Как найти динамическую ошибку

Динамическая ошибка сау. Нахождение коэффициентов ошибок.

Помимо статистических ошибок точность работы систем радиоавтоматики характеризуется динамическими и переходными ошибками.

Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на неё нестационарного сигнала.

Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования.

Динамическая точность работы систем радиоавтоматики определяется при медленно изменяющихся входных сигналах (воздействия, число производных от которых ограничено).

Cигнал относится к медленно изменяющемуся воздействию, так как число производных от этого сигнала неравных нулю, равно , а -я производная равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно изменяющимся, так как число производных от него равно .

Переходные процессы в системах радиоавтоматики затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившейся динамический режим работы системы.

По определению передаточной функции рассогласования преобразование Лапласа для ошибки системы:

или в области действительного переменного

Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов , которые называются коэффициентами ошибки, известны три способа.

2) Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путём деления числителя передаточной функции ошибки на её знаменатель.

3) Для реализации третьего способа представим передаточную функцию ошибки в виде:

Перемножив полином знаменателя на (6.1), получим:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в выражении (6.3), определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок:

2 Влияние на ошибку системы коэффициента усиления системы и введение форсирующего звена

В инженерных расчётах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:

где — порядок астатизма системы.

Первое слагаемое в выражении (6.2) называют ошибкой по положению, а коэффициент -коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент — коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (6.2) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент — коэффициентом ошибки по ускорению.

В астатических системах первых коэффициентов ошибок равны нулю, где — порядок астатизма системы радиоавтоматики.

При анализе качества работы систем радиоавтоматики помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гармонического сигнала не ограничено. При этом для расчёта ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По амплитудно-частотной характеристике ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, по фазочастотной характеристике – сдвиг колебаний ошибки относительно входного сигнала.

Пример 6.1. Найти динамическую ошибку при входном сигнале следящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

Коэффициент астатизма .Тогда ,

Подставим данные в выражение (2), получим:

Вывод. При увеличении коэффициента усиления системы и введении форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку системы.

3 Средняя квадратическая ошибка системы.

В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчёта составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или её спектральную плотность.

На вход системы подаётся воздействие вида:

— случайный сигнал; — случайная помеха.

— cуммарная ошибка системы, где — выходной сигнал системы.

Рис. 7.1. К определению суммарной ошибки

На приведённом рисунке круг означает сумматор, а сектор круга со знаком минус означает операцию вычитания.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки:

Вывод. Суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, — от передаточной функции замкнутой системы.

Предположим, что сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. Тогда математическое ожидание помехи , а случайный сигнал представим в виде:

— математическое ожидание сигнала; — случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции:

Ошибки в замкнутых системах автоматического управления

На рис.6.1 приведена схема одноконтурной замкнутой системы. В разделе 5.1.4 было показано, что многоконтурные системы могут быть сведены к одноконтурным. Сигнал на выходе вычитающего устройства e(t) = x(t) — y₀(t) называется сигналом ошибки.

Рис.6.1 Схема одноконтурной замкнутой системы.

По определению передаточная функция ошибки равна

Из рис.6.1 следует, что Е(р) = Х(р) — Y₀(p) = Х(р) — Y(p)W₀ , где

С учетом (6.1) получим

Это выражение описывает передаточную функцию ошибки в замкнутой системе рис.6.1 и рис. 5.3.6 через передаточные функции входящих в нее звеньев W_p и W₀ . Если замкнутая система построена по схеме рис. 5.3 а, то в приведенных выражениях полагают W₀ =1.

Статическая ошибка системы есть предел е_с = lim e(t)

Так как его изображение по Лапласу Х(р) = С/р , то е_с = lim e(t) = lim рЕ(р) .

Пример 1. Пусть W_p W₀ = —— — каскадное соединение инерционного звена с

усилителем. Тогда с учетом (6.2) получим:

Пример 2. Пусть W_DW₀ =— — каскадное соединение интегратора и

инерционного звена. Тогда с учетом (6.2) получим:

На рис 6.2 приведены графики e(t) в статической и астатической системах.

Система, в которой статическая ошибка не равна нулю, т.е. е_с^0 , называется статической, а система, в которой е_с=0, называется астатической. Из приведенных примеров следует, что система становится астатической, если в ее замкнутом кольце есть хотя бы одно звено интегрирования.

Рис.6.2 Графики зависимости ошибки e(t) в статической (а) и астатической (б) замкнутых системах автоматического управления

Динамические ошибки

Динамическими называются ошибки в замкнутой системе при входном воздействии вида

Этот сигнал относится к медленно меняющимся сигналам, так как (к+1) — ая производная этого сигнала по времени равна нулю. Отметим, что гармонический сигнал x(t) = Acoscot не является медленно меняющимся, так как ни одна из его производных не равна нулю.

Для определения динамической ошибки представим функцию W_e(p) рядом Тейлора где С; — неизвестные коэффициенты ошибки. Тогда

Этот ряд ограничен k-тым членом ряда, так как p’x(t)=0 при i>k, где р 1 =—г —

символы дифференцирования, поэтому при i>k слагаемые р’Х(р)=0.

Взяв от (6.4) обратное преобразование Лапласа, получим:

где р 1 =-^-г — символы дифференцирования. В ряде (6.5) первое слагаемое C₀x(t) dt 1

называется ошибкой по положению, второе слагаемое Cipx(t) называется ошибкой по

скорости, а третье слагаемое

у[ Р %(t) называется ошибкой по ускорению. Коэффициенты С₀, Ci и С₂ называются соответственно коэффициентами ошибки по положению, скорости и ускорению. Слагаемые более высокого порядка и входящие в них коэффициенты ошибок С; специфического названия не имеют, они называются коэффициентами ошибки по i — ой производной сигнала.

Как найти динамическую ошибку

Точность систем управления является важнейшим показателем их качества. Чем выше точность, тем выше качество системы. Однако предъявление повышенных требований к точности вызывает неоправданное удорожание системы, усложняет ее конструкцию. Недостаточная точность может привести к несоответствию характеристик системы условиям функционирования и необходимости ее повторной разработки. Поэтому на этапе проектирования системы должно быть проведено тщательное обоснование требуемых показателей точности.

В этом разделе рассматриваются методы определения ошибок, возникающих при работе систем управления с детерминированными входными воздействиями. Вначале анализируются ошибки систем в переходном режиме. Затем особое внимание уделено простым способам расчета ошибок систем в установившемся режиме. Будет показано, что все системы управления можно разделить по величине установившихся ошибок на системы без памяти, так называемые статические системы, и системы, обладающие памятью, – астатические системы управления.

Типовые входные воздействия

Для оценки качества работы систем управления рассматривают их поведение при некоторых типовых воздействиях. Обычно такими воздействиями служат следующие три основные вида функций:

а) ступенчатое воздействие: g(t) = , g(p) = ;

б) линейное воздействие: g(t) = t , t > 0 ; ;

в) квадратичное воздействие: /2 , t > 0 ; g(p) = .

В некоторых случаях рассматривают обобщенное полиномиальное воздействие:

Ступенчатое воздействие является одним из простейших, но именно с его помощью определяется ряд важных свойств систем управления, связанных с видом переходного процесса. Линейное и квадратичное воздействия часто бывают связаны с задачами слежения за координатами движущегося объекта. Тогда линейное воздействие соответствует движению объекта с постоянной скоростью; квадратичное — движению объекта с постоянным ускорением.

Переходные процессы при типовых воздействиях можно построить следующим образом. Пусть задана передаточная функция замкнутой системы управления W(p). Тогда

где g(p) – изображение соответствующего воздействия.

Например, если , то и для g(t) = g0 получим .

С помощью вычетов или по таблицам находим обратное преобразование Лапласа и получаем вид переходного процесса x(t) для заданного входного воздействия:

где Res x(p) – вычет функции x(p) в точке a.

Обычно реакция системы на ступенчатое воздействие имеет вид, показанный на рис. 21,а или рис. 21,б.

Переходный процесс, как правило, характеризуют двумя параметрами – длительностью переходного процесса (временем установления) и величиной перерегулирования.

Под временем установления tу понимают временной интервал, по истечении которого отклонение |x(t) — xуст | выходного процесса от установившегося значения xуст не превышает определенную величину, например, 0,1gо. Время установления является важным параметром САУ, позволяющим оценить ее быстродействие. Величину tу можно оценить приближенно по амплитудно-частотной характеристике системы. При заданной частоте среза . Для оценки качества системы используется также величина перерегулирования, определяемая соотношением .

В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным, как это показано на рис. 21, б, или плавным гладким, называемым апериодическим (рис. 21,а). Если корни характеристического уравнения системы действительны, то переходный процесс в ней апериодический. В случае комплексных корней характеристического уравнения собственные колебания устойчивой системы управления являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе имеет колебательный характер.

