Как найти ядро оператора

§ 7.2. Связь между координатами вектора — образа и вектора — прообраза. Ядро и образ линейного оператора

Линейный оператор , действующий из пространства в пространство , ставит в соответствие каждому вектору определенный вектор из . При этом вектор называется образом вектора , а вектор — прообразом вектора при отображении .

Пусть и — некоторые базисы линейных пространств и соответственно. Тогда , и координаты вектора — образа связаны с координатами вектора — прообраза соотношением

, (7.2.1)

в котором — матрица линейного оператора в паре базисов и .

В случае, когда пространства и совпадают, базисы и также совпадают, и формула (7.2.1) принимает вид

. (7.2.2)

Образом (областью значений) линейного оператора называется множество всех элементов вида . Образ линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность образа называется рангом оператора и обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество всех векторов пространства , которые переводятся оператором в нулевой вектор пространства . Ядро линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается .

Сумма ранга и дефекта оператора равна размерности пространства .

Ранг линейного оператора равен рангу матрицы этого оператора.

Базис системы векторов — столбцов матрицы линейного оператора образует систему координатных столбцов базиса образа . Базис подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей оператора образует базис ядра .

Пример 1. Из пространства с базисом в пространство с базисом действует линейный оператор , имеющий в данной паре базисов матрицу . Найдите столбец координат в базисе образа вектора и столбец координат в базисе прообраза вектора .

Решение. Столбец координат образа вектора в базисе находим непосредственно по формуле (7.2.1):

Для определения прообраза вектора по той же формуле (7.2.1) имеем

или, что то же самое,

Отсюда находим все прообразы вектора , где — свободная переменная, принимающая произвольные значения.

Пример 2. В пространстве с базисом линейный оператор переводит векторы , в векторы , соответственно. Найдите матрицу оператора в базисе .

Решение. Пусть — матрица оператора в базисе . Тогда из условий , по формуле (7.2.2) имеем ,

или, в подробной записи,

Отсюда получаем Следовательно, .

Пример 3. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора пространства , если этот оператор задан матрицей .

Решение. При помощи элементарных преобразований над строками матрицы приведём её к ступенчатому виду:

Отсюда следует, что . Базис составляют, например, векторы и .

Дефект оператора найдём по формуле

т.е. фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей будет состоять из одного вектора. Общее решение однородной системы можно записать в виде . Полагая получаем базисный вектор .

7.2.1. Линейный оператор переводит вектор в вектор. Найдите образ вектора и прообраз вектора , если

, ;

, .

7.2.2. Линейный оператор в паре базисов и имеет матрицу . Найдите прообраз вектора , если

, ;

б) , ;

в) , .

7.2.3. Выясните, существует ли линейный оператор двумерного пространства, переводящий векторы , соответственно в векторы , , и найдите матрицу этого оператора в базисе , :

а)

б)

в)

7.2.4. Выясните, существует ли линейный оператор трехмерного пространства, переводящий векторы , , соответственно в векторы , , , и найдите матрицу этого оператора в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов:

а)

б)

7.2.5. Для указанных линейных операторов пространства найдите дефект и ранг, а также постройте базисы ядра и образа. Каждый оператор описывается своим действием на произвольный вектор :

а)

б)

в)

7.2.6. Найдите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .

7.2.7. В пространстве рассмотрите разностный оператор

где — фиксированное число, отличное от нуля. Найдите его образ и ядро.

7.2.8. Найдите образ и ядро оператора проектирования (см. задачу 7.1.2) на параллельно и оператора отражения (см. задачу 7.1.3) в параллельно .

7.2.9. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора из , заданного в некотором базисе матрицей :

а) ; б) ; в) .

7.2.10. Найдите размерность линейного пространства всех линейных операторов, действующих в — мерном линейном пространстве и постройте базис пространства .

01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т. к то

и т. к. , то является подпространством пространства V.

является подпространством пространства V. #

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=<θ>

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.

Доказательство:

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Доказательство:

1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

Линейные операторы

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида линейное отображение , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Читать:

Как в повер поинте увеличить картинку

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂.
A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,

(1)

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.

(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx=Ax+Bx, x∈R,

(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Ce_j=Ae_j+Be_j=	n	(a_ij+b_ij)e_j
	∑
	j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица базис ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.

(11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=A(Bx), x ∈ R.

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.

(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)

(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.

(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Ox=0.

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

−A=(−1)A.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

База решенных примеров по высшей математике

Дана матрица линейного оператора. Найдены его образ и ядро, собственные числа и собственные векторы.

Печать
E-mail

Звезда активна Звезда не активна

1. Дана матрица линейного оператора. Найти его образ и ядро, собственные числа и собственные векторы.

Решение.

Множество всех векторов называется образом оператора A.

То есть в том и только том случае, когда найдется вектор $x\in R^3$ такой, что $y=Ax$ или, в координатной записи,

Найдем ядро оператора.

Определение. Ядром (или нуль-пространством) линейного оператора называется множество всех элементов из V , которые отображаются линейным оператором A в нулевой вектор. Ядро оператора A обозначается ker A.