Нахождение сторон треугольника по одной стороне и прилегающим углам
Нахождение сторон треугольника по одной стороне и прилегающим углам. Создано по запросу пользователя.
Похоже, тема треугольника неисчерпаема, как атом. Недаром треугольник является фундаментальной фигурой геометрии.
Не успел я написал калькулятор Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, как пользователь в своем запросе В продолжение темы бесконечности треугольников))))) попросил найти стороны треугольника если известны его углы и величина одной из сторон.
Ну, много говорить не надо — калькулятор ниже для нахождения сторон использует теорему синусов, которая выглядит так: . Вот собственно, и все.
Сторона треугольника через угол
Катет прямоугольного треугольника через угол и второй катет
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.
Прямоугольный треугольник — это треугольник у которого один из углов прямой (равен 90°). Стороны треугольника образующие прямой угол называются катетами треугольника. Сторона противоположная прямому углу называется гиппотенузой.
Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Своё название данная едииница измерения получила от слова радиус. Имеет обозначение: рад, международное: rad.
Радианы являются основной единицей используемой в вичислениях.
Градус — общепринятая единица измерения плоского угла, которая равняется \dfrac<1> <90>части прямого угла или \dfrac<1> <360>часть окружности. В отличии от радиан, градусы являются чисто символическими единицами измерения, так сказать «взятые с потолка» и не имеют в своём значении ни какого математического основания.
Причина выбора градуса в качестве единицы измерения углов неизвестна. В быту измерение углов в градусах выглядит удобнее и понятнее, но что касается математических вычислений, то здесь основными единицами являются радианы.
Формула нахождения стороны через угол
Посчитать длину одного из катетов треугольника можно через второй катет и угол противолежащий искомой стороне:
Все формулы для треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H — высота из прямого угла
a, b — катеты
с — гипотенуза
c 1 , c 2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α , β — углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):
Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , ( H ):
6. Найти длину биссектрисы в треугольнике
L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
a, b — стороны треугольника
с — сторона на которую опущена биссектриса
d, e — отрезки полученные делением биссектрисы
γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам
p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):
Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
7. Биссектриса прямоугольного треугольника
1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α — угол прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):
2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α , β — углы прилежащие к гипотенузе
Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):
Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):
8. Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
L — высота = биссектриса = медиана
a — одинаковые стороны треугольника
b — основание
α — равные углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):
9. Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):
10. Найти длину медианы треугольника по формулам
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, ( M ):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):
11. Длина медианы прямоугольного треугольника
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем 
.
 |
 |
 |
 |
(1) |
 |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
 . |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: 
Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
  . |
  . |
Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:
 ,  . |
И, наконец, находим угол C:
  |
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
 |
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
 . |
 . |
Далее, из формулы
| . |
найдем cosA:
| . |
(3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
 . |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: 
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
| , |
   . |
Из формулы (3) найдем cosA:
  |
 . |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
  . |
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
 |
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
 . |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
 ,  . |
 ,  . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: 
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С: