Как найти количество максимумов дифракционной решетки

§ 31. Дифракция света Основные формулы

,

где а —расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света;b —расстояние диафрагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины;k —номер зоны Фре­неля; λ —длина волны;

для плоской волны

.

• Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов интенсивности света

,k=1,2,3,…,

где а —ширина щели; φ— угол дифракции;k —номер минимума;

λ —длина волны.

Условие максимумов интенсивности света

, k=l, 2, 3,…,

где φ’ — приближенное значение угла дифракции.

• Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие главных максимумов интенсивности

d sinφ=±kλ, k=0,1,2,3,…,

где d— период (постоянная) решетки;k —номер главного макси­мума; φ —угол между нормалью к поверхности решетки и нап­равлением дифрагированных волн.

• Разрешающая сила дифракционной решетки

,

где Δλ— наименьшая разность длин волн двух соседних спектраль­ных линий (λ и λ+Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;N —число штрихов решетки;k —порядковый номер дифракцион­ного максимума.

• Угловая дисперсия дифракционной решетки

,

линейная дисперсия дифракционной решетки

.

Для малых углов дифракции

,

где f— главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экра­не дифрагирующие волны.

• Разрешающая сила объектива телескопа

,

где β — наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек в фокальной плос­кости объектива могут быть видны раздельно; D —диаметр объек­тива; λ —длина волны.

• формула Вульфа — Брэгга

2d sin =kλ,

где d —расстояние между атомными плоскостями кристалла;— угол скольжения (угол между направлением пучка параллель­ных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), опре­деляющий направление, в котором имеет место зеркальное отраже­ние лучей (дифракционный максимум).

Примеры решения задач

Пример 1.На диафрагму с круглым отверстием радиусомr=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояниеb_maxот центра от­верстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пят­но.

Решение.Расстояние, при котором будет видно темное пят­но, определяется числом зон Фре­неля, укладывающихся в отвер­стии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины бу­дет темное пятно.

Число зон Френеля, помещаю­щихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения Oна экране до края отверстия на 2(λ/2)больше, чем расстояниеb_max.

По теореме Пифагора получим

.

Учтя, что λ<<b_mахи что членом, содержащим λ 2 , можно пренеб­речь, последнее равенство перепишем в виде

r 2 =2λb_max. откудаb_max=r 2 /(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем

Пример 2.На щель ширинойа=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширинуlцентрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, нахо­дящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от лин­зы на расстоянииL=lм.

Решение. Центральный максимум интенсивности света за­нимает область между ближайшими от него справа и слева миниму­мами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 31.2).

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

a sin φ=±kλ, (1)

где k —порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим не­посредственно по чертежу: l=2Ltgφ. Заметив, что при малых уг­лахtgφsinφ, перепишем эту формулу в виде

Выразим sinφ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

Произведя вычисления по фор­муле (3), получим l=1,2 см.

Пример 3.На дифракционную решетку нормально к ее поверх­ности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки лин­за проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы наL=lм. Расстоя­ниеlмежду двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постояннуюdдифракционной решетки; 2) числоnштрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φ_mахотклонения лучей, соот­ветствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение 1. Постоянная dдифракционной решетки, длина волныλи угол φ отклоне­ния лучей, соответствую­щийk-му дифракционному максимуму, связаны соот­ношением

dsin φ=kλ, (1)

где k— порядок спектра, или в случае монохрома­тического света порядок максимума.

В данном случае k=1, sinφ=tgφ (ввиду того, чтоl/2<<L),tgφ=(l/2)L(следует из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид

,

откуда постоянная решетки

d=2Lλ/l.

Подставляя данные, получим

2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы

После подстановки числовых значений получим n=2,02-10 3 см -1 .

3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракцион­ной решеткой, вычислим сначала максимальное значение k_maxисходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.

Из формулы (1) запишем

. (2)

Подставляя сюда значения величин, получим

Число kобязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значенииsinφ должен быть больше единицы, что невозможно. Следователь­но,k_mах=9.

Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному k_mах,т. е. всего 2k_mах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число мак­симумов

Подставляя значение k_mахнайдем

4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выра­зим из соотношения (2) синус этого угла:

Подставив сюда значения величин λ, d,k_mахи произведя вычис­ления, получим

Зоны Френеля

31.1.Зная формулу радиусаk—й.зоны Френеля для сферической волны (ρ_k=), вывести соответствующую формулу для плоской волны.

