Как определить выпуклый многоугольник или нет

Выпуклые треугольники и невыпуклые

Опре­де­ле­ние 1. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при про­ве­де­нии пря­мой через любую из его сто­рон весь мно­го­уголь­ник лежит толь­ко по одну сто­ро­ну от этой пря­мой. Невы­пук­лы­ми яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки.

Опре­де­ле­ние 2. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при вы­бо­ре любых двух его внут­рен­них точек и при со­еди­не­нии их от­рез­ком все точки от­рез­ка яв­ля­ют­ся также внут­рен­ни­ми точ­ка­ми мно­го­уголь­ни­ка.

Многоугольники

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Выпуклый многоугольник: определение, элементы, свойства, примеры

Содержание:

А выпуклый многоугольник Это геометрическая фигура, содержащаяся в плоскости, которая характеризуется тем, что все ее диагонали находятся внутри, а ее углы составляют менее 180 °. Среди его свойств можно выделить следующие:

1) Он состоит из n последовательных сегментов, в которых последний из сегментов соединяется с первым. 2) Ни один из сегментов не пересекается таким образом, чтобы ограничить плоскость во внутренней и внешней областях. 3) Каждый угол во внутренней области строго меньше плоского угла.

Простой способ определить, является ли многоугольник выпуклым или нет, — это рассмотреть линию, проходящую через одну из его сторон, которая определяет две полуплоскости. Если на каждой линии, проходящей через одну сторону, другие стороны многоугольника находятся в одной полуплоскости, то это выпуклый многоугольник.

Элементы многоугольника

Каждый многоугольник состоит из следующих элементов:

Стороны — это каждый из последовательных сегментов, составляющих многоугольник. В многоугольнике ни один из составляющих его сегментов не может иметь открытого конца, в этом случае будет многоугольная линия, но не многоугольник.

Вершины — это точки соединения двух последовательных отрезков. В многоугольнике количество вершин всегда равно количеству сторон.

Если две стороны или сегменты многоугольника пересекаются, значит, у вас есть перекрещенный многоугольник. Точка пересечения не считается вершиной. Поперечный многоугольник — это невыпуклый многоугольник. Звездообразные многоугольники являются перекрестными многоугольниками и поэтому не являются выпуклыми.

Когда у многоугольника все стороны одинаковой длины, мы получаем правильный многоугольник. Все правильные многоугольники выпуклые.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

На рисунке 1 показано несколько многоугольников, некоторые из них выпуклые, а некоторые — нет. Разберем их:

Номер 1 — это трехсторонний многоугольник (треугольник), а все внутренние углы меньше 180 °, поэтому это выпуклый многоугольник. Все треугольники — выпуклые многоугольники.

Число 2 — это четырехсторонний многоугольник (четырехугольник), в котором ни одна из сторон не пересекается, а каждый внутренний угол меньше 180 °. Тогда это будет выпуклый многоугольник с четырьмя сторонами (выпуклый четырехугольник).

С другой стороны, число 3 представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, но один из его внутренних углов больше 180 °, поэтому он не удовлетворяет условию выпуклости. То есть это невыпуклый четырехсторонний многоугольник, называемый вогнутым четырехугольником.

Число 4 представляет собой многоугольник с четырьмя отрезками (сторонами), два из которых пересекаются. Четыре внутренних угла меньше 180 °, но поскольку две стороны пересекаются, получается невыпуклый перекрещенный многоугольник (перекрещенный четырехугольник).

Другой случай — число 5. Это многоугольник с пятью сторонами, но поскольку один из его внутренних углов больше 180 °, мы получаем вогнутый многоугольник.

Наконец, число 6, у которого также есть пять сторон, имеет все внутренние углы меньше 180º, поэтому это выпуклый многоугольник с пятью сторонами (выпуклый пятиугольник).

Свойства выпуклого многоугольника

1. Непересекающийся многоугольник или простой многоугольник делит содержащую его плоскость на две области. Внутренняя область и внешняя область, многоугольник является границей между двумя областями.

Но если многоугольник дополнительно выпуклый, тогда у нас есть внутренняя область, которая является односвязной, что означает, что, взяв любые две точки из внутренней области, он всегда может быть соединен сегментом, который полностью принадлежит внутренней области.

2- Каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше плоского угла (180º).

3- Все внутренние точки выпуклого многоугольника всегда принадлежат одной из полуплоскостей, определяемых линией, проходящей через две последовательные вершины.

4- В выпуклом многоугольнике все диагонали полностью содержатся во внутренней многоугольной области.

5- Внутренние точки выпуклого многоугольника полностью принадлежат выпуклому угловому сектору, определяемому каждым внутренним углом.

6. Каждый многоугольник, все вершины которого находятся на окружности, является выпуклым многоугольником, который называется циклическим многоугольником.

7- Каждый циклический многоугольник является выпуклым, но не каждый выпуклый многоугольник является циклическим.

8- Каждый непересекающийся многоугольник (простой многоугольник), все стороны которого равны, является выпуклым и известен как правильный многоугольник.