При малом запасе устойчивости САУ ее собственные колебания затухают медленно, и перерегулирование в переходном режиме получается значительным. Как следствие, величина перерегулирования может служить мерой запаса устойчивости системы. Для многих систем запас устойчивости считается достаточным, если величина перерегулирования .

Установившийся режим

При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме . В зависимости от вида воздействия и свойств системы эта ошибка может быть нулевой, постоянной или бесконечно большой величиной.

Очень важно, что величина установившейся ошибки может быть легко найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала: .

При использовании этой теоремы нужно выразить величину ошибки e (p) через g(p). Для этого рассмотрим структурную схему замкнутой системы управления (рис. 22).

Очевидно, e (p) = g(p) — x(p) = g(p) — H(p)e(p). Отсюда или e (p) = He(p)g(p) , где He(p) = называется передаточной функцией системы управления от входного воздействия g(p) к ошибке слежения e(p). Таким образом, величину установившейся ошибки можно найти с помощью следующего соотношения:

где He(p) = 1/(1+H(p)); g(p) — изображение типового входного воздействия.

Пример 1. Рассмотрим систему управления, в составе которой нет интеграторов, например,

Найдем величину установившейся ошибки при ступенчатом входном воздействии g(t) = g0, t ³ 0. В этом случае

Предположим теперь, что входное воздействие изменяется линейно t или .

Тогда . Соответствующие входные воздействия и переходные процессы можно представить графиками на рис. 23,а и б.

Пример 2. Рассмотрим теперь систему, содержащую один интегратор. Типичным примером может быть система сервопривода (рис. 6) с .

Для ступенчатого воздействия g(t) = g0 или g(p) = получим

При линейном входном воздействии

Такие процессы можно проиллюстрировать соответствующими кривыми на рис.24, а и б.

Пример 3. Рассмотрим систему с двумя интеграторами. Пусть, например, . При ступенчатом воздействии .

Наконец, если входное воздействие квадратичное g(t) = at2/2 (g(p) = a/p3), то

Таким образом, в системе с двумя интеграторами может осуществляться слежение за квадратичным входным воздействием при конечной величине установившейся ошибки. Например, можно следить за координатами объекта, движущегося с постоянным ускорением.

Статические и астатические системы управления

Анализ рассмотренных примеров показывает, что системы управления, содержащие интегрирующие звенья, выгодно отличаются от систем без интеграторов. По этому признаку все системы делятся на статические системы, не содержащие интегрирующих звеньев, и астатические системы, которые содержат интеграторы. Системы с одним интегратором называются системами с астатизмом первого порядка. Системы с двумя интеграторами – системами с астатизмом второго порядка и т.д.

Для статических систем даже при неизменяющемся воздействии g(t) = g0 установившаяся ошибка имеет конечную величину g(t) = g0 . В системах с астатизмом первого порядка при ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, но при линейно изменяющемся воздействии . Наконец, в системах с астатизмом второго порядка ненулевая установившаяся ошибка появляется только при квадратичных входных воздействиях g(t) = at2 /2 и составляет величину eуст = a/k.

Какие же физические причины лежат в основе таких свойств астатических систем управления?

Рассмотрим систему управления с астатизмом второго порядка (рис. 25)

Пусть входной сигнал системы управления изменяется линейно: t. Как было установлено, в такой системе установившаяся ошибка равна нулю, т.е. e (t) =0. Каким же образом система работает при нулевом сигнале ошибки? Если x(t) = t , то на входе второго интегратора должен быть сигнал . Действительно, при нулевом рассогласовании e (t) =0 в системе с интеграторами возможно существование ненулевого выходного сигнала первого интегратора . Первый интегратор после окончания переходного процесса «запоминает» скорость изменения входного воздействия и в дальнейшем работа системы управления осуществляется по «памяти». Таким образом, физическим объяснением такого значительного различия статических и астатических систем является наличие памяти у астатических систем управления.

Итак, существуют простые возможности определения важнейшего показателя систем управления – величины их динамических ошибок. Детальный анализ переходных процессов в системах управления обычно выполняют с помощью моделирования на ПЭВМ. Вместе с тем величины установившихся ошибок легко находятся аналитически. При этом астатические системы управления, т.е. системы с интеграторами, имеют существенно лучшие показатели качества по сравнению со статическими системами.