Как найти подгруппы группы

2.5 Подгруппы группы. Минимальная подгруппа. Системы образующих

Рассмотрев некоторые элементарные свойства групп, перейдем к анализу взаимосвязей между различными группами. Такой анализ мы начнем с групп с совпадающими операциями. Это приводит к понятию подгруппы группы. Рассмотрим две группы ,.

Определение. Группа называется подгруппой группы, если и групповые операции  и  совпадают на множестве .

Утверждение. Для того чтобы непустое подмножество группыбыло подгруппой, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

если (единичный элемент группы принадлежит подгруппе);

(существует обратный элемент).

Пример 1. Пусть – аддитивная группа целых чисел. В ней можно выделить ряд подгрупп:

1. – подгруппу чётных чисел. Легко проверить, что множествос заданной операцией сложения образует группу:

сумма двух чётных чисел – чётное число;

операция сложения чётных чисел – ассоциативна;

единичным элементом является нуль – чётное число;

число, обратное чётному числу – чётное число.

2. – подгруппу чисел кратных;

3. – подгруппу, содержащую только нуль;

4. – подгруппу целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим аддитивную группу рациональных чисел . В ней можно выделить следующие подгруппы:

подгруппу целых чисел ;

все подгруппы аддитивной группы целых чисел;

рациональные числа, представимые в виде дробей с нечётными знаменателями: если знаменатели дробей инечётны, то и их сумма – дробь– имеет нечетный знаменатель, нуль можно представить в виде дроби с нечётным знаменателем, а число противоположное рациональному числу с нечётным знаменателем есть тоже число со знаком «минус», т.е. также может быть представлено числом с нечётным знаменателем.

Замечание. Мы не можем утверждать, что дроби с нечётными знаменателями образуют подгруппу, поскольку любую такую дробь можно представить в виде дроби с чётным знаменателем: например, дробь можно записать в виде. Следовательно, хотя в действительности мы имеем в виду дроби с нечётными знаменателями, следует применять лишь приведённое выше точное название подгруппы.

Пример 3. Рассмотрим мультипликативную группу вещественных чисел, отличных от нуля . В ней можно выделить следующие подгруппы:

мультипликативную группу положительных вещественных чисел : произведение двух положительных вещественных чисел положительно (и вещественно), единица – число положительное, число, обратное положительному, также положительно;

подгруппу, состоящую из чисел ,: произведение любых двух чисел из множестваравно либо, либо. Каждое из двух чиселобратно самому себе.

Замечание. 1. В любой группе можно выделить по крайней мере две подгруппы:

–подгруппу, содержащую только один единичный элемент.

–подгруппу, совпадающую с самой группой.

2. В общем случае количество выделяемых подгрупп в группе зависит от мощности группы. Еслии множество– конечно, то конечно и количество выделяемых подгрупп. Если– бесконечно, то количество выделяемых подгрупп может быть как конечно, так и бесконечно.

Определение. Подгруппа называется собственной подгруппой, если:и.

В противном случае подгруппа называется несобственной илитривиальной. Итак, – тривиальные подгруппы любой группы.

Минимальная подгруппа. Пусть произвольное подмножество множествагруппы, попробуем выбрать подгруппугруппы, содержащуюи такую, что для всякой подгруппыиз того, чтобудет вытекать включение, т.е.– минимальная подгруппа, содержащая множество.

Лемма. Двух минимальных подгрупп и, содержащих, не существует.

Доказательство. Действительно, если и, где,– две минимальные подгруппы, то из того, что, а из того, что, откуда следует, что.

Системы образующих. Пусть – некоторая группа, и существует семейство подгрупп <,> группы G, т.е..

Теорема. Пересечение любого семейства подгруппгруппы G является подгруппой.

Доказательство. Пусть e – единичный элемент группы G, тогда свойства:

1. ,

2. ,

3. ,

характеризующие всякую подгруппу, выполнены в , т.к. они выполнены в каждой из подгруппв отдельности. Это свойство групп позволяет находить в любой группе «наименьшую» или «минимальную» подгруппу, содержащую заданное множествоэлементов группы G. Рассмотрим множествоэлементов группы G. Наименьшая подгруппа, которой принадлежат эти элементы, содержится во всякой другой подгруппе, включающей в себя помимо элементов множества S, еще какие-то другие элементы группы.

