Что означает n факториал в квадрате

Двойной факториал

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

$n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_<i=1>^n i» width=»» height=»» />.</p> <p>По определению полагают 0! = 1 . Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.</p> <p>Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.</p> <h3>Содержание</h3> <h3>Свойства</h3> <h4>Комбинаторное определение</h4> <p>В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из <i>n</i> элементов. Например, элементы множества <<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>> можно линейно упорядочить 4!=24 способами:</p> <h4>Связь с гамма-функцией</h4> <p>Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:</p> <p><i>n</i>! = Γ(<i>n</i> + 1)</p> <p><img decoding=$

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

$n! = \sqrt<2\pi n>\left(\frac<n><e>\right)^n \left(1 + \frac<1> <12 n>+ \frac<1> <288 n^2>— \frac<139><51840 n^3>+O\left(n^<-4>\right)\right),» width=»» height=»» /></p> <p>см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).</p> <p>Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:</p> <p><img decoding=$

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

$\operatorname<sf>(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,» width=»» height=»» /></p> <p><img decoding=$ определяется как количество беспорядков порядка $\!n$ , то есть перестановок $\!n$ -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Двойной факториал» в других словарях:

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Двойной крестик — Одинарный и двойной крестики разными шрифтами Типографский крестик (†, в Юникоде U+2020, в dagger;), иногда его называют «кинжалом», «обелиском», «даггером», типографический знак. Двойной крестик (‡, в Юникоде U+2021, в Dagger;) вариант «кинжала… … Википедия

Праймориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Примориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Восклицательный знак — ! Именно так должен выглядеть этот символ Юникод U+00 … Википедия

Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для … Википедия

Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия

Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл это некоторая… … Википедия

Tcl — Запрос «TCL» перенаправляется сюда; о минидистрибутиве Linux см. Tiny Core Linux. Tcl Семантика: императивный … Википедия

TCL — Семантика: императивный, скриптовый Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1988 г. Автор(ы): Джон Остераут Последняя версия: 8.5.7 / 15 апреля 2009 … Википедия

Двойной факториал — Double factorial

Пятнадцать различных хордовых диаграмм по шести точкам или, что то же самое, пятнадцать различных точных соответствий по шести вершинам полный график. Они подсчитываются с помощью двойного факториала 15 = (6-1) .

В математике, двойной факториал или полуфакториал числа n, обозначаемый n . является произведением всех целых чисел от 1 до n, которые имеют такую же четность (нечетную или четную), что и n. То есть

n! ! Знак равно ∏ К знак равно 0 ⌈ N 2 ⌉ — 1 (N — 2 К) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯. <\ displaystyle n !! = \ prod _ ^ <\ left \ lceil <\ frac <2>> \ right \ rceil -1> (n-2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots.>

Для четного n двойной факториал равен

n! ! Знак равно ∏ К знак равно 1 N 2 (2 К) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯ 4 ⋅ 2, <\ Displaystyle п !! = \ prod _ ^ <\ frac <2>> (2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots 4 \ cdot 2 \,,>

, а для нечетного n это

n! ! Знак равно ∏ К знак равно 1 N + 1 2 (2 K — 1) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯ 3 ⋅ 1. <\ Displaystyle п !! = \ prod _ ^ <\ frac <2>> (2k-1) = n (n-2) (n-4) \ cdots 3 \ cdot 1 \,.>

Например, 9 !! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. Двойной нулевой факториал 0 !! = 1 как пустой продукт.

последовательность двойных факториалов для четных n = 0, 2, 4, 6, 8. начинается как

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120. (последовательность A000165 в OEIS )

Последовательность двойных факториалов для нечетных n = 1, 3, 5, 7, 9. начинается как

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135. (последовательность A001147 в OEIS )

Член нечетный Факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.

