Как представить в виде произведения

Множитель. Разложение на множители

Пример: В выражении \(7ab(x-y)(3+m)\) всего \(5\) множителей: \(7\), \(a\), \(b\), \((x-y)\) и \((3+m)\).

Разложить на множители – значит представить выражение в виде произведения множителей.

\(6x^2+5x=x(6x+5)\)
\(36c-c^3=c(36-c^2 )=c(6-c)(6+c)\)
\(12=3 \cdot 4=3 \cdot 2 \cdot 2\)

Такое разложение — штука полезная, она помогает сокращать дроби , решать уравнения методом расщепления и многое другое.

Важно! Разложить на множители можно далеко не любое выражение. Например, выражение \(3am-6c +x\) не раскладывается в принципе.
Замечание: \(3am-6c +x=3(am-2c)+x\) – не является разложением на множители, так как есть стоящее отдельно прибавление икса.

Основные способы разложения на множители

Вынесение общего множителя за скобки
Пример: \(2am+8m=2m(a+4)\)
Важно! В математике принято выносить за скобку все общие множители. Поэтому разложение \(2am+8m=2(am+4m)\) или \(2am+8m=m(2a+8)\) считается неполным.

Группировка
Смысл метода в том, что мы:
— группируем члены выражения, заключая их в скобки

— после чего выносим из получившихся скобок общие множители

— а теперь все выражение как бы заключаем в общую скобку и выносим из нее одинаковые скобки, полученные ранее (выделены красным):

Важно! Члены исходного выражения должны быть сгруппированы на первом шаге таким образом, чтобы после вынесения общих множителей на втором шаге, остались одинаковые скобки. Иначе невозможно будет выполнить третий шаг. В этом состоит основная трудность применения данного метода. Но с опытом вы научитесь видеть как именно надо группировать члены выражения:
Пример: \(5x-3x^2-15+x^3=x^3-3x^2+5x-15=(x^3-3x^2 )+(5x-15)=\)
\(=x^2 (x-3)+5(x-3)=(x^2 (x-3)+5(x-3))=(x-3)(x^2+5)\)

Использование формул сокращенного умножения
Примеры:
\(x^2+4x+4=x^2+2·2·x+2^2=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\)
\(25x^2-9=(5x)^2-3^2=(5x-3)(5x+3)\)
\(25+16x^2-40x=16x^2-40x+25=(4x)^2-2·4x·5+5^2=(4x-5)^2\)
Чтобы уверенно использовать этот способ, естественно, надо назубок знать все формулы сокращённого умножения . И поверьте, они вам еще встретятся в самых разных заданиях. Так что не поленитесь и выучите их.

Пример. Разложить на множители \(2x^2-11x+12\)
Решение: Решим квадратное уравнение \(2x^2-11x+12=0\)
\(x_1=1,5;\) \(x_2=4\)
Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ: \(2(x-1,5)(x-4)\)

Матхак! Разложение на множители — это действие, обратное раскрытию скобок. Поэтому правильность любого разложения всегда можно проверить, раскрыв скобки получившегося выражения и приведя подобные слагаемые . Если в результате мы вернемся к исходному – значит разложение проведено верно.
\(2(x-1,5)(x-4)=(2x-3)(x-4)=2x(x-4)-3(x-4)=2x^2-8x-3x+12=2x^2-11x+12\)
Выражение совпадает с исходным, значит разложили правильно.

Как представить в виде произведения

( x — 1 ) · 3 2 + 2 · ( x 2 + 1 ) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · ( x — 1 ) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x — 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x — 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x — 1 17 42

Ответ: ( x — 1 ) : 2 3 + 2 · ( x 2 + 1 ) : 3 : 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x — 1 17 42 .

6 · y · ( x 2 + 3 · x − 1 ) − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − ( x 3 + 4 · x ) )

8 · x 8 + 4 · x : 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Многочлены — определение и вычисление с примерами решения

Выражение

Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена являются одночлены

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,

— двучлены;

— трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлен стандартного вида

Рассмотрим многочлен Два его члена являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.

Приведем в многочлене его подобные члены:

Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Определение:

Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.

только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.

Степень многочлена

Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, — многочлен четвертой степени.

Определение:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.

По этому определению — многочлены первой степени; — многочлен второй степени; — многочлен шестой степени.

Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения — не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.

Примеры выполнения заданий:

Пример №117

Записать в стандартному виде многочлен:

Сложение и вычитание многочленов

Сложение многочленов

Сложим многочлены

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен

Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычтем из многочлена многочлен

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №118

Найти сумму многочленов:

Пример №119

Найти разность многочленов

Решение:

Пример №120

Решить уравнение

Решение:

Пример №121

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.

Решение:

Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Сумма этих трех чисел

делится на 3, поскольку имеет делитель 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен на многочлен Используя распределительное свойство умножения, получим:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:

Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №122

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №123

Упростить выражение

Решение:

Пример №124

Решить уравнение

Решение:

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен через Тогда:

Возвращаясь к замене получаем:

Итак, произведением многочлена и многочлена является многочлен

Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили , потом и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение можно получить, если умножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приходим к такому правилу:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен на многочлен

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:

В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №125

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:

Пример №126

Решить уравнение

Решение:

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.

На множители можно разложить и многочлены. Например,

Записав многочлен в виде произведения говорят, что многочлен разложили на два множителя Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.

2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен разложили на два множителя Чтобы разложить многочлен на множители, достаточно в его членах и выделить общий множитель а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Примеры выполнения заданий:

Пример №127

Разложить на множителя многочлен 12х 3 у — 18х 2 у 2 .

Решение:

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит а второй — , то общим множителем для степеней с основанием является (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители и , за скобки можно вынести . Таким образом, за скобки можно вынести одночлен

Пример №128

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №129

Разложить на множители:

Решение:

Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №130

Разложить на множители:

Решение:

Слагаемые имеют множители и которые отличаются только знаками. В выражении вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Пример №131

Найти значение выражения при

Решение:

Разложим сначала многочлен на множители:

При получим:

Пример №132

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен следующим образом:

Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель для группы — общий множитель В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности имеем общий множитель Выносим его за скобки и получаем

Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.

Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

Примеры выполнения заданий:

Пример №133

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №134

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Представим второй член в виде Тогда:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Что такое множитель и разложение на простые множители

АЛГЕБРА

Дадим определение понятию “множитель” и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей – простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители – это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 – это множитель, 3 – это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя – первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 – простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа – . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева – что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.