31.2.Вычислить радиус ρ₅пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянииb=1 м от фронта волны.

31.3.Радиус ρ₄четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиусρ₆шестой зоны Френеля.

31.4.На диафрагму с круглым отверстием диаметромd=4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ=0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянииb=1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифрак­ционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?

31.5.Плоская световая волна (λ=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметромd=lсм. На каком рас­стоянииbот отверстия должна находиться точка наблюдения, что­бы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля?

31.6.Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстоянияхb_i,от его центра, наблю­даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функцииb=f(r, λ, п),гдеr— радиус отверстия; λ — длина волны;п —чис­ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в кото­рых наблюдаются минимумы интенсивности.

31.7.Плоская световая волна (λ=0,7 мкм) падает нор­мально на диафрагму с круг­лым отверстием радиусомr=1,4 мм. Определить рас­стоянияb₁,b₂,b₃от диафраг­мы до трех наиболее удален­ных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсив­ности.

31.8.Точечный источникSсвета (λ=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусомr=1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а=1 м). Определить расстояниеbот экра­на до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точкиР три зоны Френеля.

31.9.Как изменится интенсивность в точкеР(см. задачу 31.8), если убрать диафрагму?

Дифракция света

В рамках геометрической оптики, распространение луча в оптически однородной среде — прямолинейное, однако в природе существует ряд явлений, где можно наблюдать отклонение от этого условия.

Дифракция – явление огибания световыми волнами встреченных препятствий. В школьной физике изучаются две дифракционные системы (системы, при прохождении луча в которых наблюдается дифракция):

• дифракция на щели (прямоугольном отверстии)
• дифракция на решётке (набор равноотстоящих друг от друга щелей)

Дифракция на щели — дифракция на прямоугольном отверстии (рис. 1).

Рис. 1. Дифракция на щели

Пусть дана плоскость со щелью, шириной , на которую под прямым углом падает пучок света А. Большинство света проходит на экран, однако часть лучей дифрагирует на краях щели (т.е. отклоняется от своего первоначального направления). Далее эти лучи интерферируют друг с другом с образованием дифракционной картины на экране (чередование ярких и тёмных областей). Рассмотрение законов интерференции достаточно сложно, поэтому ограничимся основными выводами.

Полученная дифракционная картина на экране состоит из чередующихся областей с дифракционными максимумами (максимально светлыми областями) и дифракционными минимумами (максимально тёмными областями). Эта картина симметрична относительно центрального светового пучка. Положение максимумов и минимумов описывается углом относительно вертикали, под которым они видны, и зависит от размера щели и длины волны падающего излучения. Положение этих областей можно найти используя ряд соотношений:

• для дифракционных максимумов

• где
  • — ширина щели,
  • — угол между вертикалью и направлением на максимум,
  • — порядок максимума (счётчик),
  • — длина волны света.

  Нулевым максимумом дифракции называется центральная точка на экране под щелью (рис. 1).

  • для дифракционных минимумов
  • где
    • — ширина щели,
    • — угол между вертикалью и направлением на минимум,
    • — порядок минимума (счётчик),
    • — длина волны света.

    Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (1) или (2).

    Дифракция на дифракционной решётке.

    Дифракционной решёткой называется система, состоящая из чередующихся щелей, равноотстоящих друг от друга (рис. 2).

    

    Рис. 2. Дифракционная решётка (лучи)

    Так же, как и для щели, на экране после дифракционной решётки будет наблюдаться дифракционная картина: чередование светлых и тёмных областей. Вся картина есть результат интерференции световых лучей друг с другом, однако на картину от одной щели будет воздействовать лучи от других щелей. Тогда дифракционная картина должна зависеть от количества щелей, их размеров и близкорасположенности.

    Введём новое понятие — постоянная дифракционной решётки:

    • где
      • — постоянная дифракционной решётки,
      • — расстояние между щелями,
      • — ширина щели.