Содержание

1 История и использование
2 Отношение к факториалу
3 Приложения в перечислительной комбинаторике
4 Расширения
- 4.1 Отрицательные аргументы
- 4.2 Сложные аргументы
- 6.1 Определения
- 6.2 Альтернативное расширение многофакторного
- 6.3 Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции
- 6.4 Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций
История и использование

Meserve (1948) (возможно, самый ранний указание использовать двойную факториальную нотацию) утверждает, что двойной факториал был первоначально введен для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов, которые возникают при выводе произведения Уоллиса. Двойные факториалы также возникают при выражении объема гиперсферы, и они имеют множество приложений в перечислительной комбинаторике. Они встречаются в t-распределении Стьюдента (1908), хотя Госсет не использовал нотацию с двойным восклицательным знаком.

Связь с факториалом

Поскольку двойной факториал включает только половину множителей обычного факториала, его значение не существенно больше квадратного корня из факториала n !, и он намного меньше повторного факториала (n!) !.

Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:

, где знаменатель исключает нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется, когда n = 0.)

Для четного неотрицательного целого числа n = 2k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как

Для нечетных n = 2k — 1 с k ≥ 1 объединение двух приведенных выше дисплеев дает

Для нечетного положительного целого числа n = 2k — 1 с k ≥ 1 двойной факториал может быть выражен в терминах k-перестановок 2k as

Приложения в перечислительной комбинаторике

Пятнадцать различных корневых двоичных деревьев (с неупорядоченными дочерними элементами) на наборе из четырех помеченных листьев, иллюстрирующих 15 = ( 2 × 4 — 3) !! (см. текст статьи).

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других параметрах настройки. Например, n !! для нечетных значений n отсчетов
Callan (2009) и Dale Moon (1993) перечисляют несколько дополнительных объектов с той же последовательностью подсчета, включая » трапециевидные слова «(цифры в смешанной системе счисления с увеличивающейся нечетной системой счисления), с меткой высоты пути Дайка, упорядоченные деревья с меткой высоты,« выступающие дорожки », и определенные векторы, описывающие конечный потомок с наименьшим номером каждого узла в корневом двоичном дереве. Для биективных доказательств того, что некоторые из этих объектов равносильны, см. Rubey (2008) и Marsh Martin (2011).

Четные двойные факториалы дают количество элементов групп гипероктаэдров (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )

Расширения

Отрицательные аргументы

Обычный факториал при расширении до гамма-функция имеет полюс у каждого отрицательного целого числа, что предотвращает определение факториала для этих чисел. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его рекуррентное отношение

Используя это обратное повторение, ( −1) !! = 1, (−3) !! = −1 и (−5) !! = 1/3; отрицательные нечетные числа большей величины имеют дробные двойные факториалы. В частности, это дает, когда n — нечетное число,

Сложные аргументы

Не обращая внимания на приведенное выше определение n !! для четных значений n двойной факториал для нечетных целых чисел можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел z, отметив, что, когда z является положительным нечетным целым числом, тогда

z! ! = z (z — 2) ⋯ 3 ⋅ 1 = 2 z — 1 2 (z 2) (z — 2 2) ⋯ (3 2) = 2 z — 1 2 Γ (z 2 + 1) Γ (1 2 + 1) знак равно 2 z + 1 π Γ (z 2 + 1) = (z 2)! 2 z + 1 π. <\ displaystyle <\ begin z !! = z (z-2) \ cdots 3 \ cdot 1 \\ = 2 ^ <\ frac <2>> \ left ( <\ frac <2>> \ right) \ left ( <\ frac <2>> \ right) \ cdots \ left ( <\ frac <3><2>> \ right) \\ = 2 ^ <\ frac <2>> <\ frac <\ Gamma \ left (<\ frac <2>> + 1 \ right)> <\ Gamma \ left (<\ frac <1 ><2>> + 1 \ right)>> \\ = <\ sqrt <\ frac <2 ^ > <\ pi>>> \ Gamma \ left ( <\ frac <2 >> + 1 \ right) = \ left ( <\ frac <2>> \ right)! <\ Sqrt <\ frac <2 ^ > <\ pi>>> \,. \ end >>

