11.2. Свойства дифференцируемых функций
Будет ли функция иметь предел в точке, в которой существует ее производная? Будет ли непрерывной дифференцируемая функция? Эти вопросы возникают сразу же, потому что и понятие производной, и понятие непрерывности имеют общую первооснову – понятие предела.
ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет производную на множестве X, то она непрерывна на этом множестве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из условия теоремы следует, что отношение 
имеет конечный предел для любого X из множества X при 
, то есть:
По теореме, определяющей необходимое и достаточное условие существования предела, будем иметь:
Где 
– бесконечно малая функция при 
, стремящемся к нулю.
Находим приращение функции:
Оно складывается из двух бесконечно малых функций при , поэтому их сумма 
бесконечно мала, что и доказывает непрерывность функции 
.
Дифференцируемая функция непрерывна, значит, она имеет и предел в соответствующих точках.
Рис. 11.2. Пример функции, недифференцируемой
В отдельной точке.
Если непрерывная функция не имеет производную в некоторой точке, то можно ли эту функцию переопределить в этой точке так, чтобы она стала дифференцируемой?
Непрерывность функции является, однако, лишь необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости. Например, рассмотрим функцию 
(рис. 11.2). Она может быть представлена в виде
Дайте определение бесконечной производной.
Изобразите схематично графики непрерывных функций, имеющих бесконечную производную.
Если взять приращение аргумента в окрестности нуля
Может ли функция, у которой производная обращается в бесконечность, иметь в этой точке:
А) устранимый разрыв;
Б) разрыв первого рода;
В) разрыв второго рода?
То слева от этой точки
Если производная функции конечна для 
, то может ли сама функция быть бесконечно большой в этой точке?
При как слева, так и справа от точки 0, 
, то есть, 
непрерывна в нуле, однако
Это означает, что
Не существует, следовательно, при 
эта функция не является дифференцируемой.
Докажем теорему, позволяющую обосновать вычисление производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.
ТЕОРЕМА 2. Если 
и 
дифференцируемы на множестве X, то производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных
(11. 1)
Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой из них на вторую функцию, и первой функции на производную второй функции.
(11. 2)
Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной делимого на делитель и производной делителя на делимое, а знаменатель есть квадрат делителя.
(11. 3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Можно ли представить дифференцируемую функцию в виде суммы двух недифференцируемых?
Пусть аргумент x получает приращение . Тогда функции и будут иметь приращения 
и 
соответственно. Пользуясь определением производной, находим:
Это правило позволяет в случае необходимости выносить числовой множитель за знак производной, разбивать функцию на слагаемые, если производная каждого из них существует. В частности, при 
и 
имеем:
Так как предел последнего слагаемого равен нулю, потому что
.
Почему 
при 
и 
?
ТЕОРЕМА 3. Если для функции существует обратная функция 
и в рассматриваемой точке Х производная 
, то обратная функция в соответствующей точке дифференцируема, причем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Придадим значению у приращение 
, тогда функция получит приращение , которое также отлично от нуля. Действительно, если бы 
, то 
, что невозможно. Следовательно, можно записать:
Пусть , тогда, в силу непрерывности обратной функции, и , поэтому
(11. 4)
ТЕОРЕМА 4. Если функция 
дифференцируема в точке T, а функция дифференцируема в точке X, то сложная функция 
дифференцируема в точке T, причем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Дадим аргументу t приращение 
. Тогда функция 
Получит приращение 
. Оно, в свою очередь, вызовет приращение функции , равное 
. Согласно определению, при 
будем иметь:
Доказать, что производная четной функции – нечетна, а нечетной – четна.
Возможность перехода от предела при 
к пределу при 
оправдана тем, что 
дифференцируема, а значит, непрерывна, поэтому бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
. Это и доказывает теорему.
Рассмотренные свойства дифференцируемых функций приблизили нас к возможности непосредственного вычисления производных.
Примеры решения задач из Кузнецова2 / kuznecov / Дифференцирование
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
§ 2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Понятие производной. Производная функции 
.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
Геометрический смысл дифференциала.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
Производная сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала.
Производная обратной функции.
Производные обратных тригонометрических функций.
Гиперболические функции, их производные.
Производные высших порядков. Формула Лейбница. 13) Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
$ 2.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Исходя из определения производной, доказать, что:
а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;
б) производной четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
Доказать, что если функция 
дифференцируема в точке х = 0 и 
, то
Доказать, что производная 
не существует, если
Доказать, что производная от функции
разрывна в точке х = 0.
5) Доказать приближенную формулу
6) Что можно сказать о дифференцируемости суммы 
в точке 
, если в этой точке:
а) функция 
дифференцируема, а функция 
недифференцируема;
б) обе функции 
и 
недифференцируемы.
Пусть функция 
дифференцируема в точке 
и 
, а функция 
недифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение 
является недифференцируемым в точке 
Что можно сказать о дифференцируемости произведения 
в предположениях задачи 6?
9) Найти 
, если 
10) Выразить дифференциал 
от сложной функции 
через производные от функции 
и дифференциалы от функции 
.
Пусть 
и 
дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить 
через 
и 
.
§ 2.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Исходя из определения производной, найти 
.
1. 
. 2. 
3.
. 4. 
5. 
6. 
7. 
8.
. 9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31.
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой 
.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
31. 
.
Задача 3. Найти дифференциал 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
1.
, 
2.
3.
4.
5.
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13.
14.
15.
16.
17.
18. 
19.
20.
21.
22.
23.
24. 
25.
26.
27.
28.
29.
30. 
31.
Задача 5. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 6. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 7. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 8. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 9. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 10. Найти производную.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Доказать что производная четной функции функция нечетная
Как было установлено, задачу разложения функции в ряд Фурье на произвольном сегменте можно свести к задаче разложения несколько видоизмененной функции на сегменте . Поэтому мы далее будем ограничиваться только этим свойством.
Итак, пусть функция задана на сегменте и удовлетворяет условиям Дирихле. Займемся исследованием двух частных случаев.
Напомним, что функция называется четной, если
во всей области ее задания; и нечетной, если
(также для всех тех для которых значение функции определено).
Как легко проверить, произведение четной функции на четную, равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и нечетной функции нечетно.
Очевидно, если функция нечетная, то
а если функция четная, то
Четность функций изменяется при их дифференцировании и интегрировании.
Теорема 1. Производная четной функции является нечетной функцией, а производная нечетной функции — четной.
Доказательство. Пусть функция — четная. Тогда при любых должно быть
откуда или, переходя к пределу,
Случай нечетной функции рассматривается аналогично.
Следствие. Вторая производная четной функции четна, а нечетной — нечетна.
Теорема 2. Если функция нечетна, то ее первообразная четна.
Если функция четна, а для ее первообразной имеет место то функция нечетна.