Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка в пространстве 
называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат 
- Здесь
— действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность, линию или точку (например, уравнению 
отвечает точка 
или пару плоскостей (например, уравнению 
отвечает пара плоскостей 
и 
), а также может не определять никакого множества точек (например, 
).
Рассмотрим частные виды поверхностей второго порядка. Сфера с центром в точке 
и радиусом 
имеет уравнение 
где 
— заданные числа (рис. 2.18).
Раскрыв скобки и перенеся 
в левую часть, получим 
Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно 
в котором коэффициенты при 
равны, а члены с произведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (кроме случаев, когда это уравнение не определяет никакой поверхности).
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Цилиндры
Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется направляющей цилиндрической поверхности, а сама прямая — образующей. Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси 
и направляющей служит эллипс (рис. 2.19)
в плоскости 
с уравнением 
Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть 
— произвольная точка этого цилиндра, а точка 
— проекция 
на плоскость 
Ясно, что абсциссы и ординаты точек и 
совпадают. Так как точка 
лежит на эллипсе, то ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (2.55). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты х и у точки цилиндра. Значит, (2.55) есть уравнение цилиндра.
Итак, уравнение (2.55) на плоскости
— эллиптический цилиндр с образующей, параллельной
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Упражнение
1) гиперболический цилиндр с уравнением 
и образующей, параллельной оси
2) параболический цилиндр с уравнением 
и образующей, параллельной оси 
Поверхности второго порядка
Определение. Поверхности второго порядка называют геометрическое место точек пространства, декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени.
Сфера и ее уравнение
Сферой называют геометрическое место точек пространства, равноудаленное от заданной точки — центра сферы.
Если центром сферы является точка 
а радиус 
тогда уравнение сферы будет:
Если центр сферы находится в начале координат 
и радиус 
тогда уравнение сферы будет: 
Цилиндрические поверхности
Поверхность называется цилиндрической, если она образуется прямой (образующая), параллельно к заданной прямой 
и которая проходит через заданную линию 
(направляющая линия). Пример цилиндрической линии изображен на рис. 2.24
Если образующая цилиндрической поверхности параллельна оси 
а образующая лежит на плоскости 
и задана уравнением:
тогда уравнение цилиндрической поверхности будет:
Уравнение 
обозначает цилиндрическую поверхность с образующей, что параллельна оси 
уравнение 
— цилиндрическая поверхность с образующей, что параллельна оси 
Цилиндры второго порядка
а) Эллиптичным цилиндром называется поверхность (рис. 2.25), каноничное уравнение которой имеет вид:
Если 
то получим круговой цилиндр: 
б) Гиперболичным цилиндром называется поверхность, уравнение которой имеет вид (рис. 2.26):
в) Параболическим цилиндром называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.27): 
Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.28): 
Отрезки 
— называются полуосями эллипсоида.
Гиперболоиды
а) однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом (рис. 2.29) называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид :
б) Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом (рис. 2.30) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид: 
Параболоиды
а) Эллиптическим параболоидом (рис. 2.31) называется 
поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид: 
б) Гиперболичным параболоидом (рис. 2.32) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид:
Конические поверхности
конической поверхностью называется поверхность, которая описана прямой, что проходит через точку — вершину конуса — и что 
пересекает заданную линию — направляющую конуса.
Уравнение конуса (рис. 2.33) второго порядка имеет вид: 
Поверхность вращения
Пусть в плоскости 
задана линия 
что имеет уравнение 
Тогда чтобы получить уравнение поверхности, что образована вращением линии что лежит в плоскости около оси 
нужно в уравнение этой линии заменить 
на 
Искомое уравнение поверхности вращения будет 
Аналогично правила будут иметь место и по отношению к поверхностям, которые образуют обращение плоских линий около других координатных осей.
Примеры: 1) уравнение поверхности, что образуются вращением эллипса 
около оси будет 
(эллипсоид вращения).
2) уравнение поверхности, что образуются вращением гиперболы 
около оси будет 
или 
(двуполостный гиперболоид).
Примеры решения задач:
Задача 2.126
Обозначить координаты центра сферы и ее радиус:
Решение. Предоставим заданное уравнение в виде (2.43), для этого: 1) объединяем в группы члены, которые содержат одноименные координаты;
2) выделим в группах полные квадраты. Получим:
Соизмеряя с (2.43), получим 
Следует, центр сферы — точка 
радиус 
Задача 2.127
Эллипс с полуосями 5 и 3 вращается около своей большей оси. которая совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, что описывает эллипс при вращении.
