3.2. Примеры решения задач
Задание 1. Доказать, используя определение предела последовательности, что . Найти номер элемента последовательности, начиная с которого последовательность отличается от своего предела не более, чем на 0,001.
Решение. Доказать, что – это значит указать такой номер , что все элементы последовательности, начиная с этого номера, не больше чем на по модулю отличаются от .
Если достаточно большое настолько, что , то равенство выполняется . Значит, для в качестве можно выбрать 1.
Если , то из неравенства следует, что и в качестве можно выбрать любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству, например ( – целая часть числа ).
Задание 4. Доказать, что последовательность является неограниченной, но не является бесконечно большой.
Решение. Решение состоит из двух частей. Доказать, что последовательность неограниченна, т. е. , другими словами, последовательность содержит сколь угодно большие элементы. Тем не менее, эта последовательность не является бесконечно большой, т. е. для последовательности неверно утверждение , а верно обратное утверждение . Другими словами, в последовательности есть элементы со сколь угодно большими номерами, модуль которых не превосходит некоторого числа.
В данном случае . При – нечётных , при — чётных .
Докажем первую часть утверждения. Выберем произвольное сколь угодно большое и найдём такой номер , что . Если нечётно, то . Из неравенства следует, что в качестве можно выбрать любое нечётное число, большее, чем .
Чтобы доказать вторую часть утверждения, обратим внимание на то, что все элементы последовательности с чётными номерами . Если (например ), то какой бы мы ни указали номер , найдется номер больше (чётный), такой, что .
Таким образом, последовательность не является бесконечно большой.
Пример 1. Доказать, что последовательность имеет предел.
Решение. Покажем, что последовательность монотонно возрастающая.
Сравним последовательность с последовательностью
, каждый член – сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем .
Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е. , при имеем .
Так как , то . Итак, все условия теоремы о сходимости монотонной и ограниченной последовательности выполнены, следовательно, последовательность имеет предел. Обратите внимание на то, что не является , поэтому нельзя утверждать, что .
Пример 2. Доказать, что последовательность
имеет предел, и вычислить его.
Решение. Покажем, что последовательность:
А) ограничена сверху;
Б) монотонно возрастает.
При доказательстве пункта а) используем метод математической индукции. Очевидно, что . Предположим, что для произвольного номера выполняется неравенство , тогда . В соответствии с методом математической индукции неравенство выполняется для любого номера, т. е. , следовательно, последовательность ограничена сверху. б) Докажем, что , снова используя метод математической индукции. Очевидно, что . Пусть .
, но так как , то , значит, для .
Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, значит, она имеет предел. Вычислим его. Пусть . Так как , то . Поскольку
, но , , тогда , . Так как мы установили, что , то отбрасываем. Итак .
При выполнении заданий 6, 7, 8 используется следующий результат
Задание 6. Вычислить предел
Решение. При нахождении предела отношения двух многочленов необходимо сравнить степени в числителе и в знаменателе. При кажущейся простоте этой операции она требует определенного внимания и навыков. Рассмотрим предел =Приведем подобные члены
Так как наивысшие степени в числителе и знаменателе равны между собой , то предел равен отношению коэффициентов при наивысших степенях.
Задание 7. Вычислить предел .
Решение. Отметим, что
В следующем задании предлагается найти предел выражения, которое представляет собой сумму, число слагаемых которой возрастает с ростом . В этом случае нельзя переходить к пределу в каждом слагаемом отдельно. Предел можно вычислить, предварительно просуммировав слагаемые под знаком предела. С этой целью используются известные формулы суммирования членов арифметической и геометрических прогрессий.
Пример 1. Найти предел числовой последовательности
Решение. Преобразуем заданное выражение
В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии со знаменателем . Сумма членов арифметической прогрессии равна . В нашем примере , , число членов , тогда .
Пример 2. Найти предел числовой последовательности
Решение. Преобразуем заданное выражение
Таким образом, мы имеем сумму членов двух геометрических прогрессий, знаменатель одной из них , первый член , знаменатель другой , первый член .
Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е.
Для первой прогрессии ,
Для второй прогрессии ,
Пример 1. Вычислить предел
Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением
И домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
При вычислении предела было учтено, что , .
Пример 2. Вычислить предел
Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
Задание 10. Вычислить предел .
Решение. Так как , то – величина бесконечно малая, , т. е. – величина ограниченная. Произведение величины ограниченной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая, т. е.
Понятие предела последовательности
1. По определению число 
называется пределом числовой последовательности
, если
. Это означает, что
неравенство
имеет решение
.
2. Находим, при каких 
справедливо неравенство
,
т.е. решаем это неравенство относительно 
.
3. Если решение имеет вид 
, то
– предел числовой последовательности
.
Замечание. Если решение неравенства
нельзя представить в виде
, то число
не является пределом последовательности.
Задача 1.Доказать, что
(указать
).
Покажем, что для любого 
существует такой номер
, что
для всех
.
.
.
Из последнего неравенства следует, что можно выбрать 
(квадратные скобки означают целую часть) и при любых
будет выполняться неравенство
. Значит, по определению предела последовательности
.
Вычисление пределов вида
Постановка задачи.Вычислить предел
,
,
.
Здесь 
– многочлен степени
(бесконечно большая последовательность порядка
) и
– многочлен степени
(бесконечно большая последовательность порядка
).
1. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
2. Вынесем в знаменателе множитель 
, получим
, где
.
.
если 
, то
;
если 
, то
;
если 
, то по теореме о пределе частного
.
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Вычисление пределов вида
Постановка задачи. Вычислить предел
,
где />– бесконечно большая последовательность порядка
и
– бесконечно большая последовательность порядка
(
).
1. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
2. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
.
если 
, то
;
если 
, то
;
если 
, то по теореме о пределе частного
.
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Вычисление пределов вида 
Постановка задачи.Вычислить предел
,
где 
– бесконечно большая последовательность порядка
и
– бесконечно большая последовательность порядка
(
).
План решения.
1. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
2. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
.
если 
, то
;
если 
, то
;
если 
, то по теореме о пределе частного
.
Замечание.Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Вычисление пределов вида 
Постановка задачи. Вычислить предел
,
где 
– бесконечно большая последовательность порядка
и
– бесконечно большая последовательность порядка
(
).
План решения.
1. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
2. Вынесем в числителе множитель 
, получим
, где
.
.
если 
, то
;
если 
, то
;
если 
, то по теореме о пределе частного
.
Замечание. Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Вычисление пределов вида
Постановка задачи.Вычислить предел последовательности
,
где 
и
.
1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:
,
где 
– бесконечно малая последовательность при
. Так как
при
, то
.
2. Если 
(
) и
, то
.
Следовательно, если существует предел
,
то окончательно имеем
.
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Доказать через определение предела
Доказать через определение предела, подробнее, пожалуйста, т.к. не понимаю, что делать нужно.
- lim x стремится к бесконечности (x^2+x+1)/(2x+5) = бесконечности
- Lim x стремится к единице (x^4+2x^3+5) = 8
- Lim x стремится к бесконечности (2x-1)/(x+3) = 2
Заранее спасибо ! 🙂
задан 19 Ноя ’13 12:40
1) разделите числитель и знаменатель на $%x$%. Числитель будет стремиться к бесконечности, знаменатель — к двум, т.е. частное тоже к бесконечности.
2) просто подставьте $%x=1$%.
3) числитель и знаменатель делим на $%x$% и применяем теорему о пределе частного: предел числителя равен 2, предел знаменателя равен 1.
Нужно доказать, а не решить, вот в чем проблема, с помощью, как я поняла определения Коши.
Слово «доказать» означает вывести из известных положений: аксиом, опредлений, лемм, теорем. Все перечисленные утверждения выводятся из теорем о пределах. Если же этими теоремами пользоваться не разрешено, то в условии задачи такая вещь должна быть явно оговорена. Рассуждения при этом становятся несколько более сложными, но возможно доказательство, опирающееся только на определение предела и на элементарные свойства неравенств. Если нужно, я по каждому пункту могу продемонстрировать, как это делается.
1 ответ
3) Докажем из определения, что $$\lim\limits_
отвечен 19 Ноя ’13 15:46
Если вас не затруднит, то напишите, пожалуйста, как это же доказательство нужно сделать, но для лимита равного не конкретному числу, как в этом примере числу 2, а бесконечности. А будет ещё лучше, если для оставшихся двух моих примеров, чтоб уж наверняка понимать как и что делать. Заранее спасибо 🙂
Это достаточно просто: пусть в примере 1 число $%x$% достаточно большое — например, $%x\ge5$%. Тогда знаменатель не превосходит $%3x$%, а числитель больше $%x^2$%. Сама дробь при этом больше $%x/3$%. Чтобы она оказалась больше заданного числа $%M$%, достаточно положить $%x\ge3M$%. Скажем, при $%x\ge3000$% значение дроби будет больше тысячи и т.п.
Пример 2 там тоже простой. Рассмотрим разность функции и значения предполагаемого предела. Получится $%(x^4-1)+2(x^3-1)$%. Выделим множитель $%x-1$% и посмотрим на то, что осталось. Там будет $%x^3+x^2+x+1+2(x^2+x+1)=x^3+3x^2+3x+3$%, хотя конкретный вид не так важен. Потребуем сначала, чтобы было $%|x-1| < 1$%. Тогда $%x < 2$%, и выделенный множитель меньше некой константы — пусть это будет 100. Получается, что модуль разности $%|f(x)-a|$% меньше $%100|x-1|$%. Тогда требуем, чтобы было $%|x-1| < \varepsilon/100$%.
Предел последовательности и предел функции по Коши
Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется 😉 Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся:
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:
– квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;
– квантор существования, – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
А теперь попытайтесь прочитать строку целиком.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
Определение предела последовательности
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность :
Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.
Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .
Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Начинающим рекомендую 2-3 раза перечитать вышесказанное + параграф понятие предела последовательности предыдущего урока, где я объяснил то же самое, но без математических значков.
Закрепим материал практикой:
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.
К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Используя определение последовательности, доказать, что
Решение: по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух. ).
Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.
И округляем результат:
Вывод: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять, вычитая, скажем, единицу:
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Используя определение последовательности, доказать, что
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»:
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно). Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции: «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют), принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне: число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки ». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »:
Используя определение предела, доказать, что
Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из неравенства следует неравенство .
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен)
После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли -окрестность, ТАКАЯ что из неравенства следует неравенство ?»
Конечно, существует, например, . В этом случае из неравенства следует (формально оно же само). Следует отметить, что в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства тем более следует, что (из того, что «в кармане меньше 50 рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное» значение, в данном примере .
Вывод: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлась окрестность точки , такая, что из неравенства следует неравенство . Таким образом, по определению предела функции. Ч.т.д.
Небольшое задание для самостоятельного решения.
Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения 😉
Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них.
Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется двумя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции равен «плюс бесконечности» при , если для любого сколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность: (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность: (синяя стрелка):
Сокращённая запись: , если
Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно:
Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы , для открытых к бесконечности – буквы . Ответы в конце урока.
Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе.
Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучению непрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначала учимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т.д.
Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё.
Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю!
Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету!
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено:
Преобразуем неравенство:
(подумайте, почему)
Для всех «эн»: , поэтому:
Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что выполнено . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать.
Формулировка предела:
, если
Пример 5: Решение: функция определена на всей числовой прямой. Используя определение , докажем существование предела в точке .
Рассмотрим произвольную -окрестность и проверим, найдётся ли -окрестность, такая что из неравенства следует .
Преобразуем неравенство с «эпсилон»:
В качестве искомой окрестности выбираем .
Вывод: для любой сколь угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что , следовательно, по определению. Ч.т.д.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!