Как построить ортонормированный базис

Пример 3. Построение ортонормированного базиса

Построить ортонормированный базис подпространства пространства натянутого на систему векторови

Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространствакоторое является линейной оболочкой векторовПрименим к этим векторам процесс ортогонализации.

Вначале возьмём Векторбудем искать в видеИз условия перпендикулярностиполучаем:Следовательно,Далее, следующий базисный вектор будем искать в видеИз условийиполучаем:и

Отсюда Таким образом, ортогональный базис пространстватаков:Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:

Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.

Убедиться в том, что векторы ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.

Решение.Проверим ортогональность. Имеем:Следовательно,Таким образом, мы можем положитьДругие векторыортогонального базиса удовлетворяют условиямиПустьУсловиедаёт систему

Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:Перенесёмв правую часть:Переменныездесьсвободные, а переменные–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначалезатеми найдёмСоставим таблицу:

104. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора

1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A — l.E| = 0.

2) Найдем все корни характеристического уравнения.

3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A — l.E)X=0.

4) Ортонормируем, полученный базис.

Пример. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве Е3, имеет в ортонормированном базисе E1, E2, E3 матрицу

.

Найти в Е3 ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и составить матрицу оператора A в этом базисе.

Решение. 1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A — l.E| = 0.

2) Найдем все корни характеристического уравнения: l1=-1, l2 = l3 = 1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид

.

3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A — l.E)X=0.

Пусть l1=-1. Матричное уравнение (A — l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C(1,-2,1), C€R.

Пусть l2 = l3 = 1. Матричное уравнение (A — l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C1(2,1,0) + C2(-1,0,1), C€R.

4) Ортонормируем, полученный базис.

A1 = (1,-2,1), A2 = (2,1,0), A3 =(-1,0,1).

B1 = (1,-2,1), B2 = (2,1,0), B3 = A3 + k b2, , b3 =(-1/5, 2/5, 1/5).

.

линейная-алгебра — Построить ортонормированный базис подпространства

Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис подпространства, натянутый на заданную систему векторов.

Возьмем такое $%a_1=X_1; a_1=(1,2,2,-1).$%

Пронормировав векторы $%a_1,a_2,a_3$% получим искомый ортонормированный базис:

задан 1 Апр ’16 23:48

@Koval: давайте начнём с исправления ошибок, а потом будем обсуждать дальше. В 4-й строке (начинающейся со слова «Возьмём») есть ошибка. Найдите её и исправьте. Также проверьте, не повлияла ли она на всё остальное. И ещё маленький технический совет. При нахождении $%a_2$% у Вас подробно расписана дробь $%\frac<1+2-10-3><10>$%. Это хорошо, так как читатель должен понимать, откуда она взялась. Но далее он легко способен сосчитать то, что в числителе, и разделить 10 на 10. Поэтому следующая дробь $%\frac<10><10>$% выглядит уже излишеством, и там коэффициент писать в таком виде не надо.

@Koval: сам метод такой и должен быть, то есть первый вектор берётся из старого списка. Ошибка не в этом, а в третьей координате, у которой Вы добавили минус, которого не было.

@Koval: у Вас там пропущено одно из слагаемых. Если его добавить, что окажется, что $%a_4=0$%. Это значит, что исходная система была линейно зависима (такое в задачах нередко бывает). Тогда базис будет состоять из трёх векторов $%a_1,a_2,a_3$%. Он ортогонален, и для ортонормированности останется каждый из этих векторов разделить на его длину.

@falcao почему мы не запишем просто $%e_4=(0,0,0,0)?$%

@Koval: потому что базис — это линейно независимая система, и нулевой вектор в его состав входить не может.

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,\ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=\begin y_1&\cdots& y_n \end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] , a [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] .

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots, \mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] находится по формуле: [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle= x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf[/math] , а [math]y_1,\ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n[/math] длина вектора [math]\mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|\mathbf|= \sqrt[/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,\ldots,x_n[/math] вектора [math]\mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=\langle \mathbf,\mathbf_1\rangle,\ldots, x_n=\langle \mathbf,\mathbf_n\rangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]\mathbf= x_1 \mathbf_1+\ldots+x_n \mathbf_n[/math] на [math]\mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](\mathbf)=(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)[/math] и [math](\mathbf)= (\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf)[/math] к базису [math](\mathbf)\colon\, (\mathbf)=(\mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf)[/math] и [math](\mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>,\, \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] и [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>,\, \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>= S \mathop\limits_<(\mathbf)>,[/math] [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>= S \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf)[/math] и [math](\mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)= G(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]\mathbf_1, \mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf_1[/math] , затем на [math]\mathbf_2[/math] и т.д. на [math]\mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=\beginx_1&\cdots&x_k \end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]\det_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] получены векторы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf_1, \mathbf_2, \ldots,\mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_<21>)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf_i,\mathbf_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf_j,\mathbf_j\rangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf_j= \mathbf_j+ \alpha_\mathbf_1+ \ldots+ \alpha_\mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]\langle a_i,a_j\rangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]\mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,\ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,\ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]\mathbb[/math] и [math]\mathbb'[/math] называются изоморфными [math](\mathbb\leftrightarrow \mathbb')[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](\cdot,\cdot)[/math] и [math](\cdot,\cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]\mathbb[/math] и [math]\mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]\mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]\mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](\mathbf)=(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]\mathbf\in \mathbb[/math] его координатный столбец [math]x\in \mathbb^n

(\mathbf\leftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]\mathbb\leftrightarrow \mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] пространства [math]\mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]\mathbb[/math] и [math]\mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]\mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).