Найти все четырехзначные числа у которых все цифры различны с

Найти все четырехзначные числа у которых все цифры различны с

Задача:
Человек читает журнал и попутно отмечает четырехзначные числа, в записи которых все цифры различны. Всего он отметил ровно таких чисел. Возможно ли найти две разные цифры, которые одновременно присутствуют в записи не менее чем отмеченных чисел?

Пока мои рассуждения такие:
Общее количество возможных четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны, определяется следующим образом:
Первая цифра может принимать значения от до (с возможных вариантов.
Вторая цифра может принимать значения от , всего возможных вариантов, но за вычетом одной возможной цифры, уже использованной в качестве первой, получается возможных вариантов.
Третья цифра может принимать значения от , всего вариантов, но за вычетом двух вариантов цифр, уже использованных в качестве первой и второй получается вариантов.
Четвертая цифра аналогично третьей, но мы уже заняли три цифры для записи числа, поэтому получается, что возможных вариантов четвертой цифры – .
Всего получается: возможных четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны.
По-другому это можно посчитать как

Дальше застрял.. Понимаю, что в частном случае, ответ: да, возможно, получается, что может быть и во всех числах встречаться две одинаковые цифры, но как обосновать ответ для общего случая пока не понимаю.
Пробовал рассуждать через , но это, на мой взгляд какое-то не строгое рассуждение, т.к. отмеченные числа могут быть любыми из возможных и не обязательно подчиняются какой-то закономерности.
Возможно я вообще не в ту сторону пошел в решении. Подскажите пожалуйста.

У меня получается, что из возможных чисел, составленных из неповторяющихся цифр, в встречается цифра встречаются по раз каждое..
mihaild
Такого быть не может, т.к. если мы зафиксируем первую цифру четырехзначного числа (разряд тысяч), то у нас останется возможных вариантов цифр для использования в качестве второй цифры (разряд сотен). Сотен до следующей всего , поэтому уже на этом этапе понятно (по принципу Дирихле), что какая-то цифра точно встречается больше раз.
поэтому уже на этом этапе понятно (по принципу Дирихле), что какая-то цифра точно встречается больше раз

mihaild
Если у нас зафиксирована первая цифра, то возможных вариантов для второй цифры — . Если использовать каждую цифру по раз, то получится чисел, а нам нужно , поэтому, по принципу Дирихле, как минимум одна цифра будет использована в разряде сотен более раз.
Если у нас зафиксирована первая цифра, то возможных вариантов для второй цифры — .
как минимум одна цифра будет использована в разряде сотен более раз
Это неправда. Пусть у нас 10 раз число , 10 раз число , 10 раз число и т.д. — получится, что каждая цифра в разряде сотен по 10 раз.

mihaild
Еще, как вариант:
Пусть первая цифра в числе может быть записана вариантами, пусть вторая так же может быть записана варинтами и третья вариантами, тогда последняя цифра в записи числа может быть записана вариантами. Т.к. всего отмеченных чисел , то какая-то из цифр, стоящая последней в числе, встретится не менее чем в числах.

Это неправда. Пусть у нас 10 раз число , 10 раз число , 10 раз число и т.д. — получится, что каждая цифра в разряде сотен по 10 раз.
Т.к. всего отмеченных чисел , то какая-то из цифр, стоящая последней в числе, встретится не менее чем в числах.

А что если попробовать так:
Первая цифра может принимать значения от до (с возможных вариантов.
Вторая цифра может принимать значения от , всего возможных вариантов, но за вычетом одной возможной цифры, уже использованной в качестве первой, получается возможных вариантов.
Третья цифра может принимать значения от , всего вариантов, но за вычетом двух вариантов цифр, уже использованных в качестве первой и второй получается вариантов.
Четвертая цифра аналогично третьей, но мы уже заняли три цифры для записи числа, поэтому получается, что возможных вариантов четвертой цифры – .

Дальше рассмотрим отмеченных чисел:
Все числа четырехзначные, поэтому можно определить, что каждой позиции цифры в числе соответствует определенный разряд: тысяч, сотен, десятков и единиц.
Так же все числа различные.