Выберем теперь в качестве семейства все те подгруппы, которые содержат данное множество S, тогда их пересечение

(2.20)

и будет минимальной «наименьшей» подгруппой, содержащей множество S.

Определение. Подгруппа , определяемая в виде (2.20), называется минимальной подгруппой, содержащей множество S.

Замечание. На первый взгляд минимальная подгруппа задается неконструктивно, поскольку необходимо перебирать все подгруппы, содержащие заданное множество S, а затем найти их пересечение. Необходимости в этом, однако, нет. Покажем это.

Пусть . Поскольку подгруппасодержит элементы a, b, c, то три элемента этой подгруппы уже известны. Кроме того, мы знаем, что подгруппепринадлежит единичный элемент e. Из обобщенной ассоциативности следует, что вместе с каждым из элементов a, b, c подгруппепринадлежат и все (целые) степени ее элементов, а так же все произведения степеней. Следовательно, подгруппасостоит из элементов вида:

, (2.21)

где – целые числа.

Замечание. 1. Некоторые из произведений вида (2.21) могут не содержать какого либо из элементов , но их также можно представить в виде (2.21), положив соответствующие показатели степени равными нулю.

2. Единичный элемент e также можно представить в виде (2.21), положив все показатели степени равными нулю.

Вывод. Подгруппа , порожденная элементами множества, состоит из произведений степеней образующих элементов вида (2.20).

Сформулируем этот вывод в виде следующего утверждения.

Утверждение. Минимальная подгруппа группы G совпадает с множеством T, состоящим из единичного элемента e и всевозможных произведений:

, (2.22)

где: либо , либо.

Доказательство. Если ,следовательнои если то множество T является подгруппой в G. С другой стороны, каждая подгруппа H, содержащая все , должна содержать все их обратныеи, стало быть, все их произведения вида. Поэтомуи T совпадает с пересечением всех этих подгрупп.

Замечание. Далеко не все произведения будут различными элементами подгруппы , даже если условиться заменять все встречающиеся пары,взаимно обратных элементов единичным элементом. В общем случае привопрос о равенстве произведений достаточно сложен.

Определение. Если подгруппа , порожденная элементами множества S, совпадает со всей группой G, то элементы множества S называютсясистемой образующих элементов группы .

Определение. Если множество S конечно, то группа , порожденная множеством S, называется конечнопорожденной группой.

Утверждение. Каждая группа G порождается какой-нибудь системой образующих S.

Доказательство. Пусть G – группа, порождённая конечным множеством S своих элементов. Удаляя из S «лишние» элементы, которые записываются в виде произведения оставшихся и их обратных, мы придем к минимальной системе образующих группы G, где. Это означает, что, но, если система образующихполучена изудалением хотя бы одного элемента. Пусть. Тогда вместопишут также.

Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:

1. , 2. , 3. , 4. , 5. .

Решение. 1. Если S=<2>, то ;

Если S=<4, 6>, то . Ясно, что все элементы подгруппычетные т.к. общий элемент этой подгруппы можно представить в виде четного числа. Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе? Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе.. ПустьТогда имеем, следовательно,и подгруппабудет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е. все четные числа.

Если S=<0>, тогда

Если S=<1>, то

Если S=<–1>, то

Пример 2. Пусть G – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если: 1., 2..

Решение. 1. Если , то;

2. Если S=<1>, то

Пример 3. Пусть – аддитивная группа рациональных чисел. Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством.

Решение. В минимальную подгруппу должны входить все целые кратные рационального числа. Кроме того, подгруппепринадлежит любое целое число четвертых, восьмых и т.д. Следовательно, эта подгруппа содержит все дроби, в знаменатель которых не входят никакие простые числа, кроме 2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь степени числа 2). Но такие дроби образуют подгруппу, содержащую все заданные числа. Следовательно, минимальная подгруппасостоит из дробей, знаменателями которых служит степень числа 2.

алгебра — Найти все подгруппы.

