Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

7. Электроемкость проводников и конденсаторов

Найдите емкость шарового проводника радиуса R₁, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости  и наружного радиуса R₂ .

Способ 1. Сообщим проводнику заряд и найдем напряженность электрического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения равна для , поэтому:

Напряжение проводника представим следующим выражением:

Величину емкости получим по определению из выражения:

Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (см. рисунок). Используя результат упражнения 7.4, для величин емкостей получим: , . Емкость всей системы определится выражением

которое, конечно же, совпадает с результатом, полученным в 1 способе.

Плоский конденсатор

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок по закону , где ₁ — постоянная, d — расстояние между обкладками. Площадь каждой обкладки S. Найдите емкость конденсатора.

Представим конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком, как бесконечную систему последовательно соединенных элементарных конденсаторов, емкость которых равна . Емкость всей системы определится выражением:

, из которого получим:

Сферический конденсатор

Найдите емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как , где .

Как и в предыдущем примере, сферический конденсатор с неоднородным, но сферически симметричным распределением диэлектрика можно представить как систему последовательно соединенных элементарных сферических конденсаторов с емкостями и найти емкость системы как .

Величина поля электрического смещения при этом будет равна, а напряженность этого поля определится выражением Величина напряжения, при этом, будет равна , а величина емкости .

Цилиндрический конденсатор

Найдите емкость цилиндрического конденсатора длины l, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как , где .

Решение. Представим цилиндрический конденсатор, как последовательно соединенные элементарные конденсаторы с емкостью . Величина емкости всей системы элементарных конденсаторов найдется из соотношения

. Отсюда окончательно получим ответ:

Цилиндрический конденсатор имеет диаметр внешней обкладки .Каким должен быть диаметр внутренней обкладки , чтобы при заданном напряжении на конденсаторе напряженность электрического поля на внутренней обкладке была минимальной?

Решение. Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке найдем из следующих соотношений . Подстановка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.5), приводит к выражению:

Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (т.к. величина числителя имеет фиксированное значение)

Приравнивая ее нулю, найдем . В том, что это соответствует минимуму , можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при .

Соединение конденсаторов

Четыре конденсатора с емкостями и соединены так, как показано на рисунке. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точками и была равна нулю?

Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд одинаков, то выполняется соотношение

Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4:

Для того, чтобы между точками и отсутствовала разность потенциалов, необходимо, чтобы осуществлялись равенства и . Разделив почленно соотношения выражающие равенства зарядов и сокращая на равные разности потенциалов, получим

Взаимная емкость

Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одного из них C₁, его заряд Q₁. Емкость второго проводника C₂, заряд Q₂. Первоначально незаряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводникам. Найдите заряд q конденсатора C.

Решение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими как показано на рисунке. Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотношениями: , . Для напряжения на конденсаторе запишем соотношение:

из которого величина заряда конденсатора может получена алгебраически и представлена в виде:

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

Найти емкость С сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер с радиусами r = 10 см и R = 10,5 см. Пространство между сферами заполнено маслом. Какой радиус R ₀ должен иметь шар, помещенный в масло, чтобы иметь такую же емкость?

Дано:

r = 10 см = 10· 10 -2 м

R = 10,5 см = 10,5· 10 -2 м

Решение:

Емкость сферического конденсатора

Емкость сферического конденсатора (шара)

Радиус шара

Ответ:

Ёмкость сферического конденсатора

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Электроемкость сферического конденсатора — характеристика плоского конденсатора, мера его способности накапливать электрический заряд.

$\Large C=4\pi \varepsilon \varepsilon _0(\frac<1> <R_1>— \frac<1><R_2>)^<-1>= 4\pi \varepsilon \varepsilon _0\frac<r_1r_2><r_2-r_1>» width=»284″ height=»25″ /> <img decoding=$

Чтобы найти емкость сферического конденсатора, который состоит из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 (r2 > r1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов будет выглядеть так:

$\Large\varphi _1-\varphi _2=\frac<q><4\pi \varepsilon \varepsilon _0>(\frac<1><r_1>-\frac<1><r_2>) » width=»191″ height=»25″ /> Подставим данное выражение в формулу электроемкости конденсатора и получим емкость конденсатора для сферического тела: <img decoding=$ , а следовательно можно считать, что $r_1\approx r_2\approx r$ емкость сферического конденсатора будет равна $\frac<4\pi r^2\varepsilon \varepsilon _2> <d>» width=»49″ height=»24″ />. Площадь сферы <img loading=$ следовательно формула будет совпадать с формулой емкости плоского конденсатора $\varepsilon \varepsilon _0\frac<S><d>» width=»36″ height=»22″ /> Энергия конденсатора:<img decoding=$ — Электроемкость сферического конденсатора

$\varepsilon$ — Относительная диэлектрическая проницаемость

$\varepsilon _0 = 8.854185\times 10^<-12>» width=»171″ height=»18″ /> — Электрическая постоянная <img loading=$ — Больший радиус (от центра, до края конденсатора)

— Малый радиус (Его может и не быть — это пустота)

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

2.111 Найти емкость шарового проводника радиуса R1 = 100 мм, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости e = 6,0 и наружного радиуса R2 = 200 мм.
→ Перейти к решению

2.112 К напряжению V = 100 В подключили последовательно два одинаковых конденсатора, каждый емкости С = 40 пФ. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости е = 3,0. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет в цепи?
→ Перейти к решению

2.113 Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщины d, и d2 и проницаемости е1 и е2. Площадь каждой обкладки равна S. Найти: а) емкость конденсатора; б) плотность s’ связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.
→ Перейти к решению

2.114 Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении — растет линейно от е1 до е2. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними I. Найти: а) емкость конденсатора; б) объемную плотность связанных зарядов как функцию е, если заряд конденсатора q и поле Е в нем направлено в сторону возрастания е.
→ Перейти к решению

2.115 Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого а и b, причем а

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

7. Электроемкость проводников и конденсаторов

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

Ёмкость сферического конденсатора

Найти емкость сферического конденсатора радиусы обкладок которого a и b

Добавить комментарий Отменить ответ