Как проверить граф на циклы c

Нахождение цикла

Напомним, что циклом в графе $G$ называется ненулевой путь, ведущий из вершины $v$ в саму себя. Граф называют ацикличным, если в нем нет циклов.

Для нахождения цикла, рассмотрим такой альтернативные способ делать обход в глубину:

Здесь мы вместо массива used передаем в рекурсию параметр $p$, равный номеру вершины, откуда мы пришли, или $-1$, если мы начали обход в этой вершине.

Этот способ корректен только для деревьев — проверка u != p гарантирует, что мы не пойдем обратно по ребру, однако если в графе есть цикл, то мы в какой то момент вызовем dfs второй раз с одними и теми же параметрами и попадем в бесконечный цикл.

Если мы можем определять, попали ли мы в бесконечный цикл, то это ровно то, что нам нужно. Модифицируем dfs так, чтобы мы могли определять момент, когда мы входим в цикл. Для этого просто вернем массив used обратно, но будем использовать его для проверки, были ли мы когда-то в вершине, которую мы собираемся посетить — это будет означать, что цикл существует.

Если нужно восстанавливать сам цикл, то можно вместо завершения программы возвращаться из рекурсии несколько раз и выписывать вершины, пока не дойдем до той, в которой нашелся цикл.

Как и со всеми обходами, если в графе больше одной компоненты связности, или если граф ориентированный, то dfs нужно запускать несколько раз от вершин разных компонент.

Проверить, содержит ли неориентированный graph цикл или нет

Для заданного связного неориентированного Graph проверьте, содержит ли он какой-либо цикл или нет.

Например, следующий graph содержит цикл 2–5–10–6–2 :

Рекомендуем прочитать:

1. Использование БФС

Когда мы делаем Поиск в ширину (BFS) из любой вершины v в неориентированном Graph мы можем встретить крест-накрест который указывает на ранее обнаруженную вершину, которая не является ни предком, ни потомком текущей вершины. Каждое “поперечное ребро” определяет цикл в неориентированном Graph. Если поперечный край x —> y , то так как y уже обнаружен, у нас есть путь от v к y (или из y к v так как graph неориентированный), где v является начальной вершиной BFS. Итак, мы можем сказать, что у нас есть путь v

v что образует цикл. (Здесь,

представляет еще одно ребро в пути, и

представляет собой прямое ребро).

Ниже приведена программа на C++, Java и Python, которая демонстрирует это:

Программирование на C, C# и Java

Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы

ОСТОРОЖНО МОШЕННИКИ! В последнее время в социальных сетях участились случаи предложения помощи в написании программ от лиц, прикрывающихся сайтом vscode.ru. Мы никогда не пишем первыми и не размещаем никакие материалы в посторонних группах ВК. Для связи с нами используйте исключительно эти контакты: vscoderu@yandex.ru, https://vk.com/vscode

Поиск элементарных циклов в графе

Рассмотрим алгоритм поиска всех элементарных циклов в неориентированном графе. В этой статье будет приведено описание алгоритма и его реализация на языке программирования C#.

Циклом в графе называется такая конечная цепь, которая начинается и заканчивается в одной вершине. Цикл обозначается последовательностью вершин, которые он содержит, например: (3-5-6-7-3).

Кстати, про цепи, а именно про поиск элементарных цепей в графе мы недавно писали.

Цикл называется элементарным, если все вершины, входящие в него, различны (за исключением начальной и конечной).

Давайте рассмотрим пример. Пусть дан такой граф:

Перечислим все элементарные циклы в нем: 2-3-4-2, 2-3-5-4-2, 3-2-4-3, 3-2-4-5-3, 3-4-5-3, 4-3-2-4, 4-3-5-4, 4-2-3-5-4, 5-4-3-5, 5-4-2-3-5.

Допустим граф задается, как G = (V, E), где V – множество вершин графа, а E – множество ребер этого графа. Вершины и ребра представим объектами таких классов:

, где x, y – координаты центра вершины на плоскости.

, где v1, v2 – номера вершин, которые соединяет данное ребро.

Важно! Нумерация вершин начинается с нуля!

Множества вершин и ребер графа будем хранить в списках List<>:

Для поиска всех элементарных циклов в неориентированном графе будем использовать модификацию рекурсивного алгоритма “поиск в глубину” (DFS). DFS (Depth-first search) — это один из алгоритмов для обхода графа. Обязательно почитайте про него подробнее здесь.

