Пропорциональное деление
Пропорциональное деление — деление какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.
Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.
Деление числа на пропорциональные части
Пример 1. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.
Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит, число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:
Число 10 — одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:
Ответ: 2:3 = 20:30.
Пример 2. Разделить число 90 на три слагаемых пропорционально числам 1, 2 и 3.
90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15;
Ответ: 1:2:3 = 15:30:45.
Длинные отношения вида 1:2:3 называются сложными. Сложные отношения — это условные записи, показывающие, сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.
Пример. Разделить число 66 на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 3:2, а вторая к третьей, как 5:4.
Первый способ: обозначим искомые части буквами a, b и c. Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на 5, а второго на 2:
a:b = 3:2 = 15:10;
b:c = 5:4 = 10:8;
значит a:b:c = 15:10:8. Так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) · 15 = 30;
b = (66 : 33) · 10 = 20;
c = (66 : 33) · 8 = 16.
Второй способ: обозначим искомые части буквами a, b и c:
a:b = 3:2;
b:c = 5:4.
Если первая часть a равна 3, вторая b равна 2, то третью часть c можно определить из пропорции:
Следовательно, c равно:
| c = | 2 · 4 | = | 8 | , |
| 5 | 5 |
| a:b:c = 3:2: | 8 | . |
| 5 |
Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:
a:b:c = 15:10:8,
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) · 15 = 30;
b = (66 : 33) · 10 = 20;
c = (66 : 33) · 8 = 16.
Деление на части, обратно пропорциональные числам
Пример. Разделить число 62 на три части обратно пропорционально числам 2, 3 и 5, то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как
| 1 | : | 1 | : | 1 | . |
| 2 | 3 | 5 |
Решение: Обозначим искомые части буквами a, b и c. Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:
Уроки математики и физики для школьников и родителей
Двое рабочих заработали 9000 руб. Один работал 2 недели, а другой 8 недель. Сколько денег заработал каждый ?
Исходя из условия задачи, можно найти как оплачивается одна неделя такой работы :
9000 : (8 + 2) = 900 руб за неделю .
Теперь можно рассчитать, сколько заработал каждый рабочий пропорционально времени потраченному каждым из них на работу :
900 ∙ 2 = 1800 руб – первый рабочий ,
900 ∙ 8 = 7200 руб – второй рабочий.
ОТВЕТ: 1800 руб , 7200 руб
Два куска одинаковой ткани стоят 360 руб. В одном из них 5 м, а в другом 4 м. Сколько стоит каждый кусок ткани ?
Составим краткую запись к задаче в виде таблицы .
Мы знаем стоимость 2 кусков ткани – 360 руб.
Значит, можем узнать, за сколько метров заплатили 360 руб .
Теперь найдём, сколько стоит 1 м ткани .
360 : 9 = 40 (руб).
Затем найдём стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м .
40 ∙ 5 = 200 (руб),
40 ∙ 4 = 160 (руб).
ОТВЕТ: 200 руб , 160 руб
В одном мешке было 56 кг муки, а в другом – 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка ?
Составим краткую запись в виде таблицы .
Теперь найдём, сколько муки находится в одном пакете.
80 : 40 = 2 (кг).
Так как в одном пакете 2 кг муки, а в первом мешке 56 кг, значит для расфасовки 56 кг муки необходимо 28 пакетов .
А для расфасовки 24 кг муки необходимо 12 пакетов .
ОТВЕТ: 24 пакета , 12 пакетов
Двое рабочих вместе заработали 12500 руб, один рабочий работал 4 дня, а другой работал 6 дней. Как они должны разделить заработанные деньги ?
Прежде всего, устанавливается какая зависимость между этими величинами. Она прямо пропорциональная .
Первый рабочий должен взять 4 такие части общего заработка, каких второй рабочий возьмёт 6 , то есть заработок первого рабочего, относится к заработку второго рабочего, как
Если обозначить
х 1 – заработок первого рабочего, а
х 2 – заработок второго рабочего,
то можно записать :
х 1 : х 2 = 4 : 6 = 2 : 3.
х 1 = 12500 – х 2 , то
(12500 – х 2 ) : х 2 = 2 : 3, или
37500 – 3 х 2 = 2 х 2
х 2 = 37500 : 5 = 7500 (руб) ,
х 1 = 12500 – 7500 = 5000 (руб) .
ОТВЕТ: 7500 руб , 5000 руб
Рассмотрим задачи деления числа прямо пропорционально трём и более числам.