      Тогда положения максимумов и минимумов дифракции:

      • для главных дифракционных максимумов (рис. 3)
      • где
        • — постоянная дифракционной решётки,
        • — угол между вертикалью и направлением на максимум.
        • — порядок максимума (счётчик),

        

        Рис. 3. Дифракционная решётка (максимумы)

        • для дифракционных минимумов
        • где
          • — ширина щели,
          • — угол между вертикалью и направлением на минимум,
          • — порядок минимума (счётчик),
          • — длина волны света.

          Отдельным вопросом задач на дифракцию является вопрос о наибольшем количестве максимумов, которые можно наблюдать в текущей системе. Наибольший угол, под которым можно наблюдать максимум — , тогда, исходя из (4):

          Главное помнить, что число максимумов — число, т.е. от полученного ответа необходимо брать только целую часть.

          Вывод: по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (4) или (5).

          Общий вывод: задачи на дифракцию должны содержать в себе словосочетания, связанные с «дифракцией». Далее разбираемся с объектом: щель или дифракционная решётка и используем соответствующие соотношения для минимума или максимума.

          Сколько максимумов можно будет увидеть на экране, если на дифракционную решетку

          Сколько максимумов можно будет увидеть на экране, если на дифракционную решетку с постоянной 4,5 мкм падает нормально пучок света с длиной волны 0,5 мкм?

          Задача №10.7.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

          Решение задачи:

          Количество дифракционных максимумов можно определить по формуле:

          Формула очевидна, поскольку всегда имеется центральный максимум \(k=0\) и некоторое количество максимумов, симметричных относительно центрального.

          Запишем формулу дифракционной решетки:

          В этой формуле \(d\) – период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) – угол дифракции, \(k\) – порядок максимума, \(\lambda\) – длина волны, падающей нормально на решетку.

          Для нахождения максимального порядка дифракционного спектра необходимо воспользоваться следующими соображениями. Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому нужно определить порядок дифракционного максимума для \(\varphi=90^\circ\), то есть \(\sin \varphi = 1\). Для нахождения наибольшего порядка дифракционного спектра, нужно взять целую часть полученного числа. Ни в коем случае не округляйте в большую сторону! В таком случае при подстановке вашего наибольшего порядка в формулу дифракции Вы будете получать синус больше 1, чего быть не должно!

          Итак, если \(\sin \varphi = 1\), то:

          Подставим численные данные задачи в эту формулу:

          Число, итак, получилось целым, поэтому \(k_<\max>=9\).

          В итоге искомое число дифракционных максимумов \(n\) равно:

          \[n = 2 \cdot 9 + 1 = 19\]

          Ответ: 19.

          Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

          Задачи на дифракцию света с решением

          

          В сегодняшней статье традиционно разбираем решение задач по физике. Тема: дифракция света.

          Подпишитесь на наш телеграм, чтобы регулярно получать интересные новости. А если хотите поучаствовать в акции или оформить заказ со скидкой, обязательно загляните на наш второй канал для клиентов.

          Дифракция: решение задач

          Глупо начинать решать задачи на дифракцию, не зная, что это такое. Поэтому, сначала почитайте теорию, а уже потом приступайте к практике. Рекомендуем держать под рукой полезные формулы и руководствоваться универсальной памяткой по решению физических задач.

          Кстати, дифракцию многие путают с дисперсией. Чтобы такого не случилось с вами, читайте отдельный материал в нашем блоге.

          Задача на дифракцию №1

          Условие

          Найти расстояние между кристаллографическими плоскостями кристалла, дифракционный максимум первого порядка от которых в рентгеновских лучах с длиной волны λ = 1,5 нм наблюдается под углом 30°.

          Решение

          Дифракция в кристалле описывается формулой Брэгга-Вульфа:

          Отсюда находим искомое расстояние:

          d = 1 , 5 · 10 — 9 2 sin 30 = 1 , 5 · 10 — 9 м

          Ответ: 1.5 нм.

          Задача на дифракцию №2

          Условие

          На узкую щель шириной a = 2 · 10 — 4 c м падает по нормали плоская монохроматическая волна ( λ = 0 , 66 м к м ). Определите ширину центрального дифракционного максимума на экране, если расстояние от щели до экрана равно L = 1 м .

          Решение

          Ширина центрального максимума равна расстоянию между минимумами первого порядка. Эти минимумы наблюдаются под углами, которые находятся из соотношения:

          

          Расстояние между минимумами равно (для малых углов):

          l = 2 L t g φ ≈ 2 L sin φ

          l = 2 · 0 , 66 · 10 — 6 2 · 10 — 6 = 0 , 66 м

          Ответ: 0.66 м.

