01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора
Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .
Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .
Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.
Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:
1) тогда и т. к то
и т. к. , то является подпространством пространства V.
является подпространством пространства V. #
Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.
1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=<θ>
/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /
2) Нулевой оператор, тогда
3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:
, что не является случайным.
Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :
Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.
Доказательство:
Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .
Рассмотрим ядро оператора А: .
В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что
Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.
Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .
Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.
Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .
Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .
Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):
Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.
Доказательство:
1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.
2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.
Как найти дефект матрицы
Ядро оператора: 
— множество, обозначаемое Ker f:
Область значений (образ) оператора — множество, обозначаемое Im f:
Ранг оператора 
(обозначение: dim Im f) — ранг матрицы A линейного оператора f,
dim Im f = rank A.
Дефектом оператора называют dim Ker f,
2.5. Линейные операторы
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х =
Проверяем условия линейности оператора:
Если условия линейности выполнены, т.е.
при г = 1,2. п, то оператор Л линеен, в противном случае опера тор А нелинеен.
ПРИМЕР . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^ задан произвольный вектор х = <х1,Х2,хз>‘ Является ли линейным оператор А : Х^ ^ Х^ такой, что
РЕШЕНИЕ. Пусть х —
*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравне ний и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.
Гл. 2. Линейная алгебра
Проверяем условия линейности оператора:
Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.
Ответ. Оператор А линеен.
Условия ЗАДАЧ. Являются ли линейными операторы А, В иС1
5×2 — Зхз, -2×1 — 3×2 — а^з, 2:2 + Зхз>,
Хз, 2×1 — Х2- 2хз, 3×2 -Ь хз>.
2×1 — 3×2 — 2хз, 2×1 — 3×2,2×2 + 3>,
3X2 — Хз, О, Х2 + Хз>,
2×2 — а:з, 3×1 — 2×2,3×2 + х^>.
2X1 — Х2 — ЗХз, Xi, Xi -h Х2 + Хз>,
Хз, 2×1,3×1 -\-X2-\- Хз>,
Х2 — Хз, 2X1, 3X1 + Х2 — 1>.
2×1 -\-X2-\- 4хз, 2хз, xi — 2×2 — Зхз>,
2×1 -\-X2-\- 4хз, 1, XI — 2×2 + 3>,
5×1 -f 3×2 + Хз, Хз, 2х^ — 2×2 — 4хз>.
XI, 2X1 — Х2 + l,Xi — Х2 — ЗХз>,
Зхз, Xi — Х2 — ЗХз>.
XI + 2×2,3×2 — 4хз, xi — 2×2 — Зхз>,
XI + 2X2,3X2 — 4хз,Х1 — 2X2 — ЗХз>,
XI -h 2X2, 3X2 — 2, Xi — 2X2 — 5>.
2xi,3xi 4-2×2 + 3×3,4×1 + 5×2 + 2хз>,
2xi, 3xi + 2×2 + 3,4×1 + 5×2 + 7>,
2xi, 3xi + 2×2 + Зхз, 4xi + 5×2 + 2хз>.
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
XI — 3X2 — Хз, Хз, XI + 2X2 +
4×1 — 2×2, Зхз, XI -h 2×2 + Зхд>,
= ‘4×1 — 2×2, Зхз, XI + 2×2 + Зхз>,
-2Х2,3,Х1 + 2Х2 + Зхз>.
5×3, XI -Ь 2×2 + Зхз, 2×1 + 3×2 + 5хз>,
= 5×3, XI + 2×2 + 2,2×1 + 3×2 4- 5>,
5хз,0,х^ + 3×2 + 5хз>.
линейный, В нелинейный, С нелинейный.
нелинейный, В нелинейный, С линейный.
нелинейный, В линейный, С нелинейный.
линейный, В нелинейный, С нелинейный.
нелинейный, В нелинейный, С линейный.
нелинейный, В линейный, С нелинейный.
линейный, В нелинейный, С нелинейный.
нелинейный, В нелинейный, С линейный.
10. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задан оператор А, осуществляющий неко торое преобразование пространства геометрических векторов V^. Доказать линейность., найти матрицу (б базисе i^j^k)^ образ^ лдро^ ранг и дефект оператора А.