То, что элемент порядка 1 в группе, это нейтральный элемент, совершенно очевидно. Для операции умножения, g^1=1 в точности означает g=1. Для группы с операцией сложения, соответственно, получим нулевой элемент.

Подгруппа из одного элемента (нейтрального) обладает тем свойством, что все её элементы — его степени. Значит, она циклическая по определению.

Понятие обратимого элемента не имеет смысла для групп, так как там она имеет место всегда. Если дано кольцо с единицей, то имеет смысл говорить об обратимых элементах, что связано с умножением.

@sayyo: я мог бы ответить «да», но саму постановку вопроса считаю не совсем точной. Если дана операция умножения, или она уподобляется умножению, то мы пишем $%xx^<-1>=x^<-1>x=1$%. Здесь мы говорим про обратимые и обратные элементы. Если запись аддитивная, то есть рассматривается операция сложения, то мы вместо этого пишем $%x+(-x)=(-x)+x=0$%, а элемент $%-x$%, полный аналог обратного, называем по-другому — не обратным элементом, а противоположным.

@sayyo: делитель нуля всегда необратим. В другую сторону неверно. Элемент 2 в Z не обратим (нет такого целого k, что 2k=1). Однако делителей нуля в Z вообще нет, так как это подкольцо поля.

Циклическая подгруппа — это погруппа, состоящая из степеней элемента a, который порождает эту подгруппу. Нужно ли тут добавить, что берутся ВСЕ степени элемента а?(Видел формулировки, где этого не было указано)

@sayyo: формулировки бывают разной степени точности и вообще «качественности». Но здесь всё вытекает из факта, что если элемент g принадлежит какой-то подгруппе, то его степени с любыми показателями ей тоже принадлежат. По той простой причине, что подгруппа замкнута как относительно операции, так и относительно взятия обратных элементов. Поэтому все степени — этот тот «обязательный минимум», который можно взять, чтобы получить подгруппу.

@sayyo: элементов берут два, но они любые, и их можно брать несколько раз. Поэтому, если есть g, то есть gg=g^2. Раз есть g^2 и g, то есть g^3. И так далее, до бесконечности. Аналогично, раз есть g^<-1>, то по тому же принципу есть g^<-2>, и всё остальное. Ну, и g^0=1 тоже всегда есть. Это касается любой подгруппы, а особенность циклической в том, что помимо этих степеней в ней нет ничего другого.

1 ответ

Группа $%\mathbb Z_<15>^<\ast>$% состоит из остатков, взаимно простых с числом 15. Их ровно $%8=\varphi(15)$%, и они легко выписываются: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. «Чёрточки» будем опускать.

Как из общих соображений, так и из конкретного описания следует, что рассматриваемая группа изоморфна прямому произведению $%\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2$%. Образующими сомножителей будут $%2$% и $%-1$% соответственно.

Подгруппа порядка 4 либо циклическая, и она изоморфна $%\mathbb Z_4$%, либо не циклическая, и тогда она изоморфна $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%. Элементов порядка 4 в этой группе ровно четыре, их легко выписать: 2, 8, -2=13, -8=7. Остальные элементы в квадрате равны 1 по модулю 15.

В каждой циклической подгруппе порядка 4 ровно два образующих. Поэтому наши четыре элемента так распределятся по двум подгруппам: $%\<1,2,4,8\>$% и $%\<1,7,4,13\>$%.

Подгруппа, изоморфная прямому произведению двух циклических порядка 2 каждый, состоит из единицы и трёх элементов второго порядка. Последних у нас ровно три, и они вместе с единицей образуют подгруппу $%\<1,4,11,14\>$% (последние два элемента — это -4 и -1 по модулю 15).

Итого — три подгруппы порядка 4. Среди них есть неизоморфные.

отвечен 24 Дек ’18 17:13

@sayyo: хочу, чтобы Вы ещё раз перечитали текст, и увидели, что там исчерпывающе всё объяснено. Задам лишь несколько вопросов по пониманию текста, как иногда делают в учебниках для начальных классов 🙂

1) Сколько подгрупп порядка 4 обнаружено в данной группе? (Ответ: три)

2) Чему группы порядка 4 вообще бывают изоморфны? (Ответ: или Z4, или Z2xZ2)

3) Сколько подгрупп из трёх изоморфны Z4? (Ответ: две.)

4) Изоморфны ли они между собой? (Ответ: да, поскольку они изоморфны одной и той же группе :))

@sayyo: это упражнение совсем элементарного уровня. При решении задач типа этой, такие вещи уже должны быть освоены. Доказать можно так: если есть элемент порядка 4, то группа циклична. Если нет, то любой элемент в квадрате равен 1. Такая группа абелева: любой элемент равен обратному, то есть (ab)^<-1>=b^<-1>a^<-1>=ba. Получается группа из элементов 1, x, y, z, где всё коммутирует, и x^2=y^2=z^2=1. Произведение xy может быть равно только z. Аналогично, произведение любых двух неединичных элементов равно третьему. Это таблица умножения для Z2xZ2.

@sayyo: определение порядка элемента группы, простейшие свойства этого дела — базовая вещь. Срочно берите учебник и читайте эти вещи. В противном случае все обсуждения окажутся бесполезными.

То же касается теоремы Лагранжа о подгруппах и её следствий (типа «порядок элемента делит порядок группы»).

@sayyo: судя по тому, как Вы пересказали, это не совсем точно. Порядок элемента g равен n не только тогда, когда g^n=1, но ещё и тогда, когда n — наименьшее натуральное число с таким свойством. Из этого следует, что все элементы 1,g,g^2. g^ попарно различны. Их n штук. Значит, если в группе из n элементов есть элемент порядка n, то его степени исчерпывают всю группу, и она является циклической. Это всё из области самых элементарных свойств.

А если нет элемента порядка 4, то порядки элементов (они делят 4 по следствию из теоремы Лагранжа) равны 1 или 2, и в квадрате равны 1.

@sayyo: хороший вопрос, потому что я, наконец, понял, чего именно Вы не знаете 🙂

Изучение циклических групп начинается с понятия циклической ПОДгруппы, порождённой данным элементом (а уже потом вводится понятие циклической группы). Берётся элемент g, и рассматривается множество всех его степеней. Проверяется по критерию, что это подгруппа. Как она устроена? Если элемент имеет конечный порядок n, то она состоит из n элементов: 1, g, g^2, . , g^ (а g^n уже не надо, так как это 1). То есть её элементы просто выписываются, и проверять ничего не надо.

(продолжение) Мы уже знаем, что это циклическая подгруппа. Для g=2 я составляю список степеней, каждый раз умножая на 2 и беря остаток. И получается 1, 2, 4, 8. Точка, так как за ним идёт 16=1(mod 15). Заодно я знаю, что порядок g равен 4, и выписана циклическая подгруппа порядка 4. Аналогично для g=7, начиная с 1 и каждый раз умножая на 7. Тут будет 1, 7, 49=4(mod 15), 28=13(mod 15). Дальше не пишем, так как будет 91=1(mod 15).

Вот каково происхождение этих двух списков. Можете потренироваться на похожих примерах. Проверять уже ничего не надо.

@sayyo: это верно, причём для любого n. Более того, это уже говорилось выше в явном виде. Цитирую:

Порядок элемента g равен n не только тогда, когда g^n=1, но ещё и тогда, когда n — наименьшее натуральное число с таким свойством. Из этого следует, что все элементы 1,g,g^2. g^ попарно различны. Их n штук. Значит, если в группе из n элементов есть элемент порядка n, то его степени исчерпывают всю группу, и она является циклической. Это всё из области самых элементарных свойств.

@sayyo: хочу, правда, предостеречь вот насчёт чего. Если дано какое-то множество из n элементов группы, и в нём есть элемент порядка n, то отсюда ничего не следует. Там пришлось бы проверять, что перед нами подгруппа — тогда бы следовало, что она циклическая. В случае же <1,2,4,8>всё намного проще (выше я объяснил), так как она будет циклической подгруппой по способу своего построения.

Научный форум dxdy

Задача формулируется так: найти все подгруппы и нормальные подгруппы, например, .

Понятно, что задача легко решима перебором. Однако же, я полагаю, более пристальный взгляд в теорию групп позволит как-то упростить себе жизнь и найти заданные подгруппы в этом случае (и более сложных) легче.

Например, если основываться на том, чт о я знаю, порядок всех подгрупп в должен быть делителем порядка группы. Так как , то подгруппы (нетривиальные) могут быть либо порядка 2, либо порядка 3. Учитывая, что любая подгруппа должна содержать нейтральный элемент остается проверить вариантов для подгруппы порядка 2 и вариантов для группы порядка 3. Ну все равно достаточно много работы. И для каждой нужно проверять нормальность? Не очень весело.

Вот вопрос: как еще можно упростить процедуру поиска?

Последний раз редактировалось artempalkin 27.01.2021, 14:57, всего редактировалось 1 раз.

Finding all subgroups of large finite groups is in general a very difficult problem. Usually, I’d start with Lagrange’s theorem to find possible orders of subgroups.

Next, you know that every subgroup has to contain the identity element. Then you can start to work out orders of elements contained in possible subgroups — again noting that orders of elements need to divide the order of the group.

Ну вот, к примеру, возьмем , который второго порядка, естественно, с он образует подгруппу. Прав ли я буду, если скажу, что он не войдет больше ни в какую (нетривиальную) подгруппу? Наверное, это можно проще объяснить, но он войдет в другую подгруппу, только если она будет порядка 3, то есть к уже существующей нужно добавить еще один элемент. Однако каково будет произведение этого элемента с ? Никаких вариантов внутри этой подгруппы не получается, значит, и другие эл-ты порядка 2 можно отбросить, учтя их циклические подгруппы.

Учитывая, что любая подгруппа должна содержать нейтральный элемент остается проверить вариантов для подгруппы порядка 2 и вариантов для группы порядка 3.

Меньше — подгруппа порядка 2 содержит элемент порядка 2 (а таких элементов всего 3), подгруппа же порядка 3 содержит два элемента порядка 3, а таких элементов во всей группе всего 2.
Ну и еще можно заметить, что элементы порядка 2 переводятся друг в друга автоморфизмами группы, так что достаточно проверить всего одну подгруппу порядка 2 и одну подгруппу порядка 3.

С ростом количество разных подгрупп у , естественно, растет очень быстро. К счастью нормальных подгрупп у мало, и их можно найти без перебора.

Последний раз редактировалось artempalkin 27.01.2021, 15:43, всего редактировалось 2 раз(а).

А, ну да, правильно, ведь все элементы группы порядка alt=»$n$» />в степени alt=»$n$» />должны давать нейтральный элемент. Это еще одно вспомогательное утверждение, которое может помочь находить подгруппы.

Получается, что, чтобы найти подгруппу, нужно:

1) с помощью теоремы Лагранжа определить порядок возможных подгрупп;
2) учесть, что каждая подгруппа содержит нейтральный элемент;
3) найти порядок всех элементов группы и рассмотреть их как кандидатов в возможные подгруппы.

К счастью нормальных подгрупп у мало, и их можно найти без перебора.

Без проверки, основываясь на вашем сообщении, я предполагаю, что в нормальной будет подгруппа порядка 3.
Более того, это же очевидно. Ее порядок есть 3, а значит у нее есть только один смежный класс, если не считать ее самой. И это не зависит от того, справа или слева домножать на элементы ей не принадлежащие.

То есть по сути осталось проверить, что наши подгруппы второго порядка (ну или точнее любой их представитель) НЕ являются нормальными подгруппами.

Как найти подгруппы группы

Изучение внутренней структуры конкретной группы позволяет установить многие ее свойства. Внутреннюю структуру некоторых групп можно описать с помощью их подгрупп. Слово «подгруппа» означает «I руппа внутри группы»; точнее, множество Н называется подгруппой группы G, если

(A) Каждый элемент множества Н является элементом группы G;

(B) Н есть группа (относительно бинарной операции, определенной в группе ).

Значение этих условий будет раскрыто в дальнейшем. Мы начнем с отыскания и исследования некоторых подгрупп в данной группе.

Рассмотрим циклическую группу порядка 4

и найдем ее подгруппы порядка 2. Так как подгруппа является группой и, следовательно, должна содержать элемент , то все подгруппы порядка 2 группы должны находиться среди множеств

Прежде всего мы видим, что все эти множества удовлетворяют условию (А), так как их элементы принадлежат группе Что же касается условия (В), то множество R из двух элементов было бы, очевидно, циклической группой порядка 2, если бы выполнялось соотношение . Но при определенной в группе бинарной операции . Таким образом, R не является подгруппой группы .

Пользуясь этим методом «проб и ошибок», убеждаемся, что единственной подгрупой порядка 2 группы является множество S. В дальнейшем для выявления подгрупп будет применяться более простой и систематический метод.

Для доказательства того, что множество образует группу относительно некоторой операции, например надо убедиться в выполнении всех групповых аксиом. Если мы знаем заранее, что рассматриваемое множество является подмножеством группы, то проверка выполнения аксиом упрощается. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим условие (В) из определения подгруппы. Сначала мы должны показать, что

(i) операция группы G, рассматриваемая лишь на элементах множества H, является бинарной операцией на множестве H.

Это сводится к проверке того, что если — два элемента множества H, то и принадлежит H. Если подмножество H группы G обладает этим свойством, то мы говорим, что оно замкнуто относительно операции (См. рассуждение о замкнутости на стр. 13.) Чтобы доказать, что Я — группа, нужно также проверить выполнение следующих условий:

(ii) операция ассоциативна;

(iii) обратный к любому элементу из множества принадлежит H;

(iv) единица группы G принадлежит множеству H.

Условие выполняется автоматически, так как — групповая операция группы G и, следовательно, она ассоциативна. Кроме того, условие следует из условий так как если h — элемент множества H, то, согласно условию элемент принадлежит H, а по условию также принадлежит H. Таким образом, подмножество H группы G является подгруппой группы G, если выполнены два условия:

(1) элемент принадлежит множеству H, если — элементы множества H (замкнутость)

(2) элемент принадлежит множеству H, если h принадлежит H (обратимость).

Упражнение 23. Покажите, что предыдущее утверждение эквивалентно следующему: подмножество Н группы G является подгруппой группы G, если элемент принадлежит Н, как только а и b принадлежат Н. (Это утверждение содержит лишь одно условие.)

Теперь мы используем условия (1) и (2), чтобы относительно каждого из подмножеств группы выяснить, является ли оно подгруппой. Если множество не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, то оно не может быть подгруппой. Для решения вопроса б замкнутости множества можно воспользоваться таблицей умножения элементов этих множеств (следует помнить, что ):

Множество 5 является единственным среди рассматриваемых множеств, таблица умножения которого замкнута относительно групповой бинарной операции, т. е. содержит только элементы этого множества. Следовательно, множество S является подгруппой, если только оно удовлетворяет условию обратимости (2). Из таблицы умножения видно, что обратными для элементов являются элементы соответственно. Таким образом, обратный к любому из элементов множества S принадлежит поэтому S — подгруппа группы .

Есть ли в группе подгруппы порядка 3? Рассмотрим некоторое множество элементов группы состоящее из и двух других элементов, например множество

Так как входит в таблицу умножения множества D, но не является элементом множества D, то рассматриваемое множество не будет замкнутым относительно бинарной операции группы . Поэтому оно не является подгруппой. Читатель может легко убедиться, что и никакое другое подмножество из трех элементов группы не удовлетворяет условию (1). Таким образом, не содержит подгрупп порядка 3.

Каждая группа имеет две особые подгруппы. Множество, состоящее из всех элементов группы G, является подмножеством группы G и группой относительно определенной в ней бинарной операции. Поэтому группа будет подгруппой самой себя. Подмножество H, состоящее из единственного элемента удовлетворяет условиям (1) и (2), так как . Следовательно, каждая группа содержит подгруппу, состоящую из единственного элемента I.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Мы будем называть их собственными, а эти две особые подгруппы — несобственными.

Упражнение 24. Пусть — группа диэдра порядка 6 с элементами

(a) Покажите, что — подгруппа группы .

(b) Найдите в подгруппу порядка 3.

(c) Есть ли в группе подгруппы порядка 4?

Упражнение 25. Пусть — циклическая группа порядка 5. Найдите все ее собственные подгруппы.