Решение. Сложим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, который размещен в плоскости 
чтобы получить уравнение поверхности, которая образована вращением в плоскости 
около оси 
необходимо в уравнении эллипса заменить 
на 
Получим эллипсоид вращения, который протянул вдоль оси 
или 
Задача 2.128
Сложим уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей:
Решение. Канонические уравнения образующих, что проходят через вершину 
конуса и точки 
направляющей, будут:
Исключим 
в заданных уравнениях. Изменяя 
через 
обозначим 
и 
из остальных двух уравнений: 
подставим полученные значения и в первое уравнение направляющей, получим:
или 
Задача 2.129
Какие поверхности обозначаются уравнениями:
Решение. Каждое из уравнений содержит только две переменные и и обозначает на плоскости 
кривые: 1) круг, 2) эллипс, 3) параболу, 4) гиперболу.
В пространстве же каждое из них обозначается цилиндрическую поверхность с образующими, что параллельны оси 
так как эти уравнения не содержат переменной . Направляющими этих цилиндрических поверхности являются указанные кривые:
— уравнение прямого углового цилиндра;
— уравнение эллиптического цилиндра;
— уравнение параболического цилиндра;
— уравнение гиперболичного цилиндра.
Задача 2.130
Гипербола с полуосями 3 и 4 вращается около своей мнимой оси, которая совпадает с осью 
Центры гиперболы совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, которое получим при вращении гиперболы.
Решение. Сложим каноничное уравнение гиперболы с центром в начале координат, что находятся в плоскости 
Чтобы сложить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы, что находится в уравнение гиперболы вместо 
подставить 
или 
Следует, получим однополосный гиперболоид вращения:
Понятие о поверхности второго порядка
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению.
Общее уравнение поверхности второго порядка, основные определения
Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства 
, описывается уравнением 
, левая часть которого является многочленом второй степени относительно переменных 
:
где 
коэффициенты уравнения при текущих переменных 
; 
— свободный член; и по крайней мере один из коэффициентов 
отличается от нуля 
Уравнение (10.27) называют общим уравнением поверхности второго порядка. Вид поверхности и ее расположение относительно координатных плоскостей зависит от значений параметров в (10.27).
Если не существует ни одной точки 
, которая удовлетворяет общее уравнение, говорится, что оно определяет мнимую поверхность.
Поверхность называется вырожденной, если ее общее уравнение описывает точку, одну или две плоскости. К примеру:
уравнение точки в 
уравнения двух плоскостей, параллельных 
уравнения двух биссекторных плоскостей.
При изучении поверхностей второго порядка решаются две взаимно обратные основные задачи:
1) по известным геометрическим свойствам точек поверхности составить уравнение соответствующей поверхности;
2) по известным уравнением поверхности установить геометрические свойства ее точек.
Примером решения первой основной задачи является построение уравнения сферы (9.2). Уравнение других важнейших поверхностей рассматриваются ниже.
Цилиндрические и конические поверхности
Цилиндрической поверхностью, или просто цилиндром, называется поверхность, образованная движением прямой, перемещается параллельно самой себе вдоль фиксированной линии (кривой). Подвижную прямую называют образующей, а фиксированную кривую — направляющей цилиндрической поверхности. Направляющей может быть любая сомкнутая или разомкнутая линия.
Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является кривая второго порядка: эллипс (круг), гипербола, парабола. Название цилиндра определяется названием его направляющей. Если образующая параллельна одной из координатных осей, а направляющая лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси, то уравнение цилиндра совпадает с уравнением направляющей. При геометрической интерпретации изображается, как правило, часть поверхности между двумя плоскостями, перпендикулярными образующей.
К примеру:
уравнения эллиптического цилиндра (рис. 10.9 а)
уравнения гиперболического цилиндра (рис. 10.9 б)
уравнения параболического цилиндра (рис. 10.9 в).
Отсутствие переменной 
в приведенных уравнениях означает, что аппликанта точек поверхности может быть любым действительным числом, потому что коэффициент при переменной 
в уравнениях следует считать равными нулю. Например, уравнение параболического цилиндра можно записать в виде: 
. Итак, образующая цилиндра параллельна оси, совпадающей с переменной, которая отсутствует в уравнении поверхности.
Если в уравнениях эллипса и гиперболы положить 
, то получим соответственно круговой и равносторонний гиперболический цилиндры.
Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через заданную точку, вдоль фиксированной кривой. Подвижную прямую называют образующей, заданную точку — вершиной, а фиксированную кривую — направляющей конуса. Если образующей является кривая второго порядка, то поверхность называется конусом второго порядка.
На рис. 10.10 изображен конус второго порядка, определяется уравнением
с вершиной в начале координат, направляющей которого является эллипс
в плоскости 
Поверхность симметрична относительно начала координат, а координатные плоскости является ее плоскостями симметрии. Множество точек поверхности с неотъемлемыми (неположительные) аппликатами называется верхней (нижней) полостью конуса.
Если направляющей конуса является круг 
, то он называется круговым.
Эллипс, парабола, гипербола — кривые второго порядка — можно получить сечением прямого кругового конуса плоскостями, которые не проходят через его вершину (рис. 10.11). А именно: если плоскость пересекает только одну полость конуса и непараллельных одной из его образующих, то кривой сечения является эллипс; в частном случае — круг;
если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то результат сечения — парабола;
если плоскость сечения пересекает обе полости конуса, то кривой сечения является гипербола.
Исследование формы поверхностей второго порядка методом сечений
Приведенные выше уравнения поверхностей второго порядка складывались по геометрическим свойствам их точек в соответствии с определений поверхностей. Для решения обратной задачи (по данным уравнением поверхности определить ее вид) применяется метод сечений, суть которого заключается в следующем:
1) анализируют поверхность, устанавливая за ее уравнением линии пересечения (сечения) данной поверхности координатными плоскостями параллельными им;
2) синтезируют определенные на предыдущем шаге геометрические свойства поверхности, что позволяет представить вид поверхности и изобразить ее.
Продемонстрируем применение метода сечений к исследованию уравнения эллиптического параболоида:
Исследование предполагает такие шаги:
1) найдем линии пересечения поверхности (10.28) с плоскостью 
и плоскостями, параллельными ей 
:
а) 
, то уравнение (10.29) удовлетворяют лишь координаты точки 
, то есть плоскость 
является касательной к данной поверхности;
б) 
, то получаем воображаемую линию, поскольку плоскости 
заданную поверхность не пересекают;
в) 
, то уравнение (10.29) можно записать в виде:
то есть сечением поверхности плоскостями, параллельными 
, есть эллипсы, полуоси которых увеличиваются вместе с увеличением 
(рис. 10.12);
2) установим линию пересечения поверхности с плоскостью 
:
Это уравнение параболы, расположенной в плоскости 
, с осью симметрии 
.
3) определим (аналогичным образом) сечение поверхности плоскостью 
: это парабола, которая описывается уравнением 
, и расположена в плоскости 
(с осью симметрии 
).
4) изображаем согласно рассмотренным выше соответствующие линии (рис. 10.12), что позволяет составить представление о форме исследуемой поверхности. Наконец намечаем обвод — линию, получается как множество точек прикосновения к поверхности прямых, параллельных выбранном направления проектирования.
Аналогично осуществляется построение параболоида 
, сечения которого — параболы ветвями вниз, и параболоидов, оси которых совпадают с координатными осями 
. Уравнение таких поверхностей получаемых из рассмотренного выше с помощью циклической перестановки переменных.
Поверхностью вращения называется поверхность, для которой каждый из ее сечений плоскостью, перпендикулярной одной из координатных осей или произвольной оси 
, является кругом. Круговой конус и круговой цилиндр являются примерами таких поверхностей: конус образуется вращением вокруг оси 
прямой, проходящей через начало координат, а цилиндр — прямой, параллельной оси 
, причем прямые не принадлежат плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Уравнения поверхностей, симметричные относительно координатных осей или / и координатных плоскостей, называют каноническими, или стандартными.
В заключение отметим, что приведенные сведения используются при изучении интегрирования функций двух переменных и является фундаментом для более глубокого изучения теории поверхностей второго порядка.
Далее в таблице 10.1 приводятся канонические уравнения и изображения важнейших поверхностей второго порядка.
Важнейшие поверхности второго порядка Таблица 10.1
Основные поверхности пространства и их построение
Данная статья носит справочный характер и по своей структуре очень напоминает материалы о графиках и свойствах элементарных функций. С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.
Чем отличается этот справочный материал от аналогов?
Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.
Что нужно уметь на данный момент?
Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций).
