Используя неравенство чебышева оценить вероятность того что

Используя неравенство чебышева оценить вероятность того что

Гмурман: теорвер, задача 243. Неравенство Чебышева

Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в 100 независимых испытаниях:

$$М (Х)=np=100*1/2=50; D(Х)= npq=100*1/2*1/2=25. $$

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожиданием М (Х) =50:

Используя неравенство чебышева оценить вероятность того что

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X — M(X)| < 0,2.

Найдем математическое ожидание и дисперсию ве­личины X:

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме (5.1).

.

Подставляя M(X) = 0,54, D(X) = 0,0144, ε = 0,2 окончательно получим

.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико.

Теорема Чебышева. Если Х₁, Х₂, ..Х_п, . — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

. (5.2)

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Пример. Последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, . Х_п, ... задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т. е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

.

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т. е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения X 2 _n:

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

Найдем математическое ожидание M(X 2 _n):

.

.

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом α 2 , т. е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, также равно а.

Теорема Чебышева (для частного случая). Если Х₁, Х₂, . Х_п. — попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число ε >0, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

. (5.3)

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

В качестве примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины X по абсолютной величине меньше заданного по­ложительного числа δ, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |X — a| < δ.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

, или .

Пользуясь формулой (4.19), получим

.

Приняв во внимание равенство

(функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

. (5.4)

В частности, при a = 0

.

На рис. наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-δ, δ), больше у той величины, которая имеет меньшее значение σ. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра σ (σ есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств |X — a| < δ и |X — a| ≥ δ, — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства |X — a| < δ равна р, то вероятность неравенства |X — a| ≥ δ равна 1—р.

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Воспользуемся формулой (5.4)

.

По условию, δ = 3, а = 20, σ =10. Следовательно,

.

По таблице приложения 2 находим Ф(0,3) = 0,1179.

.

Преобразуем формулу (5.4)

,

положив δ = σt. В итоге получим

.

Если t = 3 и, следовательно, σt = 3σ, то

.

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными.

В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема).

Центральная предельная теорема. Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х₁, Х₂, ..X_n. — последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

.

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

.

Говорят, что к последовательности X₁, Х₂, . применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при n→∞ стремится к нормальной функции распределения:

.

В частности, если все случайные величины Х₁, Х₂. одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин X_i (I = 1, 2, …) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для δ > 0 при n→∞ отношение Ляпунова

,

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х₁, Х₂, . применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (S_n — A_n) / B_n оказывало на сумму ничтожное влияние.

Первое неравенство Чебышева.

Пусть, для определенности, Х-СВНТ. Запишем по определению математическое ожидание от модуля случайной величины X :

Выберем произвольное e >0 , разобьем маршрут интегрирования на два непересекающиеся интервала и воспользуемся свойством аддитивности интеграла по области.

В силу неотрицательности подинтегральной функции получаем

откуда следует (3.1.1).

Следствие. Пусть Х 0 Þ по одному из свойств математического ожидания Þ m_X 0 Þ уравнение (3.1.1) перепишется в виде:

Второе неравенство Чебышева (в центрированной форме).

Пусть случайная величина Х имеет конечные m_X и Þ

Обозначим, как и ранее в главе 2, -центрированная случайная величина. Учитывая очевидное равенство

и применяя доказанное выше первое неравенство Чебышева (3.1.1), получим:

что и требовалось доказать.►

Пример 3.1.1. Пусть X-число бракованных изделий из 100 наудачу отобранных из большой партии, поступившей в продажу. За большой период посчитано, что в среднем для этого вида изделий брак составляет 1%. Оценить вероятность события <X 5 >.

Т.к. Х>0 и по условию m_X=0,01 × 100=1,то по следствию из первого неравенства Чебышева Þ P 5>

Пример 3.1.2. Пусть в условиях примера (3.1.1) известно, что .Оценить P 5>.

Заметим, что в силу условия X>0,

Заметим, что вероятность существенно уменьшилась!

Пример 3.1.3 Предположим, X

P_U( l = 1), что хорошо согласуется с данными задачи (одним из признаков этого является равенство: m_X= ) и соответствует закону редких явлений. Оценим снова вероятность события .

P 5> = Это более, чем в 17 раз меньше предыдущей оценки!

Пример 3.1.4. В условиях примера 3.1.2. оценить вероятность события 2 > .

◄ Очевидно, что в силу условия имеем следующую цепочку отношений между событиями

откуда и следует (3.1.4).

Отсюда по закону поглощения получаем

т.е. получили тривиальный результат ►

Сделаем некоторые выводы. Последние примеры показывают, что чебышевские оценки сверху вероятностей больших отклонений случайной величины X от ее математического ожидания являются довольно грубыми, что является платой за незнание закона распределения сл.вел. X . На практике неравенства Чебышева имеет смысл применять при условии . Однако теоретическое значение неравенств (3.1.1) – (3.1.3) большое, что будет ясно из дальнейшего.

Еще раз отметим, что рассмотренные выше примеры касались оценок сверху больших отклонений. Для получения оценок снизу следует перейти в неравенствах (3.1.1) – (3.1.3) к противоположным событиям. Например из (3.1.3) получаем:

Пример 3.1.5 Средняя длина детали, производимой на конвейерной линии, равна 50 см , а дисперсия 0,1 см 2 . Оценить снизу вероятность того, что длина случайно взятой детали окажется в интервале (49,5; 50,5).

◄ Пусть X –длина случайно взятой детали. Очевидно, что события и равносильны. Поэтому, согласно неравенству (3.1.5) P 1– ►

Пример 3.1.6. В условиях предыдущего примера оценить снизу вероятность события <49< X <52>.

Пример 3.1.7. Случайная величина X дискретного типа задана законом распределения

а) Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность события >.

б) Найти точное значение вероятности указанного события.

◄ а) Находим дисперсию: 0,09*0,2+0,36*0,8-0,54 2 =0,0144.

Далее, согласно неравенству (3.1.5), получаем:

P > 1– 1–0,36=0,64.

б) Используем закон распределения и цепочку очевидных равенств

Пример 3.1.8. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,03.

а) Оценить вероятность события , используя неравенство Чебышева.

б) Найти точное значение указанной вероятности.

◄ а) Согласно постановке эксперимента , где n = 10, p = 0,03. Поэтому =0,5; = =0,5*0,93. Далее используя (3.1.5), получаем

б) Для точного ответа на вопрос используем биномиальный закон и формулу Бернулли:

Пример 3.1.9. Игральная кость подбрасывается 6 раз. Пусть X – число выпадений четной цифры.

а) Оценить по Чебышеву вероятность события .

б) Найти точное значение указанной вероятности.

◄ а) По условию эксперимента , где n = 6, p = 0.3. Отсюда следует: , =1,3. Далее согласно неравенству (3.1.3):

б) Используем закон распределения:

Анализируя результаты последних трех примеров обнаруживаем следующую закономерность: оценки по Чебышеву сверху всегда завышены по сравнению с точными значениями вероятности, в то время как оценки снизу – занижены.

3.1.7. Средний срок службы автомобильной свечи зажигания 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данная свеча прослужит не более 8 лет.

3.1.8. Среднее значение расхода воды в некотором малом населенном пункте составляет 50000 л . в день. Оценить снизу вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды в предновогодний день не превысит 120000 л .

3.1.9. В сентябре в среднем наблюдается 7 дождливых дней. Оценить вероятность того, что в сентябре 2007г. число дождливых дней будет больше 10.

3.1.10. Пусть к данным задачи (3.1.7) добавлена информация, что =0,5 года. Оценить ту же вероятность.

3.1.11. * Неотрицательные случайные величины X и Y независимы, причем m_X = 6, m_Y = 4, =1,5, =2. Оценить снизу вероятности событий: , .

Ответы к упражнениям

3.1.11. , . Указание. Использовать линейность оператора математического ожидания. Для вычисления использовать свойство оператора дисперсии (формула (), гл.2).

Задание для самостоятельной работы

Понятие сходимости по вероятности.

Определение . Последовательность случайных величин сходится к случайной величине Х по вероятности при n ® , если

Достаточное условие сходимости по вероятности:

Здесь > – зависящая от неотрицательная неслучайная последовательность.

Замечание 1. В частных случаях в качестве предельной величины может выступать и не случайная величина (например M[X]).

Замечание 2. Для сходимости по вероятности принято краткое обозначение

Замечание 3. Сходимость по вероятности принципиально отличается от обычного понятия сходимости неслучайных последовательностей.

Пример 3.1 .10. Рассмотрим следующую последовательность случайных величин , где закон распределения Х_n описывается таблицей.

a) Показать , что

б) Можно ли утверждать, что последовательность реализаций данной случайной последовательности сходится к 0 в обычном смысле?

а) В силу неотрицательности имеем следующую цепочку равенств:

Таким образом, утверждение в пункте а) доказано.

б) Пусть эксперимент проведен и реализовалась последовательность x₁, x₂,…, x_n, где каждое x_n Î <0,n> Þ на n-ом месте этой последовательности при может оказаться число n (поскольку вероятность этого события ненулевая) Þ ни одна из сколь угодно малых окрестностей точки x=0 не может считаться "ловушкой" для последовательности <x_n>.Таким образом, нельзя считать, что последовательность реализаций сходится к нулю в обычном смысле.

Пусть <X_n> – последовательность случайных величин с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями. Для любого n Î N построим последовательность среднеарифметических , Þ получим последовательность Y₁,Y₂…Y_n.,…

Определение. Говорят, что к последовательности <X_n> применим закон больших чисел, если

Теорема 3.1.1 (закон больших чисел в формулировке Чебышева).

Пусть для последовательности <X_n> выполняются следующие условия:

1) Элементы последовательности попарно независимы;

Тогда для <X_n> выполняется закон больших чисел.

Согласно второму неравенству Чебышева в центрированной форме:

Вычислим дисперсию среднего арифметического:

что следует из условия 2) теоремы.

Используем достаточное условие сходимости по вероятности:

Замечание 1 . Теорема Чебышева остается верной, если заменить попарную независимость на попарную некоррелированность.

Замечание 2 . Условие некоррелированности так же можно снять, но тогда придется вводить более жесткие условия для дисперсии (см. теорему Маркова в [3]).

Замечание 3 . Имеют место следующие частные случаи проявления закона больших чисел:

1) то есть дисперсии членов последовательности равномерно ограничены Þ условие 2) выполняется;

2) все X_k попарно независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию

В последнем случае закон больших чисел формулируется следующим образом: “среднее арифметическое первых n членов последовательности сходится по вероятности к их общему мат.ожиданию ”. В краткой записи:

Теорема 3.1.2. (Закон больших чисел в формулировке Бернулли.

Пусть X_n — число успехов в n опытах по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном опыте, равным p (в краткой записи:X_n

B(n,p)). Обозначим -относительная частота успехов. Тогда справедливо следующее утверждение:

При увеличении числа опытов по схеме Бернулли относительная частота успехов сходится по вероятности к вероятности успеха в одном опыте.

Обозначим I_k – индикатор успеха в k-ом опыте. Очевидно, что I_k

B(1,P), k Î N. При любом n элементы последовательности I₁,I₂…I_n – независимы в совокупности, а потому и попарно независимы. Условие 1) теоремы Чебышева выполняется. Кроме того: M[I_k]=p, D[ I_k]=p × q, Þ выполняется частный случай 2) теоремы Чебышева Þ

Теорема Бернулли играет большую роль в математической статистике, составляя основу для оценивания неизвестной вероятности событий в реальных экспериментах.

Пример 3.1.11. Случайная двоичная последовательность, вырабатываемая на ЭВМ, делится на группы из одинаковых символов (нулей и единиц). Обозначим — число знаков в i -ой группе; — среднее число знаков в серии, вычисленное по n сериям. Доказать, что последовательность сходится по вероятности к 2.

◄ Из условия следует, что последовательность — независимые случайные величины одинаково распределенные по закону Гео( p = 0,5). Как было показано в главе 2, для геометрического распределения

Таким образом, удовлетворяются условия частной теоремы Чебышева (случай 2)) Отсюда следует, что

=2, что и требовалось доказать ►

Пример 3.1.12. В последовательности случайные величины попарно независимы и распределены по закону . Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

◄ Используя известные характеристики равномерного распределения, получаем: =0, = . Проверим второе условие теоремы Чебышева:

Таким образом, условие 2) не выполняется и данная последовательность не подчиняется закону больших чисел.►

Пример 3.1.13. (сборка точных механизмов). Пусть — случайная длина детали, сходящей с конвейера. Известны ее основные характеристики:

=10 см, = =0,04 см 2

Относительную точность изготовления детали можно характеризовать отношением . Производится сборка 9 подобных деталей (т.е. их длины складываются). Обозначим . Вычислить относительную точность для Y , т.е. отношение .

◄ Считая, что длина каждой изготовленной детали не зависит от остальных и используя свойства операторов матожидания и дисперсии, получаем:

Отсюда следует: = . Таким образом, относительная точность собранной детали повысилась в 3 раза. ►

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: проявление закона больших чисел связано главным образом с тем, что сумма конечного числа независимых случайных слагаемых имеет меньший относительный разброс, измеряемый отношением С.К.О. к математическому ожиданию, чем у отдельно взятого слагаемого.

Задание для самостоятельной работы

Решить задачи 18.550 – 18.555 из задачника [1], предварительно прочитав теоретическую преамбулу параграфа 5 и разобрав решение примера 1.

Используя неравенство чебышева оценить вероятность того что

неравенство чебышева оценить вероятность

Задача 654tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,9; D(X)=0,09.

Задача 655tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,9; D(X)=0,09.

Задача 656tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,6; D(X)=0,64.

Задача 657tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,1; D(X)=1,89.

Задача 658tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,7; D(X)=0,21.

Задача 659tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,6; D(X)=0,24.

Задача 660tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,6; D(X)=0,24.

Задача 661tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,5; D(X)=0,25.

Задача 662tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3; D(X)=1.

Задача 663tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,2; D(X)=2,16.

Задача 664tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,4; D(X)=0,24.

Задача 665tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,3; D(X)=0,21.

Задача 666tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,4; D(X)=0,64.

Задача 667tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,2; D(X)=0,16.

Задача 668tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,1; D(X)=0,09.

Задача 669tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,2; D(X)=0,36.

Задача 670tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=4,1; D(X)=0,09.

Задача 671tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=3,8; D(X)=0,16.

Задача 672tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,8; D(X)=0,16.

Задача 673tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,8; D(X)=0,36.

Задача 674tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,4; D(X)=0,84.

Задача 675tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,2; D(X)=0,96.

Задача 676tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2; D(X)=1.

Задача 677tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,8; D(X)=0,96.

Задача 678tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,6; D(X)=0,84.

Задача 679tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,9; D(X)=1,89.

Задача 680tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,4; D(X)=0,64.

Задача 681tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=2,2; D(X)=2,16.

Задача 682tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,3; D(X)=0,81.

Задача 683tv

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |X–M(X)| ? ε, где ε=1,2.
M(X)=1,6; D(X)=1,44.