Для записи тысяч будет использовано не менее цифры, т.к. больше .
Для записи сотен не менее двух раз будет использовано не менее различных цифр, т.к. в сотен, а чисел, которые мы можем использовать для записи сотен — .
Для записи десятков в каждой сотне не менее двух раз будет использовано не менее цифр, т.к. в десятков, а чисел, которые мы можем использовать для записи десятков — .
Для записи единиц в каждом десятке не менее двух раз будет использовано не менее цифр, т.к. в единиц, а чисел, которые мы можем использовать для записи десятков — .

Второй варинт такой:
С помощью двух последних цифр (единиц и десятков) можно получить различных чисел ().
Значит для записи различных чисел третья с конца цифра (сотни) должна быть записана с помощью не менее чем двух различных цифр.

Найти все четырехзначные числа у которых все цифры различны с

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

Решение

У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число делится на 2·5·9·11 = 990. Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990: 1980, 2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А наибольшее, у которого все цифры различны – это 8910.

теория — Найти все числа, у каждого из которых все цифры различны, но имеют одинаковую четность

Найти все числа, у каждого из которых все цифры различны, но имеют одинаковую четность (цифр не меньше 2), и при этом они являются квадратами натуральных чисел.

задан 18 Май ’14 23:09

Таких чисел, судя по всему, очень много (со всеми чётными цифрами). Поэтому хотелось бы уточнить, в каком именно понимании их хотелось бы «найти».

Вот какие возникают квадраты с чётными цифрами в самом начале (считал в Maple): 4, 64, 484, 4624, 6084, 8464, 26244, 28224, 40804, 68644, 88804, 228484, 242064, 248004, 446224, 806404, 824464, 868624, 2022084, 2226064, 2244004, 2862864, . Закономерности я тут не прослеживаю.

извиняюсь, забыл написать, что цифры не должны совпадать.

@make78: если цифры не должны совпадать, то тогда всё сильно упрощается, конечно.

1 ответ

Во-первых, чисел с нечетными цифрами быть не может, поскольку квадрат числа $%a_n10^n+\ldots+a_0$% имеет в младших разрядах $%2a_1a_0\cdot10+a_0^2$%. Если $%a_0$% — нечетное, то чтобы второй разряд содержал нечетное число, $%a_0^2$% должно иметь десятичное представление $%10x+y$% с нечетным $%x$%. Простой проверкой убеждаемся, что это невозможно.

Ясно, что пятизначных быть не может, т.к. они дают остаток два при делении на 3, а значит — не полный квадрат. Ясно также, что это квадрат не более чем двузначного числа. Пусть это число равно $%10a+b$%. Тогда чтобы $%(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$% имело только четные цифры, необходимо, чтобы $%b$% было четным и число $%x$% в десятичном представлении числа $%b^2=10x+y$% было четным. Легко проверить, что этому условию удовлетворяют только $%b=2$% и $%b=8$% ($%b=0$% быть не может, иначе получим одинаковые цифры). При этом число оканчивается на $%4$%.

Теперь все не более чем трехзначные числа легко проверить перебором: $%2^2,12^2,22^2,8^2,18^2,28^2$%. Из них нам подходит только $%64$%.

Что касается четырехзначных, то они могут быть составлены из наборов цифр, содержащих четверку: $%(0,2,4,6)$%, $%(0,2,4,8)$%, $%(0,4,6,8)$%, $%(2,4,6,8)$%. Из них нас не устраивают $%(0,2,4,8)$% и $%(2,4,6,8)$%, т.к. сумма цифр дает в остатке 2 при делении на 3, а сумма чисел набора $%(0,2,4,6)$% кратна $%3$%, но не кратна $%9$%. Таким образом остается набор $%(0,4,6,8)$%. Из него возможные четырехзначные числа, оканчивающиеся на $%4$% — это $%6804,\ 6084, 8604, 8064$%. Проверка показывает, что квадратом из них является $%6084$%.

Напишите программу поиска всех четырёхзначных чисел, у которых все четыре цифры различны.

Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.

Если письма нет, проверь папку «Спам».

Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся

Нужна регистрация на Учи.ру

«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.