Во-вторых, необходимо уметь откладывать точки в этой системе координат; об этом я достаточно подробно рассказал на уроках Уравнениях прямой в пространстве и Треугольная пирамида.
Далее считаем, что все события происходят в прямоугольной системе координат.
Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?
Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.
Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.
На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице). Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии. Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c первого урока по теме ФНП:
– функция плоскости в явном виде .
Давайте с неё и начнём:
Распространенные уравнения плоскостей
Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости. Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.
Тем, кто ещё не успел, настоятельно рекомендую ознакомиться с указанной выше статьёй и понять неформальный смысл этих уравнений. Повторим заодно и соответствующие неравенства:
– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.
Для самостоятельной разминки:
Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.
Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.
Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
1) уравнение вида (здесь и далее ) задаёт плоскость, проходящую через ось ;
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость), всегда полезно понимать суть происходящих событий:
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую, лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм: 
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.
Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
Получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Построить плоскости
а) ;
б) .
Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Решение: в уравнении в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины: 
Готово.
Уравнение плоскости в отрезках
Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля, то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках. Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:
Решение: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Делаем дроби трёхэтажными:
Именно так! – ведь знаменатели могут оказаться и дробными. Но в данном случае всё разделилось нацело:
Таким образом, плоскость проходит через точки . В целях самоконтроля координаты каждой точки устно подставим в исходное уравнение . После чего выполним чертёж:
В отличие от предыдущих примеров здесь фрагмент плоскости изображается в виде треугольника, который в общем случае может «прорисоваться» в любом из восьми октантов.
Задание для тренировки:
Краткое решение и чертёж в конце урока.
Переходим к другой обширной группе обитателей 3D-мира:
Цилиндрические поверхности
Или, если короче – цилиндры.
! Примечание: в ряде источников информации под цилиндром понимается исключительно геометрическое тело, а не поверхность!
Следует отметить, что в математике под этими терминами скрывается не совсем то, что обычно подразумевает обыватель, и класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:
Построить поверхность, заданную уравнением
…что за дела? Не опечатка ли здесь? Вроде как дано каноническое уравнение эллипса…
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круглый цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.
Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉
Гиперболические цилиндры
Направляющими таких цилиндров являются гиперболы. Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра : 
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка, и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:
Эллипсоид. Сфера и шар
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны. Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей: 
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса. В зависимости от значений эллипсоид может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.
Если две полуоси совпадают, то данную поверхность/тело называют эллипсоидом вращения. Так, например, эллипсоид получен вращением эллипса вокруг оси (представьте мысленно).
Небольшая задачка для самостоятельного решения:
Построить эллипсоид . Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение.
Чертёж и краткий комментарий в конце урока.
В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу:
– данное уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса .
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса . И, соответственно, противоположному условию удовлетворяют координаты любой внешней точки.
Разделаемся с аппетитным Колобком:
Построить поверхность . Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки
Решение: уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2. Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, выгодно уменьшить масштаб чертежа: 
Выразим «зет»:
– функция, задающая верхнюю полусферу;
– функция, задающая нижнюю полусферу.
Областью определения каждой функции является круг с центром в начале координат радиуса 2 (проекция полусфер на плоскость ).
Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек в данное неравенство:
Получено неверное неравенство, следовательно, точка «дэ» лежит вне шара.
Получено верное неравенство, значит, точка «эф» принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).
Материал о сферах и шарах достаточно прост, и я предлагаю вам чисто символическое задание для самостоятельного решения:
Найти область определения функции двух переменных и построить соответствующую поверхность.
Краткое решение и чертёж в конце урока.
Кстати, наша планета, кто не знает, чуть-чуть, но таки не шар.
Коническая поверхность
Каноническое уравнение в декартовых координатах задаёт коническую поверхность 2-го порядка или, если короче, конус. Но это опять же не совсем тот конический колпак, который всем знаком со времён далёкого детства.
Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями (прежде всего, координатными), и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.
Перепишем уравнение в виде и исследуем сечения конуса плоскостями , параллельными плоскости . Подставим в уравнение конической поверхности:
Очевидно, что случаю соответствует уравнение , задающее пару мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной конуса.
Если же , то уравнение задаёт эллипсы различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с увеличением абсолютных значений «цэ большого» полуоси эллипсов неограниченно возрастают. Таким образом, коническая поверхность бесконечна: 
Если коническую поверхность «разрезать» произвольной плоскостью (которая проходит через ось ), то в сечении получатся две пересекающиеся в начале координат прямые. Множество таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность.
