Как найти косинус зная все стороны треугольника

Как пользоваться теоремой косинусов

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 4969.

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии. Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора, и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .

• Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?

• В нашем примере сторона XZ неизвестна, поэтому в формуле она обозначена как c <\displaystyle c>. Так как стороны YX и YZ известны, они обозначены переменными a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>. Переменная C <\displaystyle C>— это угол Y. Итак, формула запишется следующим образом: c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) cos ⁡ 89 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)\cos <89>> .

• Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) ( 0 , 01745 ) <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)(0,01745)> .

• Например:
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) ( 9 ) ( 0 , 01745 ) <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-2(5)(9)(0,01745)>
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-1,5707>

• Например:
  c 2 = 5 2 + 9 2 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=5^<2>+9^<2>-1,5707>
  c 2 = 25 + 81 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=25+81-1,5707>
  c 2 = 106 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=106-1,5707>

• Например:
  c 2 = 106 − 1 , 5707 <\displaystyle c^<2>=106-1,5707>
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle c^<2>=104,4293>

• Например:
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle c^<2>=104,4293>
  c 2 = 104 , 4293 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <104,4293>>>
  c = 10 , 2191 <\displaystyle c=10,2191>
  Итак, неизвестная сторона равна 10,2191 см.

• Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.

• Например, сторона RT противоположна неизвестному углу S, поэтому сторона RT — это c <\displaystyle c>в формуле. Другие стороны будут a <\displaystyle a>и b <\displaystyle b>. Итак, формула запишется следующим образом: 12 2 = 8 2 + 10 2 − 2 ( 8 ) ( 10 ) cos ⁡ C <\displaystyle 12^<2>=8^<2>+10^<2>-2(8)(10)\cos > .

• Например, 12 2 = 8 2 + 10 2 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 12^<2>=8^<2>+10^<2>-160\cos > .

• Например, 144 = 8 2 + 10 2 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=8^<2>+10^<2>-160\cos >

• Например:
  144 = 64 + 100 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=64+100-160\cos >
  144 = 164 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144=164-160\cos >

• Например, чтобы изолировать косинус неизвестного угла, вычтите 164 из обеих сторон уравнения, а затем разделите каждую сторону на -160:
  144 − 164 = 164 − 164 − 160 cos ⁡ C <\displaystyle 144-164=164-164-160\cos >
  − 20 = − 160 cos ⁡ C <\displaystyle -20=-160\cos >
  − 20 − 160 = − 160 cos ⁡ C − 160 <\displaystyle <\frac <-20><-160>>=<\frac <-160\cos ><-160>>>
  0 , 125 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,125=\cos >

• Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.

• Так как даны две стороны и угол между ними, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Неизвестная сторона — это c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) cos ⁡ 68 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)\cos <68>> .
• Вычислите c 2 <\displaystyle c^<2>> , соблюдая порядок математических операций:
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) cos ⁡ 68 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)\cos <68>>
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 2 ( 20 ) ( 17 ) ( 0 , 3746 ) <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-2(20)(17)(0,3746)>
  c 2 = 20 2 + 17 2 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=20^<2>+17^<2>-254,7325>
  c 2 = 400 + 289 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=400+289-254,7325>
  c 2 = 689 − 254 , 7325 <\displaystyle c^<2>=689-254,7325>
  c 2 = 434 , 2675 <\displaystyle c^<2>=434,2675>
• Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Так вы найдете неизвестную сторону:
  c 2 = 434 , 2675 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <434,2675>>>
  c = 20 , 8391 <\displaystyle c=20,8391>
  Итак, неизвестная сторона равна 20,8391 см.

• Так как даны все три стороны, можно использовать теорему косинусов. Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Сторона, противоположная неизвестному углу, — это c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: 13 2 = 22 2 + 16 2 − 2 ( 22 ) ( 16 ) cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=22^<2>+16^<2>-2(22)(16)\cos > .
• Упростите полученное выражение:
  13 2 = 22 2 + 16 2 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=22^<2>+16^<2>-704\cos >
  13 2 = 484 + 256 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 13^<2>=484+256-704\cos >
  169 = 484 + 256 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169=484+256-704\cos >
  169 = 740 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169=740-704\cos >
• Изолируйте косинус:
  169 − 740 = 740 − 740 − 704 cos ⁡ C <\displaystyle 169-740=740-740-704\cos >
  − 571 = − 704 cos ⁡ C <\displaystyle -571=-704\cos >
  − 571 − 704 = − 704 cos ⁡ C − 704 <\displaystyle <\frac <-571><-704>>=<\frac <-704\cos ><-704>>>
  0 , 8111 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,8111=\cos >
• Найдите арккосинус. Так вы вычислите неизвестный угол:
  0 , 8111 = cos ⁡ C <\displaystyle 0,8111=\cos >
  35 , 7985 = C O S − 1 <\displaystyle 35,7985=COS^<-1>> .
  Таким образом, угол H равен 35,7985°.

• Тропы образуют треугольник. Нужно найти длину неизвестной тропы, которая представляет собой сторону треугольника. Так как даны длины двух других троп и угол между ними, можно использовать теорему косинусов.
• Запишите формулу: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C <\displaystyle c^<2>=a^<2>+b^<2>-2ab\cos > .
• Неизвестную тропу (Болотную) обозначим как c <\displaystyle c>. Подставьте известные значения в формулу: c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) cos ⁡ 135 <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)\cos <135>> .
• Вычислите c 2 <\displaystyle c^<2>> :
  c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) cos ⁡ 135 <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)\cos <135>>
  c 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ( 3 ) ( 5 ) ( − 0 , 7071 ) <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-2(3)(5)(-0,7071)>
  c 2 = 3 2 + 5 2 − ( − 21 , 2132 ) <\displaystyle c^<2>=3^<2>+5^<2>-(-21,2132)>
  c 2 = 9 + 25 + 21 , 2132 <\displaystyle c^<2>=9+25+21,2132>
  c 2 = 55 , 2132 <\displaystyle c^<2>=55,2132>
• Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Так вы найдете длину неизвестной тропы:
  c 2 = 55 , 2132 <\displaystyle <\sqrt >>=<\sqrt <55,2132>>>
  c = 7 , 4306 <\displaystyle c=7,4306>
  Итак, длина Болотной тропы равна 7,4306 км.

• Проще пользоваться теоремой синусов. Поэтому сначала выясните, можно ли применить ее к данной задаче.

Дополнительные статьи

1. ↑https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
2. ↑http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
3. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-example
4. ↑http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=IntroductoryMathematics_TrigonometryTable.xml
5. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-example
6. ↑https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
7. ↑http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
8. ↑https://www.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/v/law-of-cosines-missing-angle
9. ↑http://www.mathopenref.com/arccos.html

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 4969.

Косинус угла зная стороны треугольника

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

• Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
• Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
• Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
• h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

• b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2

• a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

• b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
• c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

• Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов

Страница содержит полную информацию о теореме косинусов, а также калькулятор, с помощью которого можно найти стороны и угол треугольника и формулу теоремы косинусов.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники и устанавливает соотношение между сторонами треугольника и его углами.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.

От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
c» />
a» />
b» />

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.