Отсюда можно вывести альтернативное определение z !! для неотрицательных четных целых значений z:

(2 k)! ! Знак равно 2 π ∏ я знак равно 1 К (2 я) знак равно 2 К К! 2 π, <\ displaystyle (2k) !! = <\ sqrt <\ frac <2><\ pi>>> \ prod _ ^ (2i) = 2 ^ k! <\ sqrt <\ frac <2><\ pi>>> \,,>

со значением 0 !! в данном случае

0! ! = 2 π ≈ 0,797 884 5608…. <\ displaystyle 0 !! = <\ sqrt <\ frac <2><\ pi>>> \ приблизительно 0,797 \, 884 \, 5608 \ dots \,.>

Выражение, найденное для z !! определен для всех комплексных чисел, кроме отрицательных четных целых чисел. Используя его как определение, объем n- мерной гиперсферы радиуса R можно выразить как

Дополнительные тождества

Для целых значений n,

Использование вместо расширения двойной факториал нечетных чисел в комплексные числа, формула

Двойные факториалы также можно использовать для вычисления интегралов более сложных тригонометрических полиномов.

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:

(2 n — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 1 N — 1 (N K + 1) (2 K — 1)! ! (2 п — 2 к — 3)! !, (2 п — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 0 N (2 N — K — 1 K — 1) (2 K — 1) (2 N — K + 1) K + 1 (2 N — 2 K — 3)! !, (2 п — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 1 N (N — 1)! (к — 1)! к (2 к — 3)! !. <\ displaystyle <\ begin (2n-1) !! = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-1)! ! (2n-2k-3) !! \,, \\ (2n-1) !! = \ sum _ ^ <\ binom <2n-k-1>> <\ frac <(2k-1) (2n-k + 1)>> (2n-2k-3) !! \,, \\ (2n-1) !! = \ sum _ ^ <\ frac <(n-1)!><(k-1)!>> k (2k-3) !! \,. \ end >>

Приближенное отношение двойного факториала двух последовательных целых чисел равно

Это приближение становится более точным с увеличением n.

Обобщения

Определения

Так же, как двойной факториал обобщает понятие одиночного факториала, следующее определение целочисленного множественные факториальные функции (мультифакториалы ) или α-факториалы расширяют понятие двойной факториальной функции для α ∈ ℤ:

Альтернативное расширение многофакторного

В качестве альтернативы, многофакторное n! (α) можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел n, отметив, что когда n на единицу больше, чем положительное кратное α тогда

п! (α) = n (n — α) ⋯ (α + 1) = α n — 1 α (n α) (n — α α) ⋯ (α + 1 α) = α n — 1 α Γ (n α + 1) Γ (1 α + 1). <\ Displaystyle <\ begin n! _ <(\ alpha)>= n (n- \ alpha) \ cdots (\ alpha +1) \\ = \ alpha ^ <\ frac <\ alpha>> \ left ( <\ frac <\ alpha>> \ right) \ left ( <\ frac <\ alpha>> \ right) \ cdots \ left ( <\ frac <\ alpha +1><\ alpha>> \ right) \\ = \ alpha ^ <\ frac <\ alpha>> <\ frac <\ Gamma \ left (<\ frac < \ alpha>> + 1 \ right)> <\ Gamma \ left (<\ frac <1><\ alpha>> + 1 \ right)>> \,. \ end >>

Это последнее выражение определяется гораздо шире, чем оригинал. Точно так же, как n! не определено для отрицательных целых чисел, и n !! не определено для отрицательных четных целых чисел, n! (α) не определено для отрицательных кратных α. Однако он определен для всех других комплексных чисел. Это определение согласуется с предыдущим определением только для тех целых чисел n, для которых n ≡ 1 mod α.

