Сколько различных чисел можно составить из цифр 5470

Задача 1.

Данная задача на размещения без повторений объёма m из данных n элементов (так как один вариант числа от другого может отличаться либо составом элементов____________, либо порядком их расположения ________________).

n=_____________________________________m=___________________________________

Заметим, что в данное число 720 вариантов вошли те «трёхзначные числа», которые таковыми не являются с точки зрения математики – это, например, числа________________________ («числа с нулём впереди»). Соответственно их нужно пересчитать и исключить из данной совокупности.

I способ расчёта: по классам

Разобьём все числа на десять классов (по виду первой цифры):

«1 класс» — числа с единицей впереди:………………………………………………………. ;

«2 класс» — числа с двойкой впереди…………………………………………………………..;

«3 класс» — числа с тройкой впереди…………………………………………………………..;

«4 класс» — числа с четвёркой впереди: ……………………………………………………….;

«5 класс» — числа с пятёркой впереди: ………………………………………………………. ;

«6 класс» — числа с шестёркой впереди: ………………………………………………………;

«7 класс» — числа с семёркой впереди: ………………………………………………………..;

«8 класс» — числа с восьмёркой впереди: ..……………………………………………………;

«9 класс» — числа с девяткой впереди: ………………………………………………………. ;

«10 класс» — числа с нулём впереди: ………………………………………………………….;

Соответственно, в каждом классе будет одинаковое число элементов:_________________

II способ расчёта: комбинаторный

Ответ:__________.

Задача 2.

Сколько различных десятизначных чисел можно составить, при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение:

Данная задача очень похожа на предыдущую — на размещения без повторений:

n=____________________________________; m=___________________________________

Заметим, что в данное число вариантов вошли те «десятизначные числа», которые таковыми не являются с точки зрения математики – это, например, числа________________________ («числа с нулём впереди»). Соответственно их нужно пересчитать и исключить из данной совокупности.

Разобьём все числа также на десять классов. Соответственно, в каждом классе будет одинаковое число элементов:___________________________________________________

Ответ:__________.

Данная задача всё-таки относится к теме перестановки без повторений объёма m (так как один вариант числа от другого может отличаться только порядком расположения элементов________________________________________________).

m=__________________________________________________________________________

Далее аналогично, разобьём все числа также на десять классов. Соответственно, в каждом классе будет одинаковое число элементов:_________________________________

Ответ:__________.

Сколько слов можно получить при перестановке букв слова «ОТЕЦ».

Данная задача относится к теме перестановки без повторений объёма m:

Ответ:__________.

Сколько различных делегаций в составе трёх человек можно выбрать от коллектива, в котором десять человек.

Данная задача на сочетания без повторений объёма m из данных n элементов (так как один вариант делегации от другого может отличаться только составом).

, (nm); n=________________________; m=_______________________;

Ответ:__________.

Сколько различных трёхзначных номеров можно составить, при условии, что цифры в числе могут повторяться.

Данная задача на размещения с повторениями объёма m из повторяющихся элементов n различных классов.

Ответ:__________.

Сколько слов можно получить при перестановке букв слова «ПАПА», «КОЛОКОЛ».

Данная задача относится к теме перестановки с повторениями где элемент i-го класса (i=1,2,…n) повторяется k_i раз

Перестановки

Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр числа 123, если цифры в каждом числе не повторяются?

Составим все эти числа: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Всего — 6 чисел. Обратим внимание: взяли первой цифру 1, с ней образовав 2 числа, цифру 2, с ней образовав 2 числа, цифру 3, с ней образовав 2 числа, т.е. общее количество всех чисел 3*2=6.

Так как цифры в числе переставляли, то логически следует назвать этот тип задач — перестановкой

*Любое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называют перестановкой из n элементов.

• 1. Количество элементов данного и полученного множества совпадает.
• 2. Важен порядок в множестве.

a) Факториал и его свойства.