И логично, что каждая из этих прямых называется образующей конуса.
На практике почти всегда приходится иметь дело с конусом вращения, в котором сечения плоскостями представляют собой окружности. И во многих практических задачах типичен следующий «опознавательный» вид уравнения:
– с «зет» в левой части и равными коэффициентами при и .
Как многие догадались, функция задаёт верхнюю часть конуса, а функция – его нижнюю часть.
Распространённая вариация по теме:
Решение: уравнение имеет вид и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?
Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:
Далее выберем небольшое положительное значение «зет», например , и найдём линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью:
– окружность радиуса .
Пояснение на всякий случай: подставили в 1-е уравнение
Теперь на высоте изобразим окружность и аккуратно проведём 4 образующие конуса:
Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .
Не забываем, что уравнение задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.
Пожалуй, простейшая коническая поверхность:
Построить коническую поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.
В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями . Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку (внутри или снаружи конуса) и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству.
В заключение статьи подробно рассмотрим ещё одну мегапопулярную поверхность:
Эллиптический параболоид
Каноничный эллиптический параболоид в прямоугольной системе задаётся уравнением . Данная поверхность выглядит бесконечной чашей: 
Название «эллиптический параболоид» тоже произошло из результатов исследования сечений. В горизонтальных сечениях плоскостями получаются различные эллипсы:
, в частности, при эллипс вырождается в точку (начало координат), которая называется вершиной эллиптического параболоида.
А вертикальные сечения плоскостями, параллельными оси , представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .
Или сечение плоскостью :
– парабола, лежащая в плоскости .
Отсюда и эллиптический параболоид.
На практике обычно встречается упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями-окружностями. Перепишем каноническое уравнение в прикладном функциональном виде:
– характерным признаком функции, как и в ситуации с конусом, является равенство коэффициентов при .
Построить поверхность . Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического параболоида.
Решение: используем ту же методику, что и при построении конической поверхности. Рассмотрим какое-нибудь не очень большое значение «зет», здесь удобно выбрать , и найдём сечение эллиптического параболоида этой плоскостью:
– окружность радиуса 2.
Теперь на высоте изобразим данную окружность и аккуратно соединим её с вершиной (началом координат) двумя параболами. В результате получится такая вот симпатичная чашка: 
Рассматриваемый частный случай параболоида с горизонтальными сечениями-окружностями также называют параболоидом вращения, поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси
С неравенствами ничего нового. Нетрудно догадаться, что неравенство или, если развернуть запись в более привычном порядке, определяет множество точек внутри чаши (т.к. неравенство строгое, то сама поверхность не входит в решение). И, соответственно, неравенство задаёт множество внешних точек.
По моим наблюдениям, на практике часто встречается эллиптический параболоид вида , который выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку . Именно такую поверхность мы исследовали с помощью линий уровня в Примере № 14 первого урока темы.
Ещё одно типичное расположение эллиптического параболоида:
Решение: если коэффициенты при отрицательны (сразу оба), то чаша параболоида «смотрит вниз». Вершина поверхности расположена в точке . Это понятно не только интуитивно, но и подкрепляется простым аналитическим рассуждением: очевидно, что рассмотрев любую другую пару значений мы уменьшим функцию . Таким образом, в точке достигается максимум функции двух переменных.
В целях построения поверхность удобно «отсечь» плоскостью . Сечение представляет собой:
– окружность радиуса 2.
Выполним чертёж: 
Готово.
Заключительное задание для самостоятельного решения:
Построить эллиптический параболоид
Чертёж в конце урока, который приблизился к своему завершению.
Среди поверхностей 2-го порядка за кадром остались редко встречающиеся на практике:
( ниже перечислены канонические уравнения, в которых – положительные числа)
Более подробную информацию об этих поверхностях можно почерпнуть в учебнике аналитической геометрии либо другом источнике информации, в частности, в Википедии, на которую проставлены ссылки. Если возникнет необходимость выполнить их построение – используйте метод сечений, он действительно прост и эффективен!