1. По определению доказываем линейность оператора Л, исполь зуя свойства операций над геометрическими векторами в координат ной форме, т.е. проверяем, что Vx, у G V3 и Vo: G R
Гл. 2. Линейная алгебра
2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого на ходим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координаты в базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.
3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из их определений.
ПРИМЕР. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i,j,^), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Vs на плоскость XOY.
1. Докажем по определению линейность оператора проецирова ния. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = <^i, Х2, жз>. Тогда его образ (проекция) есть Рх = <ж1,а:2,0>.
По правилам операций с геометрическими векторами в коорди натной форме Vf =
2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:
Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть
3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из определений. ^
Образ оператора проецирования Р — это множество векторов, лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , к
Отсюда R g P = 2.
2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
КегР — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следова тельно, в базисе г, j , ^
Отсюда Def Р = 1.
Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3
Ответ. Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^k есть
x = jk, 7 G R>, DefP = 1.
Условия ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в ба зисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.
1. Оператор проецирования на ось ОХ.
2. Оператор отражения относительно плоскости YOZ.
3. Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в поло жительном направлении.
4. Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.
5. Оператор проецирования на плоскость у -\- z = 0.
6. Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в поло жительном направлении.
7. Оператор проецирования на плоскость х -\-у = 0.
8. Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.
9. Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.
10. Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в поло жительном направлении.
Дефект (математика)
В математике дефекта есть термин из подпола из линейной алгебры . Вы назначаете его линейному отображению или матрице .
Содержание
Определение линейного отображения
Пусть и будет два конечномерных векторных пространств , тем размерность в ВЕ , размерность быть . Далее будет линейная карта. Тогда дефект этой карты определяется как измерение на основе карты, в общем V <\ displaystyle V>W. <\ displaystyle W>V <\ displaystyle V>п <\ displaystyle n>W. <\ displaystyle W>м <\ displaystyle m>ж : V → W.
Дефект в матрицах
Если матрица равна нулю , то есть равно числу столбцов . В противном случае равно максимальному количеству столбцов, которые можно удалить, чтобы уменьшенная матрица имела то же изображение, что и . Удаленные столбцы затем линейно зависят от столбцов, оставшихся в сокращенной матрице. А. <\ displaystyle A>def ( А. ) <\ displaystyle \ operatorname
расчет
Метод исключения Гаусса с обменом строк и столбцов особенно подходит для ручных вычислений с небольшими матрицами для определения дефекта. С помощью этого метода каждая матрица может быть преобразована в эквивалентную матрицу с помощью для , в которой диагональные элементы первых строк заняты ненулевыми элементами, а остальные строки являются нулевыми строками ( это ранг матрицы ). Дефект этой матрицы тогда (это утверждение ранжирования ). А. ∈ K м × п <\ Displaystyle А \ в \ mathbb
Предположим, что это не нулевая матрица. Если столбцы, соответствующие столбцам в матрице, удалены (в этом случае необходимо учитывать замены столбцов, сделанные во время процесса исключения по Гауссу), сокращенная матрица будет иметь ту же картину, что и . Если другие столбцы удаляются (если это возможно), изображение матрицы уменьшается. А. <\ displaystyle A>А. <\ displaystyle A>р + 1 , . , п <\ Displaystyle г + 1, \ ldots, п>А. ¯ <\ displaystyle <\ bar >> А.
В случае квадратных матриц (т.е. для ) дефект равен количеству нулевых строк в . м знак равно п <\ displaystyle m = n>А. <\ displaystyle A>А. ¯ <\ displaystyle <\ bar >>
Определение дефекта матрицы посредством разложения по сингулярным числам численно более стабильно, но также более сложно, чем метод исключения Гаусса .
Примеры
Менять местами столбцы не было необходимости, поэтому матрица
который является результатом удаления последнего столбца, такого же изображения, как . А. <\ displaystyle A>А.
Опять же, не было необходимости менять местами столбцы, поэтому эта матрица имеет ту же картину, что и ( 1 2 4-й 5 ) . <\ displaystyle <\ begin
Рейтинг
Ранжирование показывает взаимосвязь между дефектом и рангом линейного отображения . rg ( ж ) <\ displaystyle \ operatorname