Числовая ось
Прямую, на которой выбрана начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной или числовой осью.
Рассмотрим прямую с начальной точкой O и выбранным положительным направлением, указанным стрелкой:
За единицу длины на данной прямой возьмём произвольный отрезок. Такая прямая будет называться осью.
Если отложить по оси от точки O единицу длины (произвольно взятый отрезок) вправо и влево 1, 2, 3, 4, 5 и более раз, а концы полученных отрезков, расположенных справа, отметить положительными числами +1, +2 и так далее, а слева — отрицательными числами -1, -2 и так далее, то такую ось называют числовой осью:
Число 0 на ней будет совпадать с точкой O. Таким образом, любое число (положительное, отрицательное или нуль) может быть отображено только одной точкой оси.
Точка и число являются разными понятиями. Когда говорят, что данная точка изображает число, например, 2,5, это значит, что данная точка находится на расстоянии 2,5 единиц длины влево от начальной точки O.
Вместо того, чтобы говорить: Точка соответствует числу 2,5 — или: Точка изображает число 2,5 , — говорят просто: Точка 2,5 и т. д.
Число, которое соответствует данной точке, называется координатой этой точки.
Так как все точки на оси имеют определённые координаты, то такую ось также называют координатной осью или координатной прямой.
Урок 32. Представление целых чисел на координатной оси
Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.
Число, которое соответствует данной точке на координатной оси, называют координатой данной точки.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Зададим прямую, на которой указано направление. Отметим на ней точку О (рис.1). Примем её за начало отсчёта.
Выберем какой-нибудь единичный отрезок, например, равный 1 см. Отложим на прямой вправо от точки О единичные отрезки. Обозначим конец первого отрезка числом 1, второго – числом 2 и т.д. Такие же построения выполним слева от точки О. Концы отрезков, отложенных влево от точки О, обозначим числами – 1, – 2, – 3… Читают «минус один», «минус два», «минус три» и так далее. Направление вправо от точки О будем считать положительным, а влево – отрицательным. Положительное направление на прямой показывает стрелка.
Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.
Координатная ось делится точкой О на два луча. Один из них положительный, идущий от нуля вправо, его называют положительной координатной полуосью или положительным координатным лучом. Другой – отрицательный, идущий от нуля влево, его называют отрицательной координатной полуосью или отрицательным координатным лучом.
С помощью координатной оси целые числа изображаются точками.
Точке О на координатной оси соответствует число 0, которое отделяет положительные числа от отрицательных. Обозначают: О (0).
Число, которое соответствует данной точке на координатной оси, называют координатой данной точки.
Точка А имеет координату 5.
Точка В имеет координату – 3.
Обозначают: В (– 3).
Целое n, не равное нулю, изображают точкой, расстояние от которой до точки 0 равно модулю этого числа. Она находится на положительной полуоси, если n больше нуля. Если n меньше нуля, то на отрицательной полуоси.
В (– 3) находится на отрицательной полуоси на расстоянии 3 от О (0).
А (5) находится на положительной полуоси на расстоянии 5 от О (0).
По координатам точек можно определять, какая из них расположена на координатной оси левее (правее), и вычислять расстояние между двумя точками.
Если m и n целые числа и m > n, то:
- точка m расположена правее точки n на координатной оси;
- расстояние между точками m и n равно m – n.
Так как 4 > – 2, то А расположена правее.
Расстояние АВ = 4 – (– 2) = 4 + 2 = 6
Таким образом, на уроке мы рассмотрели, как изображать целые числа точками координатной прямой.
Ввели понятие положительной и отрицательной полуосей.
Числовой луч – это графическое представление неотрицательных чисел в виде луча. Расстояние между соседними точками равно единичному отрезку.
Числовой луч играет большую роль в иллюстрации понятий натурального числа и обыкновенной дроби. Используя его, мы познакомились и с понятием отрицательного числа, научились изображать числа на числовой оси.