В дополнение к расширению n! (α) на большинство комплексных чисел n, это определение имеет особенность работы для всех положительных действительных значений α. Кроме того, когда α = 1, это определение математически эквивалентно функции Π (n), описанной выше. Кроме того, когда α = 2, это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала.

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющим многофакторные функции

Класс обобщенных чисел Стирлинга первый вид определяется при α>0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

[nk] α = (α n + 1 — 2 α) [n — 1 k] α + [n — 1 k — 1 ] α + δ n, 0 δ k, 0. <\ displaystyle \ left [<\ begin n \\ k \ end > \ right] _ <\ alpha>= (\ alpha n + 1-2 \ alpha) \ left [ <\ begin > n-1 \\ k \ end > \ right] _ <\ alpha>+ \ left [ <\ begin n-1 \\ k-1 \ end > \ right] _ < \ alpha>+ \ delta _ \ delta _ \,.>

Эти обобщенные α-факториальные коэффициенты затем генерируют различные символические полиномиальные произведения, определяющие множественные факториальные или α-факториальные функции, (x — 1)! (α), поскольку

(x — 1 | α) n _: = ∏ i = 0 n — 1 (x — 1 — i α) = (x — 1) (x — 1 — α) ⋯ (x — 1 — (n — 1) α) = ∑ k = 0 n [nk] (- α) n — k (x — 1) k = ∑ k = 1 п [nk] α (- 1) n — kxk — 1. <\ displaystyle <\ begin (x-1 | \ alpha) ^ <\ underline > : = \ prod _ ^ \ left (x-1-i \ alpha \ right) = (x-1) (x-1- \ alpha) \ cdots <\ bigl (>x-1- (n-1) \ alpha <\ bigr)>\\ = \ sum _ < k = 0>^ \ left [ <\ begin n \\ k \ end > \ right] (- \ alpha) ^ (x-1) ^ \\ = \ sum _ ^ \ left [ <\ begin n \\ k \ end > \ right] _ <\ alpha>(- 1) ^ x ^ \,. \ end >>

Различные полиномиальные разложения в предыдущих уравнениях фактически определяют α-факториальные произведения для нескольких различных случаев наименьших вычетов x ≡ n 0 mod α для n 0 ∈ <0, 1, 2. α - 1>.

Обобщенные α-факториальные полиномы, σ. n(x), где σ. n(x) ≡ σ n (x), которые обобщают полиномы свертки Стирлинга от однофакториального случая к многофакторному, определяются как

для 0 ≤ n ≤ x. Эти многочлены имеют особенно красивую замкнутую обычную производящую функцию, заданную как

Другие комбинаторные свойства и расширения этих обобщенных α -факториальные треугольники и полиномиальные последовательности рассматриваются в Schmidt (2010).

Точные конечные суммы, включающие несколько факториальных функций

Предположим, что n ≥ 1 и α ≥ 2 являются целочисленными. Затем мы можем разложить следующие отдельные конечные суммы, включающие многофакторные или α-факториальные функции, (αn — 1)! (α), с помощью символа Поххаммера и обобщенного, рациональнозначные биномиальные коэффициенты как

(α n — 1)! (α) = ∑ k = 0 n — 1 (n — 1 k + 1) (- 1) k × (1 α) — (k + 1) (1 α — n) k + 1 × (α (k + 1) — 1)! (α) (α (п — к — 1) — 1)! (α) = ∑ k = 0 n — 1 (n — 1 k + 1) (- 1) k × (1 α + k — nk + 1) (1 α — 1 k + 1) × (α (k + 1) — 1)! (α) (α (п — к — 1) — 1)! (α), <\ Displaystyle <\ begin <выровнено>(\ альфа п-1)! _ <(\ альфа)>= \ сумма _ <к = 0>^ <п-1> <\ binom <п- 1>> (- 1) ^ \ times \ left ( <\ frac <1><\ alpha>> \ right) _ <- (k + 1)>\ left ( <\ frac <1><\ alpha>> — n \ right) _ \ times <\ bigl (>\ alpha (k + 1) -1 <\ bigr)>! _ <(\ Alpha)> <\ bigl (>\ alpha (nk-1) -1 <\ bigr)>! _ <(\ alpha)>\\ = \ sum _ ^ <\ binom > (- 1) ^ \ times <\ binom <<\ frac <1><\ alpha>> + kn> > <\ binom <<\ frac <1) ><\ alpha>> — 1> > \ times <\ bigl (>\ alpha (k + 1) -1 <\ bigr)>! _ <(\ alpha)> <\ bigl (>\ alpha (nk-1) -1 <\ bigr)>! _ <(\ alpha)>\,, \ end >>

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций на двойную сумму, заданные как

(α n — 1)! (α) знак равно ∑ К знак равно 0 N — 1 ∑ я знак равно 0 К + 1 (N — 1 К + 1) (К + 1 я) (- 1) К α К + 1 — я (α я — 1)! (α) (α (n — 1 — k) — 1)! (α) × (n — 1 — k) k + 1 — i = ∑ k = 0 n — 1 ∑ i = 0 k + 1 (n — 1 k + 1) (k + 1 i) (n — 1 — ik + 1 — я) (- 1) к α к + 1 — я (α я — 1)! (α) (α (n — 1 — k) — 1)! (α) × (к + 1 — я)!. <\ displaystyle <\ begin (\ alpha n-1)! _ <(\ alpha)>= \ sum _ ^ \ sum _ ^ < k + 1> <\ binom > <\ binom > (- 1) ^ \ alpha ^ (\ альфа i-1)! _ <(\ alpha)> <\ bigl (>\ alpha (n-1-k) -1 <\ bigr)>! _ <(\ alpha)>\ times (n-1-k) _ \\ = \ sum _ ^ \ sum _ ^ <\ binom < к + 1>> <\ binom > <\ binom > (- 1) ^ \ alpha ^ (\ alpha i-1)! _ <(\ alpha)> <\ bigl (>\ alpha (n-1-k) -1 <\ bigr)>! _ <(\ alpha)>\ times ( k + 1-i)!. \ end >>

Первые две суммы выше аналогичны по форме известному некруглому комбинаторному тождеству для двойной факториальной функции, когда α: = 2 задано как Каллан (2009).

(2 n — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 0 N — 1 (N K + 1) (2 K — 1)! ! (2 п — 2 к — 3)! !. <\ displaystyle (2n-1) !! = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-1) !! (2n-2k-3) . >

Дополнительные разложения по конечной сумме сравнений для α-факториальных функций, (αn — d)! (α), по модулю любого заданного целого числа h ≥ 2 для любого 0 ≤ d Последняя правка сделана 2021-05-13 12:05:08

Двойной факториал — Double factorial

В математике , то двойной факториал или semifactorial из числа п , обозначаемой п ! , Является произведением всех целых чисел от 1 до п , которые имеют ту же четность (нечетное или даже) в качестве п . То есть,

Для четного n двойной факториал равен

п ! ! знак равно ∏ k знак равно 1 п 2 ( 2 k ) знак равно п ( п — 2 ) ( п — 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 , <\ Displaystyle п !! = \ prod _ ^ <\ frac <2>> (2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots 4 \ cdot 2 \ ,, >

а для нечетных n это

п ! ! знак равно ∏ k знак равно 1 п + 1 2 ( 2 k — 1 ) знак равно п ( п — 2 ) ( п — 4 ) ⋯ 3 ⋅ 1 . <\ Displaystyle п !! = \ prod _ ^ <\ frac <2>> (2k-1) = n (n-2) (n-4) \ cdots 3 \ cdot 1 \ ,.>

Например, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 . Нулевой двойной факториал 0‼ = 1 как пустой продукт .

Последовательность двойных факториалов для четных п = 0, 2, 4, 6, 8, . начинается

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, . (последовательность A000165 в OEIS )

Последовательность двойных факториалов для нечетных n = 1, 3, 5, 7, 9, . начинается как

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, . (последовательность A001147 в OEIS )

Термин нечетный факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.