• 6!/3! = (1*2*3)*4*5*6/3! = 3! * 4*5*6/3! = 4*5*6 = 120.
• (k! — (k+1)!)/k! = (k! — k!(k+1))/k! = k!(1-k-1)/k! = -k
• б) Перестановки.

Задача. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей вокруг стола, если стоят 5 стульев?

Количество гостей совпадает с количеством стульев. Каждый гость садится на определённое место, т.е. в множестве важен порядок значит, это перестановка из 5 элементов.

Задачи.

• 1. a) n!/(n+1)!; б) n!/(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)!; г) n!/(n-k)! , n>k
• 2. Упростите:
  • а) 1/(n+1)! — 1/(n+2)!; б) n!/(n+1)! — (n-1)!/n!
  • а) (n-1)!/n! б) n!/(n-3)! в) (n-2)!/(n-4)! г) (n+1)!/(n-k+1)! , n>k
  • а) 1/k! — 1/(k+1)! б) (n-2)!/n! — n!/(n+1)!
  • а) (P₅+P₄)/P₃ б) (P₁₀ — P₉)/9P₈ в) P_3k/P_(3k-2)
  • а) (P₆+P₅)/P₄ б) (P₁₂ — P₁₁)/11P₁₀ в) P_(3k+2)/P_(3k+1)

  Цифр — 4; составить 4-х значных, значит в полученном множестве всех цифр — 4 => всех 4!. Но среди чисел не может быть четырехзначных с первой цифрой “0”, т.е. это — трёхзначные числа. Из полученного множества — убрать 3! (ответ: 4! — 3!)

  • 11. Сколькими способами можно расставить 6 книжек на книжной полке? (ответ: P₆ = 6!)
  • 12. На танцевальной площадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут образовать пары для участия в очередном танце? (ответ P_n = n!)
  • 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;3;5;7 , если каждую из них использовать только один раз? (ответ 5!-4!₎
  • 14. Сколькими способами можно 8 учеников построить в колону по одному? (ответ P₈₎
  • 15. Есть 10 книг, из которых 4 — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?(ВНО)

  Пусть все 4 учебника как 1 книга. Тогда на полке надо расставить не 10 книг, а 7, т.е.

  P₇ = 7! В каждом таком наборе книг 4 учебника можно переставлять между собой P₄ способами, т.е. P₄ = 4!. Значит, P₇ * P₄ = 7!*4!

  Задачи по комбинаторики для 11 класса

  Подборка задач по комбинаторике (с ответами) для 11 класса.

  Просмотр содержимого документа
  «Задачи по комбинаторики для 11 класса»

  Задачи по комбинаторики

  Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

  Ответ: перестановки, 5! = 120.

  Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

  Ответ: размещения из 11 по 2, А 2 ₁₁= 110.

  Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

  Ответ: размещения из 14 по 5, 1320.

  Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

  Ответ: перестановки, 6 способов.

  Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

  Ответ: сочетания из 24 по 4,

  Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

  Ответ: перестановки, 6 способов.

  Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

  Ответ: сочетания, 455 способами.

  Задача 8: Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?

  Ответ: размещения, 2830 способами.

  Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

  Ответ: перестановки, 4! – 3! =18.

  Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

  Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами.

  Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

  Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.

  Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

  Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.

  Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

  Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.

  Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

  Ответ: сочетание из 30 по 2, 435 фотокарточек.

  Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

  Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек

  Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

  Ответ: 10 7 .

  Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

  Ответ: размещение из 10 по 7.

  Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! · 5!

  Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

  Ответ: а)2∙29!; б)28∙29!

  Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?

  Ответ: размещение из 5 по 3, 60.

  Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

  Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется

  Размещениями из n элементов по k в каждом (nk) называют такие соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по k находят по формуле

  По условию общее число цифр �� = 9, выбранных цифр �� = 3. Тогда общее число трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз:

  

  Похожие готовые решения по математике:

  При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

  Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

  Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

  Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

  Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

  Читать:

  Какое поле называется полем галуа