Чтобы приготовить щи из свежей капусты, берут мясо, свежую капусту, помидоры и масло в отношении
25 : 25 : 10 : 2 .
Сколько надо взять этих продуктов, если мяса взяли 300 г ?
Обозначим величину одной части – х, тогда
25х (г) – капуста,
25х (г) – мясо,
10х (г) – помидоры,
2х (г) – масло.
Так как мяса взяли 300 г, то вес одной части будет равен :
25х = 300, х = 12.
Вычислив вес одной части, можно найти массу каждого из продуктов :
25 ∙ 12 = 300 (г) – капуста,
10 ∙ 12 = 120 (г) – помидоры,
2 ∙ 12 = 24 (г) – масло.
300 г , 300 г , 120 г , 24 г
В тугоплавком стекле содержится кремнезём, известь и поташ в отношении 9 : 1,7 : 1,3 . Определите вес колбы, сделанной из этого стекла, если она содержит кремнезёма на 385 г больше, чем поташе.
кремнезем : известь : поташ =
= 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 : 13.
х – коэффициент пропорциональности, тогда
90х – кремнезем,
17х – известь,
13х – поташ.
Известно, что кремнезема на 385 (г) или (90х – 13х) (г) больше, чем поташе, значит
тогда вес колбы будет равен :
90х + 17х + 13х =
= х(90 + 17 + 13) =
= 5 ∙ 120 = 600 (г).
ОТВЕТ: 600 г
Разделите 38 груш на три части так, чтобы :
Записать отношения в виде одного ряда невозможно, так как в первом и втором отношении II часть выражена различными числами, поэтому, сначала освобождаемся от дробей :
А затем преобразуем отношения так, чтобы в обеих строчках II часть была выражена одинаковым числом, желательно наименьшим, то есть этим числом является
II : III = 15 : 105,
I : II : III = 32 : 15 : 105.
х – коэффициент пропорциональности, тогда :
32х – I часть груш ,
15х – II часть груш ,
105х – III часть груш ,
Всего 38 груш, или
32х + 15х + 105х = 152х,
15х = 1 / 4 ∙ 15 = 3 3 / 4 (груш),
105х = 1 / 4 ∙ 105 = 26 1 / 4 (груш),
ОТВЕТ: 8 груш , 3 3 / 4 груш , 26 1 / 4 груш
Что значит пропорционально сумме
Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным [1] .
Равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин в математике называется пропорцией.
Содержание
Пример [ править | править код ]
Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина имеют массу 1,6 кг, 5 л имеют массу 4 кг, 7 л имеют массу 5,6 кг. Отношение массы к объёму при одинаковых условиях всегда будет равно плотности:
1 , 6 : 2 = 4 : 5 = 5 , 6 : 7 = 0 , 8. <displaystyle 1<,>6:2=4:5=5<,>6:7=0<,>8.>
Коэффициент пропорциональности [ править | править код ]
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой [1] .
Символ [ править | править код ]
Математический символ ∝ <displaystyle propto > используется для указания пропорциональности двух величин. Например, A ∝ B <displaystyle Apropto B> .
В Юникоде для отображения используется символ U+221D.
Прямо пропорциональные величины [ править | править код ]
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Пример: такие величины, как скорость объекта и пройденное им расстояние являются прямо пропорциональными.
Обратная пропорциональность [ править | править код ]
Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины (функции).
y = k x , x ≠ 0 , k ≠ 0 <displaystyle y=<frac >,;x
eq 0,;k
eq 0>
- Область определения D ( y ) = ( − ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) <displaystyle D(y)=(-infty ;0)cup (0;+infty )>
- Область значений E ( y ) = ( − ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) <displaystyle E(y)=(-infty ;0)cup (0;+infty )>
- Функция нечётна, так как f ( − x ) = k − x = − k x = − f ( x ) <displaystyle f(-x)=<frac <-x>>=-<frac >=-f(x)>
- Функция убывает на каждом из множеств ( − ∞ ; 0 ) <displaystyle (-infty ;0)>и ( 0 ; + ∞ ) <displaystyle (0;+infty )>по отдельности для 0>"> k > 0 <displaystyle k>0>0"/> и возрастает на каждом из них по отдельности при k 0 <displaystyle k .
- Графиком обратной пропорциональности является гипербола с эксцентриситетом 2 <displaystyle <sqrt <2>>>.
Толковый словарь Ефремовой . Т. Ф. Ефремова. 2000 .
Смотреть что такое "Пропорционально" в других словарях:
пропорционально — пропорционально … Орфографический словарь-справочник
пропорционально — См. сообразно. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. пропорционально кстати, сообразно; соответственно, стройно, складно, рационально, соразмерно, гармонично, согласно, в… … Словарь синонимов
ПРОПОРЦИОНАЛЬНО — (от слова пропорциональный). Соразмерно. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНО от слово пропорциональный. Соразмерно. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский… … Словарь иностранных слов русского языка
пропорционально — соразмерно Пропорция (порция, размер) соразмерность Ср. Он был маленький, ниже среднего роста, но его гибкая фигура, сложенная изящно и пропорционально, скрадывала этот недостаток. М. Горький. Варенька Олесова. 2. Ср. Пропорция земли, пищи… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона
Пропорционально — Пропорціонально соразмѣрно. Пропорція (порція, размѣръ) соразмѣрность. Ср. Онъ былъ маленькій, ниже средняго роста, но его гибкая фигура, сложенная изящно и пропорціонально, скрадывала этотъ недостатокъ. М. Горькій. Варенька Олесова. 2. Ср.… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
пропорционально — см. Пропорциональный … Энциклопедический словарь
ПРОПОРЦИОНАЛЬНО — В пропорции к общей сумме. Термин, означающий распределение чего либо между определенным числом лиц в соответствии с каким либо фактором. 1. Распределение страховой суммы по одному полису на несколько объектов или месторасположений, на которые… … Страхование и управление риском. Терминологический словарь
пропорционально — пропорциональность … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
пропорционально — см. пропорциональный 1), 2); нареч. Увеличиваться, уменьшаться пропорциона/льно чему л … Словарь многих выражений
пропорционально длинный — пропорционально длинный … Орфографический словарь-справочник
Пропорциональное деление – деление какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.
Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.
Деление числа на пропорциональные части
Пример 1. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.
Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит, число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:
Число 10 – одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:
Пример 2. Разделить число 90 на три слагаемых пропорционально числам 1, 2 и 3.
90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15
Ответ: 1:2:3 = 15:30:45
Длинные отношения вида 1:2:3 называются сложными. Сложные отношения – это условные записи, показывающие, сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.
Пример. Разделить число 66 на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 3:2, а вторая к третьей, как 5:4.
Решение. Первый способ: обозначим искомые части буквами a, b и c. Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на 5, а второго на 2:
| a:b = 3:2 = 15:10 | значит a:b:c = 15:10:8 |
| b:c = 5:4 = 10:8 |
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) · 15 = 30
b = (66 : 33) · 10 = 20
c = (66 : 33) · 8 = 16
Второй способ: обозначим искомые части буквами a, b и c:
Если первая часть a равна 3, вторая b равна 2, то третью часть c можно определить из пропорции:
Следовательно, c равно:
| c = | 2 · 4 | = | 8 |
| 5 | 5 |
| a:b:c = 3:2: | 8 |
| 5 |
Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) · 15 = 30
b = (66 : 33) · 10 = 20
c = (66 : 33) · 8 = 16
Деление на части, обратно пропорциональные числам
Пример. Разделить число 62 на три части обратно пропорционально числам 2, 3 и 5, то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как
| 1 | : | 1 | : | 1 |
| 2 | 3 | 5 |
Решение: Обозначим искомые части буквами a, b и c. Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:
Как распределить число пропорционально числам
Часть четвёртая.
ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН
Глава двадцать первая.
Пропорциональное деление.
§ 138. Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.
Задача. В саду на двух участках посажено 224 штуки рассады клубники. Определить, сколько штук рассады посажено на каждом участке, если площадь первого участка 8 кв. м, а площадь второго 24 кв. м. (На каждом квадратном метре земли сажают рассаду в среднем поровну.)
Будем решать эту задачу так. Сначала определим площадь двух участков вместе:
Итак, площадь двух участков вместе 32 кв. м. Определим теперь, сколько штук рассады приходится на 1 кв. м:
224 : 32 = 7 (штук).
Зная сколько рассады приходится на 1 кв. м, мы легко вычислим число штук рассады на 8 кв. м и на 24 кв.. м, т. е. ответим на вопрос задачи:
7 • 24 = 168 (штук).
Подумаем теперь, какие величины входят в нашу задачу и как они связаны между собой. В условие задачи входят две величины: 1) количество штук рассады, 2) площадь участка. Эти две величины прямо пропорциональны одна другой, потому что, чем больше площадь участка, тем больше на нём можно посадить рассады. Расположим числа, с которыми мы имели дело в задаче, так, чтобы их удобно было сравнивать:
8 кв. м — 56 штук
24 кв. м — 168 штук
Из этой таблички видно, что второй участок втрое больше первого и рассады на нём в три раза больше, чем на первом.
Итак, в этой задаче мы разделили число штук рассады пропорционально площадям двух участков. Это и есть одна из возможных задач на пропорциональное деление. Как же решаются такие задачи? В задаче требовалось число 224 разделить на две части, пропорциональные числам 8 и 24, т. е. разделить это число на такие две части, которые относились бы между собой так же, как 8 : 24. Обозначим величину первой части буквой х, а второй части — у и напишем отношение этих частей:
Для нахождения этих частей были выполнены следующие действия. Число 224 разделили на сумму чисел 8 и 24 и затем найденное частное последовательно умножили сначала на 8, а потом на 24, т. е.
Словами эти равенства можно высказать так: чтобы разделить некоторое число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.
Рассмотрим другую задачу: «За три куска мыла одного и того же сорта заплатили 40 руб, Сколько заплатили за каждый из них, если первый кусок весил 2 кг, второй 3 кг и третий 5 кг?»
В этой задаче требуется разделить 40 руб. на 3 части пропорционально весу отдельных кусков мыла. Обозначим стоимость первого куска буквой х, второго куска — у и третьего — z.
Воспользуемся правилом, выведенным при решении первой задачи. Согласно этому правилу для нахождения искомых чисел необходимо число, подлежащее делению, разделить на сумму данных чисел и полученное частное умножить последовательно на каждое из них. Следовательно:
Таким образом, первый кусок мыла стоит 8 руб., второй 12 руб. и третий 20 руб. Найденные числа рублей х, у, z находятся между собой в таких же отношениях, как и данные в задаче числа весовых единиц, т. е.
х : у : z = 8 : 12 : 20 = 2 : 3 : 5.
Рассмотрим теперь задачу с отвлечёнными числами. Разделить число 180 на три части пропорционально числам 3; 5; 7. Иными словами: в этой задаче требуется разложить число 180 на такие три слагаемых, чтобы первое относилось ко второму, как 3 к 5, второе относилось к третьему, как 5 к 7 и, наконец, первое к третьему, как 3 к 7. Сокращённо это можно написать так:
х : у : z = 3 : 5 : 7,
где х, у, z обозначают соответственно первое, второе и третье число.
Содержание этой задачи можно пояснить ещё так: требуется разложить число 180 на 3 числа так, чтобы первое число содержало три части (три доли, три пая), второе — пять таких же частей и третье — семь таких же частей.
Применяя указанное выше правило, можем написать:
Полученные три числа удовлетворяют условию задачи: они в сумме составляют 180, т. е.
36 + 60 + 84 = 180 и 3 : 5 : 7 = 36 : 60 : 84.
Мы решили три задачи на пропорциональное деление. Покажем теперь другие способы решения таких задач.
Задача 1. Определить квартирную плату за каждую из двух комнат (8 кв. м и 24 кв. м), если за обе вместе нужно заплатить 64 руб.
Обозначим плату за 1 кв. м буквой х; тогда за первую комнату нужно будет заплатить 8x, а за вторую — 24x. Значит, за обе комнаты вместе надо заплатить 8х + 24х, что составляет 64 руб. Следовательно, можно записать равенство:
8х + 24х = 64.
32x= 64;
х = 64 : 32 = 2 (руб.).
Дальше задача решается так:
Задача 2. Найти стоимость каждого из трёх пакетов муки, если все три пакета стоят 40 руб., а вес первого 2 кг, второго 3 кг и третьего 5 кг.
Обозначим цену одного килограмма буквой х, тогда:
2 кг будут стоить 2х ;
а вся мука будет стоить:
2х + 3х + 5х = 40.
10х = 40; х = 40 : 10 = 4 (руб.).
После этого легко определить стоимость каждого пакета;
2х = 2 • 4 = 8 (руб.);
3х = 3 • 4 = 12 (руб.);
5х = 5 • 4 = 20 (руб.).
Задача 3. Разделить число 1 800 на три слагаемых пропорционально числам: 3, 5 и 7.
Рассуждаем так: в первом слагаемом 3 части, во втором 5 и в третьем 7.
Обозначая величину одной части буквой х, можно написать:
3х + 5х + 7х =1 800.
15х = 1 800; х = 1 800 : 15 = 120.
3х = 3 • 120 = 360;
5х = 5 •120 = 600;
7х = 7 • 120=840.
Решим теперь задачу, в которой "некоторое число придётся разделить на четыре части пропорционально дробным числам.
Задача. Разделить 968 на четыре части пропорционально числам: 2 /3 , 3 /4 , 2 /5 и 3 /8.Это значит, что надо найти четыре таких числа (х, у, z, t), отношения которых были бы равны соответствующим отношениям данных чисел, т. е.
а сумма x + y + z + t = 968.
Заменим отношения дробных чисел отношениями целых чисел, для чего приведём эти дроби к общему знаменателю:
Отбрасывая общий знаменатель 40, получим: 60 : 30 : 16 : 15. Вычислим последовательно каждое из искомых чисел:
§ 139. Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.
Теперь перейдём к решению задач, в которых придётся некоторое число делить обратно пропорционально данным числам.
Задача. В двух полевых бригадах 70 колхозников. Каждой бригаде поручено обработать одинаковые участки. Сколько колхозников в каждой бригаде, если первая бригада выполнила работу в 6 дней, а вторая — в 8 дней? (Предполагается, что все колхозники работают с одинаковой производительностью труда.)
Очевидно, мы не имеем права делить число колхозников на две части пропорционально времени, которое каждая бригада употребила на работу, так как та бригада, которая быстрее окончила свою работу, была, по-видимому, более многочисленная, чем другая. Поэтому решать эту задачу так же, как мы решали предыдущие задачи, нельзя.
Будем рассуждать следующим образом. Первая бригада колхозников окончила свою работу в 6 дней; значит, в один день она выполняла 1 /6 часть всей работы; вторая бригада окончила такую же работу в 8 дней, значит в один день она выполняла 1 /8 всей работы.
Сравним теперь работу, которую выполняет в день первая бригаду с работой, выполняемой в день второй бригадой. Эти работы выражаются дробями 1 /6 и 1 /8. Первая дробь больше второй. Значит, первая бригада в один день может делать больше, чем вторая. А так как все колхозники работают с одинаковой производительностью труда, то, значит, в первой бригаде больше колхозников, чем во второй. Таким образом, число колхозников в каждой бригаде пропорционально той работе, которую каждая бригада может выполнить. Значит, данное в задаче число 70 мы должны разделить на две части пропорционально числам: 1 /6 и 1 /8 . С задачами такого типа мы уже знакомы. Приведя дроби 1 /6 и 1 /8 к общему знаменателю, мы найдём числа, пропорционально которым следует разделить число 70:
т. е. число 70 нужно разделить на две части пропорционально числам 4 и 3. Обозначим число колхозников первой бригады буквой х, а второй — буквой у и вычислим:
Итак, в первой бригаде было 40 человек, а во второй 30. Рассмотрим теперь метод решения этой задачи. В условие задачи входят три числа: 70 (человек), 6 (дней) и 8 (дней). В процессе решения мы ввели еще два числа: 1 /6 и 1 /8, и пропорционально этим дробям разделили число 70 на две части. Очевидно, что число 6 и число 1 /6 взаимно обратны. Так же взаимно сбратны числа 8 и 1 /8 .
Для решения задачи требуется разделить 70 рабочих на две неравные бригады, исходя из количества времени (дней), затраченного ими на работу. Это время выражается числами 6 (дней) и 8 (дней). Вместо этих двух чисел мы берём обратные им числа 1 /6 и 1 /8 и пропорционально им делим число 70.
Такая замена сделана нами потому, что число работников не прямо, а обратно пропорционально времени, затраченному на работу. О такой задаче принято говорить, что в ней число 70 разделено на две части обратно пропорционально числам 6 и 8, т. е. в ней первая часть относится ко второй не как 6 к 8, а как 8 к 6.
Итак, чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, нужно это число разделить прямо пропорционально обратным числам.
Задача. Разделить 65 на три части обратно пропорционально числам: 2, 3, 4.
Мы теперь знаем, что разделить число на части обратно пропорционально нескольким числам — это значит разделить его на столько же частей прямо пропорционально обратным числам.
Напишем числа, обратные данным в задаче:
данные числа 2, 3, 4;
Пропорционально этим последним и нужно разделить число 65. Приведём дроби к общему знаменателю:
а потом освободимся от него:
Значит, число 65 нужно разделить на три части пропорционально числам 6 : 4 : 3.
Обозначим первую часть буквой х, вторую часть буквой у, третью часть буквой z. Тогда