СОДЕРЖАНИЕ

История и использование

В статье 1902 года физик Артур Шустер писал:

Символическое представление результатов этой статьи значительно упрощается введением отдельного символа для произведения альтернативных множителей , если они нечетные, или если они нечетные [sic]. Я предлагаю писать для таких продуктов, и если для продукта требуется имя, называть его «альтернативный факториал» или «двойной факториал». п ⋅ п — 2 ⋅ п — 4 ⋯ 1 <\ Displaystyle п \ CDOT N-2 \ CDOT N-4 \ CDOTS 1>п <\ displaystyle n>п ⋅ п — 2 ⋯ 2 <\ Displaystyle п \ CDOT N-2 \ CDOTS 2>п <\ displaystyle n>п ! !

Мезерв (1948) утверждает, что двойной факториал был первоначально введен для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов , возникающих при выводе произведения Уоллиса . Двойные факториалы также возникают при выражении объема гиперсферы и имеют множество приложений в перечислительной комбинаторике . Они встречаются в Стьюденте т -распределении (1908), хотя Gosset не использовал двойное обозначение восклицательного знака.

Отношение к факториалу

Поскольку двойной факториал включает только половину множителей обычного факториала , его значение не намного больше квадратного корня из факториала n ! , и он намного меньше повторного факториала ( n !)! .

Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:

п ! знак равно п ! ! ⋅ ( п — 1 ) ! ! ,

где знаменатель отменяет нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется при n = 0. )

Для четного неотрицательного целого числа n = 2 k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как

Для нечетных n = 2 k — 1 с k ≥ 1 объединение двух приведенных выше дисплеев дает

Для нечетного положительного целого числа n = 2 k — 1 с k ≥ 1 двойной факториал может быть выражен через k -перестановки 2 k как

Приложения в перечислительной комбинаторике

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других условиях. Например, n ‼ для нечетных значений n отсчетов

Совершенные паросочетания этого полного графаK_{п + 1} при нечетном п . В таком графе любая единственная вершина v имеет n возможных вариантов вершины, с которой она может быть сопоставлена, и после того, как этот выбор сделан, остается проблема выбора идеального сопоставления в полном графе с двумя меньшими вершинами. Например, полный граф с четырьмя вершинами a , b , c и d имеет три идеальных соответствия: ab и cd , ac и bd , а также ad и bc . Идеальные соответствия могут быть описаны несколькими другими эквивалентными способами, включая инволюции без фиксированных точек на наборе из n + 1 элементов ( перестановки, в которых каждый цикл является парой) или хордовые диаграммы (наборы хорд набора из n + 1 точек равномерно расположены на окружности таким образом, что каждая точка является концом ровно одной хорды, также называемой диаграммой Брауэра ). Количество совпадений в полных графах, без ограничения совпадений на идеальное, вместо этого дается телефонными номерами , которые могут быть выражены как суммирование с использованием двойных факториалов.

Перестановки Стирлинга , перестановки мультимножества чисел 1, 1, 2, 2, . k , k, в которых каждая пара равных чисел разделена только большими числами, где k = п + 1 / 2 . Две копии k должны быть смежными; удаление их из перестановки оставляет перестановку, в которой максимальный элемент равен k — 1 , с n позициями, в которые может быть помещена смежная пара k значений. Из этой рекурсивной конструкции по индукции следует доказательство того, что перестановки Стирлинга подсчитываются двойными перестановками. В качестве альтернативы, вместо ограничения, что значения между парой могут быть больше, чем она, можно также рассмотреть перестановки этого мультимножества, в которых первые копии каждой пары появляются в отсортированном порядке; такая перестановка определяет соответствие на 2 k позициях перестановки, поэтому снова количество перестановок может быть подсчитано с помощью двойных перестановок.