Модифицируем алгоритм DFS в DFScycle. Прототип функции DFScycle будет таким:

, где u – номер вершины, в которой мы находимся в данный момент, endV – номер конечной вершины цикла, Е – список ребер, color[] – массив, в котором хранятся цвета вершин, unavailableEdge — см. ниже, cycle – список, в который заносится последовательность вершин искомого цикла.

В конечном итоге будем преобразовывать последовательность номеров вершин цикла из списка cycle в строку вида: «2-6-7-2». Хранить всю совокупность элементарных циклов будем в списке строк:

Рассмотрим работу алгоритма DFScycle. В начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Необходимо выполнить следующее:

Перебираем все вершины, любая из них может иметь элементарный цикл. На каждой итерации перекрашиваем все вершины в белый цвет (обозначим его 1, а черный цвет будем обозначать 2). Добавляем в список вершин цикла cycle текущую вершину.

Теперь поговорим про параметр unavailableEdge. Вершину, для которой ищем цикл, перекрашивать в черный цвет не будем, иначе программа не сможет в нее вернуться, поскольку эта вершина окажется недоступной. Поэтому введем переменную unavailableEdge, в которую будем передавать номер последнего ребра, по которому осуществлялся переход между вершинами, соответственно это ребро на следующем шаге окажется недоступным для перехода. В действительности это необходимо только на первом уровне рекурсии, чтобы избежать некорректной работы алгоритма и вывода, например, ошибочного результата поиска 1-2-1 при наличии такого графа:

Вызовем процедуру DFScycle(…).

Процедура DFScycle(int u, int endV, List<Edge> E, int[] color, int unavailableEdge, List<int> cycle).

• ЕСЛИ номер вершины u не равен endV, то мы не достигли конца элементарного цикла, поэтому перекрашиваем вершину u в черный цвет. ИНАЧЕ ЕСЛИ число вершин в списке cycle больше или равно двум – конец цикла достигнут: добавляем цикл cycle в список catalogCycles и выполняем возврат из функции.
• Для всякой вершины w, смежной с вершиной u и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру DFScycle(w, endV, E, color, unavailableE, cycleNEW), предварительно добавив вершину w в список cycleNEW. Возвращаем вершине w белый цвет (возможно через нее проходят другие циклы, поэтому не будем исключать ее из рассмотрения).

Примечание 1. Поскольку алгоритм обходит граф во все стороны, то выходит, что он обходит цикл в обе стороны, в итоге программа находит одинаковые циклы вида: 1-3-4-1, 1-4-3-1. Получаются своеобразные палиндромы. В реализации функции DFScycle присутствует механизм исключения таких палиндромов из списка результатов поиска.

Примечание 2. Поскольку в языке C# списки List передаются по ссылке (а не по значению), то для корректной работы алгоритма необходимо создавать копию списка cycle cycleNEW и передавать ее [копию] в новый вызов функции DFScycle().

Реализация процедуры DFScycle на языке программирования C#:

Результатом выполнения этой процедуры поиска элементарных циклов для графа, рассмотренного выше, будет такая последовательность циклов:

Поделиться в соц. сетях:

14 комментария(ев) к статье “ Поиск элементарных циклов в графе ”

А каким образом мы задаем вершины и ребра ?

Ведь List и List у нас сейчас принимают значение 0

Вершины — в виде списка экземпляров класса Vertex, указывая координаты каждой вершины. Ребра — в виде списка экземпляров класса Edge, указывая для каждого ребра номера вершин, которые оно соединяет.

Подскажите, а как заполнять эти List, желательно примером добавления одной вершины

1. admin Автор статьи 29.08.2016 в 23:59

Создаем List’ы:
List V = new List ();
List E = new List ();
Добавление в List вершины графа:
V.Add(new Vertex(X, Y));
(X, Y) — координаты вершины.
Добавление в другой List ребра:
E.Add(new Edge(n1, n2));
n1, n2 — номера вершин, которые соединяет ребро графа.

Добрый вечер, подскажите, а как переделать алгоритм поиска циклов с использование поиска в ширину? Буду очень благодарен.
Заранее спасибо.

1. admin Автор статьи 25.10.2016 в 12:24

Это довольно сложный вопрос, тема отдельной статьи.
В общем случае:
1) Вам нужно обойти граф с помощью алгоритма поиска в ширину.
2) При обходе записывать маршрут движения по связанным вершинам.
3) Если пришли из вершины в неё же саму, то найден цикл.
Возможны подводные камни в виде нахождения одинаковых маршрутов, соответственно необходим механизм их исключения.
С помощью поиска в ширину никогда обход графа не делал. На мой взгляд для данной задачи (поиска циклов) больше подходит поиск в глубину.

Собрал все куски программы, сделал объявление графа, но когда вызываю функцкию выводит это:
Для нестатического поля, метода или свойства «ConsoleApplication1.Program.cyclesSearch()» требуется ссылка на объект.
Вот кусок кода из мейна..
V.Add(new Vertex(1, 3));
E.Add(new Edge(2, 3));
cyclesSearch();
Пробовал менять статичность/нестатичность но только хуже становилось…
Как это исправить ?

1. admin Автор статьи 29.11.2016 в 11:49

Здравствуйте. Если делать программу в одном файле, то, чтобы всё работало, необходимо поля:

сделать статическими. Кроме того, нужно создать эти объекты с помощью оператора new.

Методы cyclesSearch и DFScycle — также объявить статическими.

Вот Вам пример, где всё собрано в один файл и работает:

Конечно, так делать не хорошо. Лучше всего каждый класс помещать в отдельный файл, и сам процесс поиска циклов в графе также выделить в отдельный класс.

Добавил вершины:
V.Add(new Vertex(1, 1));
E.Add(new Edge(1, 2));

V.Add(new Vertex(2, 1));
E.Add(new Edge(3, 4));

V.Add(new Vertex(2, 3));
E.Add(new Edge(4, 5));

V.Add(new Vertex(1, 4));
E.Add(new Edge(3, 4));

V.Add(new Vertex(1, 3));
E.Add(new Edge(2, 3));
После запуска в строке:
if (color[E[w].v2] == 1 && E[w].v1 == u)
(она находиться в DFScycle) вылетает ошибка что u вне границы массива

1. admin Автор статьи 12.12.2016 в 21:16

Дека, нумерация вершин должна начинаться с нуля, а не с единицы.

Не могу понять.. Мы вводим координаты вершины, а не порядок.

Сначала добавляется несколько вершин:

V.Add(new Vertex(10, 40)); //числа — это координаты вершины на плоскости
V.Add(new Vertex(0, 1));

Затем создаются рёбра:

E.Add(new Edge(0, 1)); //тут мы соединили первую вершину со второй
здесь числа — это номера вершин, которые соединяет созданное ребро.

Номера вершин начинаются с нуля. То есть первая вершина в коде является нулевой.

Я бы сказал, что в примере этой статьи не 10, а три цикла. Циклы природно отождествлять, если один из другого получается циклической перестановкой.

Как я простые циклы искал

Проснулся я как-то ближе к вечеру и решил — всё пора, пора уже сделать новую фичу в моей библиотеке. А за одно и проверку графа на циклы починить и ускорить. К утреннему обеду сделал новую фичу, улучшил код, сделал представление графа в удобном виде, и дошёл до задачи нахождения всех простых циклов в графе. Потягивая чашку холодной воды, открыл гугл, набрал «поиск всех простых циклов в графе» и увидел.

Увидел я не много… хотя было всего лишь 4 часа утра. Пару ссылок на алгоритмы ссылка1, ссылка2, и много намеком на то, что пора спать циклов в графе может быть много, и в общем случае задача не решаемая. И еще вопрос на хабре на эту тему, ответ на который меня тоже не спас — про поиск в глубину я и так знал.

Но раз я решил, то даже NP сложную задачу решу за P тем более я пью воду, а не кофе — а она не может резко закончиться. И я знал, что в рамках моей задачи найти все циклы должно быть возможным за маленькое время, без суперкомпьютеров — не тот порядок величин у меня.

Немного отвлечемся от детектива, и поймем зачем мне это нужно.

Что за библиотека?

Библиотека называется DITranquillity написана на языке Swift, и её задача — внедрять зависимости. С задачей внедрения зависимостей библиотека справляется на ура, имеет возможности которые не умеют другие библиотеки на Swift, и делает это с хорошей скоростью.

Но зачем мне взбрело проверять циклы в графе зависимостей?

Ради киллерфичи — если библиотека делает основной функционал на ура, то ищешь способы её улучшить и сделать лучше. А киллефича — это проверка графа зависимостей на правильность — это набор разных проверок, которые позволяют избежать проблем во время исполнения, что экономит время разработки. И проверка на циклы выделяется отдельно среди всех проверок, так как эта операция занимает гораздо больше времени. И до недавнего времени некультурно больше времени.

О проблеме я знал давно, но понимал, что в том виде, в каком сейчас хранится граф сделать быструю проверку сложно. Да и раз уж библиотека умеет проверять граф зависимостей, то сделать «Graph API» само напрашивается. «Graph API» — позволяет отдавать граф зависимостей для внешнего пользования, чтобы:

• Его проанализировать как-то на свой лад. Например, в своё время, для работы собрал автоматически все зависимости между нашими модулями, что помогло убрать лишние зависимости и ускорить сборку.
• Пока нет, но когда-нибудь будет — визуализация этого графа с помощью graphvis.
• Проверка графа на корректность.

Особенно ради второго — кто как, а мне нравится смотреть на эти ужасные картинки и понимать как же все плохо.

Исходные данные

Давайте посмотрим, с чем предстоит работать:

• MacBook pro 2019, 2,6 GHz 6-Core i7, 32 Gb, Xcode 11.4, Swift 5.2
• Проект на языке Swift с 300к+ строчек кода (пустые строки и комментарии не в счёт)
• Более 900 вершин
• Более 2000 ребер
• Максимальная глубина зависимостей достигает 40
• Почти 7000 циклов

Все замеры делаются в debug режиме, не в release, так как использовать проверку графа будут только в debug.

До этой ночи, время проверки составляло 95 минут.

После оптимизации время проверки уменьшилось до 3 секунд, то есть ускорение составило три порядка.

Этап 1. Представление графа

Возвращаемся к нашему детективу. Мой графне Монте Кристо, он ориентированный.
Каждая вершина графа это компонент, ну или проще информация о классе. До появления Graph API все компоненты хранились в словаре, и каждый раз приходилось в него лазить, еще и ключ создавать. Что не очень быстро. Поэтому, будучи в здравом уме, я понимал, что граф надо представить в удобном виде.

Как человек, недалекий от теории графов, я помнил только одно представление графа — Матрица смежности. Правда моё создание подсказывало, что есть и другие, и немного поднапряг память, я вспомнил три варианта представления графа:

• Список вершин и список ребер — отдельно храним вершины, отдельно храним ребра. — для каждой вершины храним информацию, есть ли переход в другую вершину — для каждой вершины храним список переходов

Но прежде чем напрягать мозги, пальцы уже сделали своё дело, и пока я думал какой сейчас час, на экране уже успел появиться код для создания графа в виде матрицы смежности. Жалко конечно, но код пришлось переписать — для моей задачи важнее как можно быстрее находить исходящие ребра, а вот входящие меня мало интересуют. Да и память в наше время безгранична — почему бы её не сэкономить?

Переписав код, получилось что-то на подобии такого:

Где Vertex информация о вершине, а Edge информация о переходе, в том числе и индексы, куда по этому ребру можно перейти.
Обращаю внимание что ребро хранит переход не один в один, а один в много. Это сделано специально, чтобы обеспечить уникальность рёбер, что в случае зависимостей очень важно, так как два перехода на две вершины, и один переход на две вершины означает разное.

Этап 2. Наивный поиск в глубину

Из начала статьи все же помнят, что к этому моменту было уже 4 часа утра, а значит, единственная идея, как реализовать поиск всех простых циклов была та, что я нашел в гугле, да и мой учитель всегда говорил — «прежде чем оптимизировать, убедись, что это необходимо». Поэтому первым делом я написал обычный поиск в глубину:

Запустил этот алгоритм, подождал 10 минут… И, конечно же, ушел спать — А то уже солнце появилось из-за верхушек зданий.

Пока спал, думал — а почему так долго? Про размер графа я уже писал, но в чем проблема данного алгоритма? Судорожно вспоминая дебажные логи вспомнил, что для многих вершин количество вызовов функции dfs составляет миллион, а для некоторых по 30 миллионов раз. То есть в среднем 900 вершин * 1000000 = 900.000.000 вызовов функции dfs…

Откуда такие бешеные цифры? Будь бы это обычный лес, то все бы работало быстро, но у нас же граф с циклами… ZZzzz.

Этап 3. Наивная оптимизация

Проснулся я снова не по завету после обеда, и первым делом было не пойти в туалет, и уж точно не поесть, а посмотреть, сколько же выполнялся мой алгоритм, а ну да всего-то полтора часа… Ну, ладно, я за ночь придумал, как оптимизировать!

В первой реализации ищутся циклы, проходящие только через указанную вершину, а все подциклы, найденные при поиске основных циклов, просто игнорируются. Возникает желание перестать их игнорировать — тогда получается, что можно выкидывать из рассмотрения все вершины, через которые мы уже прошли. Сделать это не так сложно, правда, когда пальцы не попадают по клавиатуре чуть сложнее, но каких-то полчаса и готово:

Дальше по заповедям программиста «Программист ест, билд идёт» я ушел есть… Ем я быстро. Вернувшись через 10 минут и увидев, что все еще нет результата, я огорчился, и решил подумать, в чем же проблема:

• Если у меня несколько больших раздельных циклов, то на каждый такой цикл тратится уйму времени, благо, всего один раз.
• Многие циклы «дублируются» — нужно проверять уникальность при добавлении, а это время на сравнение.

Интуиция мне подсказывала, что первый вариант был лучше. На самом деле он понятней для анализа, так как мы запоминаем циклы для конкретной вершины, а не для всего подряд.

Этап 4. А что если отсекать листья из поиска

Проснуться я уже успел, а значит самое время для листочка и карандаша. Посмотрев на цифры, нарисовав картинки на листочке, стало понятно, что листья обходить не имеет смысла, и даже не листья, а целые ветки, которые не имеют циклов. Смысл в них заходить, если мы ищем циклы? Вот их и будем отсекать. Пока это думал, руки уже все сделали, и даже нажали run… Ого, вот это оптимизация — глазом моргнуть не успел, а уже все нашло… Ой, а чего циклов так мало то нашлось… Эх… А всё ясно проблема в том, что я не налил себе стакан воды. На самом деле проблема вот в этой строчке:

Я решил, что в этом случае мы тоже наткнулись на лист, но это неверно. Давайте рассмотрим вот такой граф:

В этом графе есть под цикл B->E->C значит, этот if выполнится. Теперь предположим, что вначале мы идем так:
A->B->E->C->B. При таком проходе C, Е помечается как лист. После находим цикл A->B->D->A.
Но Цикл A->C->B->D->A будет упущен, так как вершина C помечена как лист.

Если это исправить и отбрасывать только листовые под ветки, то количество вызовов dfs снижается, но не значительно.

Этап 5. Делаем подготовку к поиску

Ладно, еще целых полдня впереди. Посмотрев картинки и различные дебажные логи, стало понятно, что есть ситуации, где функция dfs вызывается 30 миллионов раз, но находится всего 1-2 цикла. Такое возможно в случаях на подобии:

Где «Big» это какой-то большой граф с кучей циклов, но не имеющий цикла на A.

И тут возникает идея! Для всех вершин из Big и C, можно заранее узнать, что они не имеют переходов на A или B, а значит, при переходе на C понятно, что эту вершину не нужно рассматривать, так как из нее нельзя попасть в A.

Как это узнать? Заранее, для каждой вершины запустить или поиск в глубину, или в ширину, и не посещать одну вершину дважды. После сохранить посещенные вершины. Такой поиск в худшем случае на полном графе займет O(N^2) времени, а на реальных данных намного меньше.

Текст для статьи я писал гораздо дольше, чем код для реализации:

Готовясь к худшему, я запустил новую реализацию, и пошел смотреть в окно на ближайшее дерево, в 5 метрах — вдаль смотреть говорят полезно. И вот счастье — код полностью исполнился за 15 минут, что в 6-7 раз быстрее прошлого варианта. Порадовавшись мини победе, и порефачив код, я начал думать, что же делать — такой результат меня не устраивал.

Этап 6. Можно ли использовать прошлые результаты?

Все время пока я писал код, и пока спал, меня мучил вопрос — а можно ли как-то использовать результат прошлых вычислений. Ведь уже найдены все циклы через некоторую вершину, наверное, что-то это да значит для других циклов.
Чтобы понять, что это значит, мне понадобилось сделать три итерации, каждая из которых была оптимальней предыдущей.
Все началось с вопроса — «Зачем начинать поиск с новой вершины, если все исходящие ребра ведут в вершины, которые или не содержат цикла, или это вершина через которую уже были построены все циклы?». Потом поток мыслей дошел до того что проверку можно делать рекурсивно. Это позволило уменьшить время до 5 минут.

И только выпив залпом весь стакан с водой, а он 250мл, я осознал, что эту проверку можно вставить, прям внутри поиска в глубину:

Изменения только тут: if currentIndex < startIndex .

Посмотрев на это простое решение, я нажал run, и был уже готов снова отойти от компьютера, как вдруг — все проверки прошли… 6 секунд? Не, не может быть… Но по дебажным логам все циклы были найдены.

Конечно, я подсознательно понимал, почему оно работает, и что я сделал. Постараюсь эту идею сформировать в тексте — Если уже найдены все циклы, проходящие через вершину A, то при поиске циклов проходящих через любые другие вершины, рассматривать вершину A не имеет смысла. Так как уже найдены все циклы через A, значит нельзя найти новых циклов через неё.

Такая проверка не только сильно ускоряет работу, но и полностью устраняет появление дублей, без необходимости их обрезать/сравнивать.
Что позволяет сэкономить время на способе хранения циклов — можно или вообще не хранить их или хранить в обычном массиве, а не множестве. Это экономит еще 5-10% времени исполнения.

Этап 6. Профайл

Результат в 5-6 секунд меня уже устраивал, но хотелось еще быстрее, на улице еще солнце даже светит! Поэтому я открыл профайл. Я понимал, что на языке Swift низкоуровневая оптимизация почти невозможна, но иногда находишь проблемы в неожиданных местах.
И какое было моё удивление, когда я обнаружил, что половину времени из 6 секунд занимают логи библиотеки… Особенно с учетом, что я их выключил. Как говорится — «ты видишь суслика? А он есть. «. У меня суслик оказался большим — на пол поля. Проблема была типичная — некоторое строковое выражение считалось всегда, независимо от необходимости писать его в логи.

Запустив приложение и увидев 3 секунды, я уже хотел было остановиться, но меня мучило одно предчувствие в обходе в ширину. Я давно знал, что массивы у Apple сделаны так, что вставка в начало и в конец массива занимает константное время в силу кольцевой реализации внутри (извиняюсь, я не помню, как правильно это называется). И на языке Swift у массива есть интересная функция popLast() , но нет аналога для первого элемента. Но проще показать.

Вроде изменения не значительные и, кажется, что второй код должен работать медленнее — и на многих языках второй код будет работать медленнее, но на Swift он быстрее на 5-10%.

Итоги

А какие могут быть итоги? Цифры говорят сами за себя — было 95 минут, стало 2.5-3 секунды, да еще и добавилось новых проверок.

Три секунды тоже выглядит не шустро, но не стоит забывать, что это на большом и не красивом графе зависимостей — такие днем с огнем не сыщешь в мобильной разработке.
Да и на другом проекте, который больше похож на средний мобильный проект, время с 15 минут уменьшилось до менее секунды, при этом на более слабом железе.

Ну а появлению статьи благодарим гугл — который не захотел мне помогать, и я придумывал все из головы, хоть и понимаю, что Америку я не открыл.

Весь код на языке Swift можно найти в папке.

Немного рекламы и Планы

Кому понравилась статья, или не понравилась, пожалуйста, зайдите на страницу библиотеки и поставьте ей звёздочку.

Я каждый раз озвучиваю планы по развитию, каждый раз говорю «скоро» и всегда скоро оказывается когда-нибудь. Поэтому сроков называть не буду, но когда-нибудь это появится:

• Конвертация графа зависимостей в формат для graphvis — а он в свою очередь позволит просматривать графы визуально.
• Оптимизация основного функционала библиотеки — С появлением большого количества новых возможностей, моя библиотека хоть и осталось быстрой, но теперь она не сверх быстрая, а на уровне других библиотек.
• Переход на проверку графа и поиск проблем во время компиляции, а не при запуске приложения.

P.S. Если отключить 5 этап полностью, это который добавление доп. действия перед началом поиска, то скорость работы понизится в 1.5 раза — до 4.5 секунд. То есть в этой операции даже после всех других оптимизаций есть толк.

P.P.S. Некоторые факты из статьи выдуманные, для придания красоты картины. Но, я на самом деле пью только чистую воду, и не пью чай/кофе/алкоголь.

UPD: По просьбе добавляю ссылку на сам граф. Он описан в dot формате, имена вершин просто нумерацией. Ссылка
Посмотреть на то как это выглядит визуально можно по этой ссылке.

UPD: banshchikov нашёл другой алгоритм Donald B. Johnson. Более того есть его реализация на swift.
Я решил сравнить свой алгоритм, и этот алгоритм на имеющемся графе.
Вот что получилось:

Время измерялось только на поиск циклов. Сторонняя библиотека конвертирует входные данные в удобные ей, но подобная конвертация должна занимать не более 0.1 секунды. А как видно время отличается на порядок (а в релизе на два). И списать такую большую разницу на неоптимальную реализацию нельзя.