Но известные нам множества чисел занимают не весь луч. На числовом луче среди рациональных чисел имеются пустоты – вещественные числа. Вещественные числа ещё называют действительными. Это понятие пришло к нам из Древней Греции, из школы Пифагора. В этой школе было открыто существование несоизмеримых величин, то есть не рациональных, таких, которые не могут быть выражены обыкновенной дробью. Спустя почти 2500 лет, в 19 веке, была создана строгая теория вещественных чисел. С этим множеством чисел мы познакомимся позднее.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие полуоси изображены на рисунках?
При выполнении данного задания нужно использовать понятие положительной и отрицательной полуосей.
- Отрицательная координатная полуось
- Положительная координатная полуось
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Прямую с заданными на ней ____, единичным ____ и ____ отсчёта называют ____ осью.
Варианты слов для вставки:
Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.
Какое из чисел на числовой оси расположено дальше от числа -6: а) 2 или-8; б) 17 или-24; в)-13 или-15; г) 8 или 12?
В 9:02 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.
Вопрос вызвавший трудности
Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru
Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Какое из чисел на числовой оси расположено дальше от числа -6: а) 2 или-8; б) 17 или-24; в)-13 или-15; г) 8 или 12?
После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:
решение к заданию по математике
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:
Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.
Карпова Капитолина Мэлоровна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 68 700 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию
ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!
Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.
Деятельность компании в цифрах:
Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.
Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.
Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.
Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.
Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.
Иррациональные числа — определение и вычисление с примерами решения
Практическая работа 1. Великий греческий математик, физик, астроном и изобретатель Архимед хотел найти рациональное число, квадрат которого равен 3. С этой целью он выбрал числа 
Классификация чисел
Любое рациональное число можно записать в виде дроби 
Каждую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби с цифрой 0 в периоде. Но есть такие числа, которые невозможно представить в виде десятичной периодической дроби. Бесконечная десятичная непериодическая дробь выражает число, которое не является рациональным. Такие числа называются иррациональными числами. Иррациональное число невозможно представить в виде 
Приведём примеры иррациональных чисел:
a) 0,1010010001. (количество нулей после каждой единицы увеличивается на один);
b) 0,123456789101112. (в дробной части записана последовательность натуральных чисел);
c) 
= 3,14159265. (выражает отношение длины окружности к диаметру).
Если 
не является точным квадратом какого-либо натурального числа, то 
является иррациональным числом. Например, 
иррациональные числа. Множество иррациональных чисел обозначается буквой I. Арифметические действия над иррациональными числами и их свойства аналогичны рациональным числам. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел, которое обозначается буквой R.
Практическая работа.
1) Начертите квадрат со стороной равной единичному отрезку и проведите диагональ данного квадрата. На диагонали квадрата постройте новый квадрат. Убедитесь, что площадь полученного квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Покажите, что сторона полученного квадрата равна соответственно 
2) Повторите работу по алгоритму, представленному ниже. На координатной оси постройте квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Начертите окружность с центром в точке нуль, радиусом равным диагонали квадрата и отметьте точку пересечения с числовой осью. Объясните связь между соответствующим данной точке числом и длиной диагонали квадрата.
Числовая ось, рациональные, иррациональные числа
Каждой точке на числовой оси соответствует единственное число (рациональное или иррациональное) и каждому числу, на числовой оси соответствует единственная точка. Опираясь на это числа можно сравнивать. Число, соответствующее точке, которая расположена правее, больше числа, соответствующему точке, расположенной левее.
Практическая работа.
1) При помощи калькулятора вычислите значения 
при заданных значениях 
Округлите их до десятых и заполните таблицу.
2) На координатной плоскости отметьте точки из таблицы, с соответствующими координатами, и соедините их плавной линией.
3) Может ли 
принимать отрицательные значения?