Диагонали и углы в выпуклых многоугольниках

9- Общее количество N диагоналей выпуклого многоугольника с n сторонами определяется по следующей формуле:

Доказательство. В выпуклом многоугольнике с n сторонами каждой вершины нарисовано n — 3 диагоналей, так как сама вершина и две соседние вершины исключены. Поскольку имеется n вершин, всего нарисовано n (n — 2) диагоналей, но каждая диагональ была нарисована дважды, поэтому количество диагоналей (без повторения) равно n (n-2) / 2.

10- Сумма S внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами определяется следующим соотношением:

Доказательство. Из вершины выводятся n-3 диагонали, определяющие n-2 треугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника составляет 180º. Общая сумма углов n-2 треугольников равна (n-2) * 180º, что совпадает с суммой внутренних углов многоугольника.

Примеры

Пример 1

Циклический шестиугольник — это многоугольник с шестью сторонами и шестью вершинами, но все вершины находятся на одной окружности. Каждый циклический многоугольник выпуклый.

Пример 2

Определите значение внутренних углов обычного энегона.

Решение: enegon — это 9-сторонний многоугольник, но если он также правильный, все его стороны и углы равны.

Сумма всех внутренних углов 9-стороннего многоугольника равна:

S = (9 — 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Но существует 9 внутренних углов одинаковой меры α, поэтому должно выполняться равенство:

Отсюда следует, что мера α каждого внутреннего угла правильного ребра равна:

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий по одну сторону от каждой
прямой проходящей через два его соседних угла.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник,
в котором все углы и стороны равны.

Если в многоугольнике, через каждые два его соседних угла по одну сторону
проходит прямая, то многоугольник выпуклый. Многоугольник, который не
является выпуклым называется не выпуклым многоугольником.

В выпуклых многоугольниках сумма углов вычисляется по формуле: (n-2) * 180,
где n — количество сторон.

Примеры выпуклых многоугольников

1. Треугольник
   
2. Выпуклый многоугольник
   
3. Ромб
   

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника.

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется $<180>^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

Теорема доказана.

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется $<360>^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

Теорема доказана.

Примеры задач

Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой $1$. Получим:

Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется

Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется

Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется

Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равняется $<1620>^0$.

§1. Определение выпуклого многоугольника

Определение 1. Многоугольник Р называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через какие-нибудь две соседние его вершины. Такие прямые далее называются касательными к многоугольнику Р, так что касательная – это прямая, содержащая какую-нибудь его сторону. Далее рассматриваются только выпуклые многоугольники, а появление невыпуклых многоугольников оговаривается особо.

Удается доказать, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полуплоскостей. Полуплоскость называется касательной к Р, если она содержит Р и ограничена касательной к Р.

Доказано , что прямая имеющая общие точки с выпуклым многоугольником, либо разрезает его на два многоугольника, либо проходит через его вершину так, что он целиком лежит в одной из полуплоскостей, определяемых рассматриваемой прямой.

Определение 2. Прямая, проходящая через вершину выпуклого многоугольника так, что он лежит целиком по одну сторону от этой прямой, называется опорной к этому многоугольнику. Любая касательная является опорной, но не каждая опорная является касательной (см. рис. 1).

Доказано нами, что выпуклый многоугольник имеет в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению. Эти прямые ограничивают полосу, содержащую этот многоугольник.

Определение 3. Полоса, ограниченная параллельными опорными прямыми, называется опорной полосой; опорная полоса, у которой хотя бы одна из её граничных прямых является касательной, называется касательной полосой (см. рис. 2).

Упражнения.

Упражнение a. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полос.

Упражнение b. Докажите, что невыпуклый многоугольник содержится в выпуклом многоугольнике большей площади и меньшего периметра.

§1. Диаметр и ширина многоугольника

Понятия, которые здесь будут определены, необходимы для

формулировки теоремы, обобщающей приведенные утверждения .

Определение 4. Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами.

Упражнение c. Докажите, что наибольшее расстояние между точками a) треугольника, б) произвольного n-угольника равно его диаметру.

Определение 5. Шириной многоугольника называется наименьшая ширина его касательных полос.

Упражнения

Упражнение d. Докажите, что ширина любой опорной полосы не меньше ширины многоугольника (откуда следует, что наименьшая ширина опороных полос равна ширине многоугольника).

Очевидно, что ширина треугольника равна его наименьшей высоте.

Упражнение e. Докажите, что ширина Н, диаметр D и периметр Р правильного n-угольника связаны равенствами 2n tg Н= Р= 2n sin D (если n нечетно), n tg H=P=n sin D (если n четно).

§2. Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников

Докажем следующую теорему

Теорема 1. а) Среди выпуклых n-угольников, лежащих в данном круге, наибольшую площадь (и периметр) имеет вписанный в этот круг правильный n-угольник.

б) Среди n-угольников, содержащих данный круг, наименьшую площадь (и периметр) имеет описанный около этого круга правильный n-угольник.

в) Среди n-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.

Для доказательства теоремы понадобятся пять вспомогательных утверждений, доказать которое мы предлагаем читетелю в качестве упражнений.