          Задача на дифракцию №3

          Условие

          На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Чему должна быть равна постоянная дифракционной решетки, чтобы в направлении φ = 41 ° совпадали максимумы двух линий: λ1 = 6563 А ̇ и λ2 = 4102 А ̇?

          Решение

          Направление главных максимумов дифракционной решётки:

          c sin φ = m λ , ( m = 1 , 2 , 3 . . . )

          Запишем это условие для заданных длин волн и приравняем правые части:

          c sin φ = m 1 λ 1 c sin φ = m 2 λ 2 m 1 λ 1 = m 2 λ 2 ⇒ m 2 = m 1 λ 1 λ 2 = m 1 6563 4102 = 1 , 6 m 1

          Так как m1 и m2 целые числа, то последнее равенство справедливо при m1=5 и m2=8. Подставив m1=5 в самую первую формулу, получим:

          с sin φ = 5 λ 1 c = 5 λ 1 sin φ

          c = 5 · 6563 sin 41 ° = 50018 A ≈ 500 н м

          Ответ: c=500 нм

          Задача на дифракцию №4

          Условие

          На экран с отверстием диаметром 2 мм падает нормально плоская волна (0,5·10-6 м). Определить, на каком расстоянии от центра отверстия находится самый дальний дифракционный минимум.

          Решение

          Самый дальний минимум будет наблюдаться, когда будет открыто две зоны Френеля: k=2

          Для параллельного пучка света имеем:

          Так как r k = d 2 , то:

          d 2 4 = k b λ b = d 2 4 k λ

          b = 2 · 10 — 3 2 4 · 2 · 5 · 10 — 7 = 1 м

          Ответ: b=1 м.

          Задача на дифракцию №5

          Условие

          На дифракционную решётку падает нормально свет с длиной волны 590 нм. Найти угол, под которым наблюдается максимум 6-го порядка. Период решётки 37мкм. Ответ получить в градусах.

          Решение

          Направление на главный максимум m-го порядка определяется выражением:

          φ = a r c sin m λ d

          Здесь m – порядок дифракции, λ – длина волны света, d – период решетки.

          φ = a r c sin 6 · 590 · 10 — 9 37 · 10 — 6 = 5 , 49 °

          Ответ: φ = 5 , 49 °

          Нужно больше задач? Не проблема! Вот вам задачи на интерференцию света с решениями.

          Вопросы на тему «Дифракция света»

          Вопрос 1. Что такое дифракция?

          Ответ. Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле – любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д.

          Вопрос 2. Приведите пример проявления дифракции из жизни.

          Ответ. Звук за углом дома хорошо слышен, это потому что звуковая волна огибает дом. Это ни что иное, как проявление дифракции.

          Вопрос 3. Какие есть типы дифракции?

          Ответ. В зависимости от дифракционной картины различают дифракцию Фраунгофера и дифракцию Френеля.

          • тип дифракции, при котором дифракционная картина образуется параллельными пучками, называется дифракцией Фраунгофера. Параллельные лучи проявятся, если экран и источник находятся в бесконечности. Практически применяются две линзы: в фокусе одной – источник света, а в фокусе другой – экран.
          • Если преграда, на которой происходит дифракция, находится вблизи от экрана или от источника света, на котором проистекает наблюдение, то фронт дифрагированных или падающих волн имеет криволинейную поверхность (в частности, сферическую). Этот случай называется дифракцией Френеля.

          Вопрос 4. Что такое дифракционная решетка?

          Ответ. Дифракционная решётка представляет собой оптический прибор, действие которого основано на применении явления дифракции света. Это совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (выступов, щелей), нанесённых на некоторую поверхность.

          При падении на решетку плоской монохроматической волны в фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина. Она является результатом двух процессов: дифракции света от каждой щели и интерференции пучков света, дифрагированных от всех щелей.

          Вопрос 5. Каким проявлением природы света является дифракция?

          Ответ. Дифракция – проявление волновой природы света.

          Нужна помощь в решении задач и других студенческих заданий? Обращайтесь за ней в специальный студенческий сервис в любое время суток.

          Читать:

          Как в геометрии обозначается принадлежит