Упорядоченные в куче деревья , деревья с k + 1 узлами, помеченными 0, 1, 2, . k , такие, что корень дерева имеет метку 0, каждый другой узел имеет более крупную метку, чем его родитель, и такие, что дочерние элементы каждого узла имеют фиксированный порядок. Эйлера тур дерева (с удвоенными краями) дает перестановку Стирлинга, и каждый Stirling перестановка представляет собой дерево таким образом.

Некорневые бинарные деревья с п + 5 / 2 маркированные листья. Каждое такое дерево может быть сформировано из дерева с одним меньшим количеством листьев, разделив одно из n ребер дерева и сделав новую вершину родительской для нового листа.

Бинарные деревья с корневымип + 3 / 2 маркированные листья. Этот случай аналогичен случаю без корней, но количество ребер, которые могут быть подразделены, является четным, и в дополнение к подразделению ребра можно добавить узел к дереву с одним меньшим листом, добавив новый корень, у которого два дочерних элемента меньшее дерево и новый лист.

Callan (2009) и Dale & Moon (1993) список несколько дополнительных объектов с одной и той же последовательности подсчета , в том числе «трапециевидных слова» ( цифры в смешанной поразрядной системы с увеличением нечетные radixes), высота меченных путей Дейка , высота меченных упорядоченных деревьев , «нависающие пути» и определенные векторы, описывающие конечный потомок с наименьшим номером каждого узла в корневом двоичном дереве. Для биективных доказательств , что некоторые из этих объектов являются equinumerous см Rubey (2008) и Marsh & Martin (2011) .

Четные двойные факториалы дают номера элементов гипероктаэдрических групп (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )

Расширения

Отрицательные аргументы

Обычный факториал, расширенный до гамма-функции , имеет полюс у каждого отрицательного целого числа, что предотвращает определение факториала в этих числах. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его рекуррентное соотношение

п ! ! знак равно п × ( п — 2 ) ! !

Используя эту обратную рекуррентность, (−1)‼ = 1, (−3)‼ = −1 и (−5)‼ = 1 / 3 ; отрицательные нечетные числа с большей величиной имеют дробные двойные факториалы. В частности, это дает, когда n — нечетное число,

Сложные аргументы

Игнорируя приведенное выше определение n ‼ для четных значений n , двойной факториал для нечетных целых чисел может быть расширен до большинства действительных и комплексных чисел z , отметив, что когда z является положительным нечетным целым числом, тогда

Отсюда можно вывести альтернативное определение z ‼ для неотрицательных четных целых значений z :

со значением 0‼ в этом случае

Выражение, найденное для z ‼, определено для всех комплексных чисел, кроме отрицательных четных целых чисел. Использование его в качестве определения, то объем из п — мерная гиперсферы радиуса R может быть выражен как

Дополнительные удостоверения

Для целых значений n ,

Используя вместо этого расширение двойного факториала нечетных чисел до комплексных чисел, формула

Двойные факториалы также могут использоваться для вычисления интегралов от более сложных тригонометрических полиномов.

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:

( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п — 1 ( п k + 1 ) ( 2 k — 1 ) ! ! ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 1 п ( п k ) ( 2 k — 3 ) ! ! ( 2 ( п — k ) — 1 ) ! ! , ( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п ( 2 п — k — 1 k — 1 ) ( 2 k — 1 ) ( 2 п — k + 1 ) k + 1 ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! , ( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 1 п ( п — 1 ) ! ( k — 1 ) ! k ( 2 k — 3 ) ! ! . <\ displaystyle <\ begin (2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-1)! ! (2n-2k-3) !! = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-3) !! (2 (nk) -1) !! \ ,, \\ (2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ binom <2n-k-1>> <\ frac <(2k-1 ) (2n-k + 1)>> (2n-2k-3) !! \ ,, \\ (2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ frac <(n-1)!><(k-1)!>> k (2k-3) !! \,. \ end <выровнено>>>

Приближение для отношения двойного факториала двух последовательных целых чисел:

Это приближение становится более точным с увеличением n .