4) Как изменяются соответствующие значения 
при увеличении значений 
Функция y=√x и её график
Функция 
и её график
В таблице, которую вы заполнили, показаны некоторые значения аргументов 
в 1-ой строке, соответствующие значению функции 
заданной формулой, во 2-ой строке. Аргумент функции определен при всех неотрицательных значениях 
Функция также припишет только положительные значения (т.к. не существует квадратного корня из отрицательного числа и арифметический корень припишет только положительные значения).
График функции похож на ветвь параболы. При 
т.е. начало координат принадлежит графику. При 
т.е. график расположен в I четверти. Большему значению соответствует большее значение 
. Например, 
и т.д.
Приближенное значение квадратного корня
Практическая работа.
Какова наибольшая длина стороны квадрата, составленного из 14 одинаковых единичных квадратов? Как вы нашли результат? Между какими последовательными натуральными числами, являющимися точными квадратами, расположено число 14?
Приближённое значение квадратного корня можно найти при помощи калькулятора, но существуют и другие методы. Вычислить приближённое значение квадратного корня можно при помощи числовой оси и чисел, являющихся точными квадратами. Например, найдём при помощи данного метода, 
Число 14 расположено между числами 9 и 16. Квадратные корни этих чисел соответственно равны 3 и 4. Целая часть квадратного корня из 14 равна 3. Найдём приближённое значение дробной части: 
На числовой прямой от 14 до 9-ти 5 единиц, от 9-ти до 16 — 7 единиц.
Дробная часть числа 
Полученное приближённое значение 
Значение, найденное при помощи калькулятора 
Квадратный корень из произведения и частного
Исследование: Найдите значение выражений 
Верно ли равенство? 
Проверьте, что соответствующее равенство верно для любых двух неотрицательных чисел.
Квадратный корень из произведения и частного
При 
Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих же множителей. Это свойство верно и для более двух множителей
Аналогичным образом можно показать, что при 
Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Пример:
при перестановке левой и правой части равенства получим: 
Пример:
Квадратный корень степени
Из того, что арифметический квадратный корень не может принимать отрицательных значений, следует что равенство 
не всегда верно. Оно верно только для 
при 
верно равенство 
Например, 
Действительно, при , 
по определению арифметического квадратного корня 
имеем 
Таким образом, 
Приняв во внимание, что абсолютное значение числа всегда положительное или равно нулю) и объединив два равенства, приведённых выше получим следующее 
Для извлечения корня чётной степени подкоренное выражение надо записать в виде квадрата идентичного выражения, а затем применить тождество 
Пример:
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Вынесение множителя из-под знака корни
Пример 1. Сравним числа 
При решении мы заменили 
Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня.
Пример 2. 
Внесение множителя под знак корня
Пример 3. Сравним числа 
Заменим число 6 на 
Мы заменили 
Такое преобразование называется внесением множителя под знак корня.
Пример 4. 
Сложение и вычитание корней, имеющих одинаковое подкоренное выражение вида 
выполняется также как сложение и вычитание выражений 
Если 
называются подобными корнями.
Пример:
Чему равна длина двух досок, если длина одной доски равна 
Пример:
Пример:
Пример:
Сократите дробь. 
Освобождение знаменателя от иррациональности
Сумма, разность, произведение (кроме умножения на «0» ) и отношение рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. А вот сумма, разность, произведение и отношение двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.
Пример:
а) При 
При 
для рациональных выражений 
верно равенство 
и 
называются сопраженными выражениями. Для избавления от иррациональности в знаменателе, надо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопраженное знаменателю.
Пример:
Определение вида треугольника по длинам его сторон
Пусть 
стороны треугольника и 
— прямоугольный треугольник.
— остроугольный треугольник.
— тупоугольный треугольник.
Особые прямоугольные треугольники
Теорема 1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенузы больше любого из катетов в 
раза.
Отношение сторон: 1 : 1 : 
Теорема 2. В прямоугольном треугольнике с острым углом 
гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета. Больший катет длиннее меньшего в 
раза.
Отношение сторон: 1 : 
: 2
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.