

   Линейная независимость

   Для некоторых наборов [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math] векторы могут быть представлены в виде линейной комбинации неоднозначно:

   Если вычесть третий член равенства из второго и обозначить коэффициенты [math]\displaystyle< c_i = a_i - b_i >[/math] , получим нетривиальную комбинацию, дающую в результате нулевой вектор:

   Если такое возможно, набор [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math] называют линейно зависимым. В противном случае — линейно независимым. Аналогичным образом говорят о зависимости или независимости произвольного множества векторов [math]\displaystyle< S >[/math] .

   Если [math]\displaystyle< S >[/math]  — линейно независимо и оболочка [math]\displaystyle< S >[/math] совпадает с [math]\displaystyle< V >[/math] , говорят, что [math]\displaystyle< S >[/math] является базисом в [math]\displaystyle< V >[/math] .

   Аффинная, коническая и выпуклая комбинации

   Если наложить на коэффициенты, используемые в линейной комбинации, некоторые условия, получим понятия концепции барицентрической комбинации (или аффинной комбинации), конической комбинации и выпуклой комбинации, а также соответствующие понятия множеств таких линейных комбинаций.

   Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Название множества	Модель пространства
   Линейная комбинация	без ограничений	Векторное подпространство	[math]\displaystyle< \mathbf^n >[/math]
   Барицентрическая комбинация	[math]\displaystyle< \sum a_i = 1 >[/math]	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
   Коническая комбинация	[math]\displaystyle< a_i \geq 0 >[/math]	Выпуклый конус	Квадрант [en] / Октант
   Выпуклая комбинация	[math]\displaystyle< a_i \geq 0 >[/math] и [math]\displaystyle< \sum a_i = 1 >[/math]	Выпуклое множество	Симплекс

   Поскольку здесь имеют место ограничения на вид комбинаций, то получаем в результате более широкие классы объектов. Таким образом, понятия аффинных подмножеств, выпуклых конусов и выпуклых множеств выступают как обобщения понятия векторного подпространства: векторное подпространство одновременно является также и аффинным подпространством, и выпуклым конусом, и выпуклым множеством, но выпуклое множество совсем не обязательно будет векторным или аффинным подпространством или выпуклым конусом.

   Эти понятия возникают, когда берут определённые линейные комбинации объектов, но не любые. Например, распределения вероятностей замкнуты относительно операции образования выпуклых комбинаций (и образуют выпуклое множество), но не конических, барицентрических или линейных. Меры множеств замкнуты относительно операции образования конических комбинаций, но не барицентрических или линейных (последние комбинации определяют заряды).

   Линейную и барицентрическую комбинации можно определить для любого поля (или кольца), а коническая и выпуклая комбинации требуют понятия «положительный», так что их можно определить только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом).

   Если разрешено только умножение на скаляр, но не сложение, получим (не обязательно выпуклый) конус [en] . Часто ограничиваются умножением только на положительные скаляры.

   Теория операд

   На более общем языке теории операд можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой [math]\displaystyle< \R^\infty >[/math] (бесконечная прямая сумма, в которой только конечное число членов ненулевые), которая параметризует линейные комбинации. (Например, вектор [math]\displaystyle< (2,3,-5,0,\dots) >[/math] в таком подходе соответствует линейной комбинации [math]\displaystyle< 2v_1 + 3v_2 -5v_3 + 0v_4 + \cdots >[/math] .) Подобным же образом можно рассматривать барицентрические, конические и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, у которых члены в сумме дают 1, члены которых неотрицательны, или и то, и другое; такие комбинации будут бесконечными аффинными гиперплоскостями, бесконечными гипероктантами и бесконечными симплексами.

   С этой точки зрения линейная комбинация может рассматриваться как наиболее общая операция в векторном пространстве — если векторное пространство является алгеброй над операдой линейной комбинации, это в точности означает, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями.

   Основные операции сложения и умножения на скаляр вместе с существованием аддитивного равенства и аддитивной инверсии нельзя скомбинировать более сложным образом, чем образованием линейной комбинации. Эти основные операции являются генерирующим множеством [en] для операды всех линейных комбинаций.

   Обобщения

   Если [math]\displaystyle< V >[/math]  — топологическое векторное пространство, то можно, если существенным образом использовать топологию [math]\displaystyle< V >[/math] , придать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям элементов данного пространства. Например, можно было бы говорить о [math]\displaystyle< a_1v + a_2v + a_3v + \dots >[/math] (до бесконечности). Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл: обычно смысл удаётся придать лишь сходящимся комбинациям. Увеличение запаса допустимых линейных комбинаций может привести к изменению объёма понятий оболочки, линейной независимости и базиса.

   Если [math]\displaystyle< K >[/math]  — коммутативное кольцо, а не поле, то всё, что говорилось о линейных комбинациях выше, обобщается на этот случай без изменений. Единственная разница — такие пространства именуются модулями (а не векторными пространствами), и не все результаты, справедливые применительно к векторным пространствам, остаются справедливыми и для модулей.

   Если [math]\displaystyle< K >[/math]  — некоммутативное кольцо, то понятие линейной комбинации с коэффициентами из [math]\displaystyle< K >[/math] также можно ввести — с одной особенностью: поскольку модули над некоммутативным кольцом могут быть левые и правые, то и линейная комбинация может тоже быть левой и правой.

   Более сложной является ситуация, когда [math]\displaystyle< V >[/math]  — бимодуль над двумя кольцами [math]\displaystyle< K_L >[/math] и [math]\displaystyle< K_R >[/math] . В этом случае наиболее общий вид линейной комбинации таков:

   где [math]\displaystyle< a_1, \dots, a_n >[/math] принадлежат [math]\displaystyle< K_L >[/math] , [math]\displaystyle< b_1, \dots, b_n >[/math] принадлежат [math]\displaystyle< K_R >[/math] и [math]\displaystyle< v_1, \dots, v_n >[/math] принадлежат [math]\displaystyle< V >[/math] .

   Читать:

   360 document protector что это