Обобщения

Определения

Точно так же, как двойной факториал обобщает понятие единственного факториала , следующее определение целочисленных множественных факториальных функций ( мультифакториалов ) или α -факториальных функций расширяет понятие двойной факториальной функции для α ∈ ℤ + :

Альтернативное расширение многофакторной

В качестве альтернативы многофакторный n ! _{( α )} можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел n , отметив, что когда n на единицу больше, чем положительное кратное α, то

Это последнее выражение имеет гораздо более широкое определение, чем исходное. Точно так же, как n ! не определено для отрицательных целых чисел, и n ‼ не определено для отрицательных четных целых чисел, n ! _{( α )} не определено для отрицательных кратных α . Однако он определен для всех других комплексных чисел. Это определение согласуется с предыдущим определением только для тех целых чисел n, для которых n ≡ 1 mod α .

В дополнение к расширению n ! _{( α )} для большинства комплексных чисел n , это определение работает для всех положительных действительных значений α . Кроме того, когда α = 1 , это определение математически эквивалентно функции Π ( n ) , описанной выше. Кроме того, когда α = 2 , это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала .

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции

Класс обобщенных чисел Стирлинга первого рода определяется при α > 0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

Эти обобщенные α -факториальные коэффициенты затем генерируют различные символические полиномиальные произведения, определяющие множественные факториалы, или α -факториальные функции, ( x — 1)! _{( α )} , так как

Различные полиномиальные разложения в предыдущих уравнениях фактически определяют α -факториальные произведения для нескольких различных случаев наименьших вычетов x ≡ n ₀ mod α для n ₀ ∈ <0, 1, 2, . α — 1> .

Обобщенные α -факториальные многочлены, σ ( α )
_п ( x ) где σ (1)
_п ( x ) ≡ σ _n ( x ) , которые обобщают полиномы свертки Стирлинга от однофакториального случая до многофакторного случая, определяются как

для 0 ≤ n ≤ x . Эти многочлены имеют особенно красивую обычную производящую функцию в замкнутой форме, заданную формулой

Другие комбинаторные свойства и расширения этих обобщенных α -факториальных треугольников и полиномиальных последовательностей рассматриваются в Schmidt (2010) .

Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций

Предположим, что n ≥ 1 и α ≥ 2 целочисленные. Затем мы можем разложить следующие отдельные конечные суммы, включающие многофакторные или α -факториальные функции, ( αn — 1)! _{( α )} в терминах символа Похгаммера и обобщенных рациональнозначных биномиальных коэффициентов как

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций в двойную сумму, заданные формулой

Первые две суммы выше аналогичны по форме известному некруглому комбинаторному тождеству для двойной факториальной функции при α : = 2, данному Калланом (2009) .

( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п — 1 ( п k + 1 ) ( 2 k — 1 ) ! ! ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! . <\ displaystyle (2n-1) !! = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-1) !! (2n-2k-3 ) . >

Дополнительные разложения по конечной сумме сравнений для α -факториальных функций, ( αn — d )! _{( α )} по модулю любого заданного целого числа h ≥ 2 для любого 0 ≤ d < α даны Шмидтом (2018) .

04. Факториал и двойной факториал

Определение. Факториалом натурального числа называется произведение натуральных чисел от 1 до .

Факториал числа />обозначается />! и читается «эн факториал».

Например, , .

При записи математических утверждений принято допущение, что .

Определение. Двойным факториалом натурального числа />называется произведение числа />и всех меньших натуральных чисел той же чётности.

Двойной факториал числа />обозначается />!! и читается «эн два факториал».

Например, , .

;

.

Задачи и упражнения.

4.1. Вычислите:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4.2. Упростите:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4.3. Решите уравнение

.

Похожие публикации:

Болят глаза от монитора что делать

Как восстановить фон в фотошопе

Как изменить значок папки в mac os

Как удалить др веб