Я бы с радостью всё рассказал, но, во-первых, это нецелесообразно с практической точки зрения, а во-вторых, размер статьи подходит к той опасной грани, после которой посетители сайта будут считать автора не только фанатом, но и начнут всерьёз опасаться за его здоровье. Впрочем, санитары разрешили мне ещё немного посидеть за компьютером =)
А если серьёзно, то этой статьи я опасался чуть ли не с первых дней создания сайта ввиду большого объема работы. Но вот, наконец, клуб любителей функций двух переменных широко распахнул двери, и теперь-то уж мы с вами оттянемся в полный рост =)
Решения и чертежи:
Пример 1: Решение: выполним чертёж: 
Данное тело определяется системой
Пример 3: Решение: а) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку . б) Сначала удобно построить прямую , лежащую в плоскости . Используем начало координат, и, например, точку .
Пример 6: Решение: запишем уравнение плоскости в отрезках:
Выполним чертёж: 
Пример 10: Решение: функция задаёт верхнюю часть цилиндра :
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная «плоскими» прямыми (включая прямые).
Проекция на плоскость : часть данной плоскости, ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
Проекция на плоскость : полуокружность
Пример 12: Чертежи:
Пример 13: Решение: данный эллипсоид получен вращением эллипса (плоскость ) вокруг оси : 
Примечание: также можно считать, что вращается эллипс , лежащий в плоскости .
Пример 15: Решение: областью определения данной функции является круг с центром в начале координат радиуса . Функция задаёт полусферу, лежащую в верхнем полупространстве, с центром в начале координат радиуса : 
Пример 17: Решение: сечения конуса плоскостями представляют собой окружности . Выполним чертёж: 
Неравенство задаёт множество точек, находящихся внутри конуса; неравенство задаёт множество внешних точек.
Пример 20: Решение: вершина параболоида находится в точке . Выполним чертёж:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
11.3. Поверхности второго порядка
где старшие коэффициенты , , , , , не равны нулю одновременно. Без ограничения общности можно считать, что система координат, в которой задано уравнение поверхности второго порядка, прямоугольная. Для каждой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение принимает наиболее простой (канонический) вид. Она называется канонической, а уравнение – каноническим.
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
1. – уравнение эллипсоида;
2. – уравнение мнимого эллипсоида;
3. – уравнение мнимого конуса;
4. – уравнение однополостного
гиперболоида;
5. – уравнение двуполостного
гиперболоида;
6. – уравнение конуса;
7. – уравнение эллиптического
параболоида;
8. – уравнение гиперболического
параболоида;
9. – уравнение эллиптического
10. – уравнение мнимого
эллиптического цилиндра;
11. – уравнение пары мнимых
пересекающихся плоскостей;
1 2. – уравнение гиперболического
13. – уравнение пары пересекающихся
14. – уравнение параболического
15. – уравнение пары параллельных
16. – уравнение пары мнимых
параллельных плоскостей;
17. – уравнение пары совпадающих
В этих уравнениях , , , , причем в уравнениях п.1–3; в уравнениях п.4–7,9–11.
Поверхности (1),(4)–(9), (12)–(15),(17) называются вещественными (действительными), а поверхности (2),(3),(10),(11),(16) – мнимыми. Вещественные поверхности изображены в канонических системах координат. Изображения мнимых поверхностей даются штриховыми линиями только для иллюстрации.
Поверхность второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр (симметрии). В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, поверхность называется нецентральной. К центральным поверхностям относятся эллипсоиды (вещественный и мнимый), гиперболоиды (однополостный и двуполостный), конусы (вещественный и мнимый). Остальные поверхности – нецентральные.
Алгоритм составления канонического уравнения поверхности второго порядка
Пусть в прямоугольной системе координат поверхность второго порядка описывается уравнением
Требуется определить ее название и составить каноническое уравнение. Для этого нужно выполнить следующие действия:
1. Вычислить ортогональные инварианты
Если , то вычислить семиинвариант
Если и , то вычислить семиинвариант
2. По табл. 11.1 определить название поверхности, а по названию –каноническое уравнение поверхности второго порядка.
3. Составить характеристическое уравнение ,
используя коэффициенты, вычисленные в п.1, либо разлагая определитель
Найти корни , , (с учетом кратности) характеристического уравнения.
4. Занумеровать корни , , характеристического уравнения в соответствии с правилами:
а) если поверхность эллиптического типа, то ;
б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через и корни одного знака так, чтобы , а через – корень противоположного знака;
в) если поверхность параболического типа, то
– если нулевой корень двойной, то и ;
– если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то и ;
– если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то и либо , если или , либо , если и .
5. Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в канонической системе координат :
Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
Тогда полуоси эллипсоида будут
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
Параллельные плоскости
Если K 2 < 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
перепишем его в виде
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
перепишем его в виде
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 < 0 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением