Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если её основание — правильный n-угольник, а все боковые рёбра равны.
О высоте правильной пирамиды
В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром её основания, является высотой пирамиды.
Для определённости проведём доказательство для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF:
Пусть точка O — центр шестиугольника ABCDEF. Докажем, что отрезок SO есть высота пирамиды. Рассмотрим какие-нибудь два диагональных сечения, проходящие через отрезок SO, например треугольники ASD и CSF. Указанные теругольники являются равнобедренными (все боковые ребра правильной пирамиды равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является высотой, т.е. SO ⊥ FC, SO ⊥ AD
Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся прямым FC и AD плоскости основания, а значит она перпендикулярная этой плоскости. Таким образом отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, т.е. является высотой пирамиды.
В случае правильной пирамиды, основанием которой служит n-угольник с чётным числом вершин, доказательство аналогично. В случае, когда основанием пирамиды служит многоугольник с нечётным числом вершин, для доказательства можно воспользоваться тем, что основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около его основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Доказательство проведём для правильной шестиугольной пирамиды TABCDEF:
В случае правильной n-угольной пирамиды доказательство аналогично Пусть периметр основания пирамиды Pосн, апофему обозначим буквой ℓ. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме ℓ.
Площадь боковой поверхности равна сумме указанных равнобедренных треугольников, т.е.:
Как найти периметр основания пирамиды
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
|
Задача. Решение. Соответственно: Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен Пирамида. Формулы и свойства пирамиды
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды. Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу. высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5 . Найдите периметр основания этой пирамиды:Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2RteRGY). Проведем апофему РН пирамиды. Боковые грани пирамиды есть равнобедренные треугольники, тогда РН есть высота, медиана и биссектриса треугольника АВР, тогда АН = ВН. В основании пирамид лежит квадрат, тогда треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, а СО = АО как половины диагонали АС. Тогда ОН есть средняя линия треугольника АВС. ОН = АВ / 2.
предыдущая запись
Как найти периметр окружности по радиусу |
