5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
К изучению несобственных интегралов лучше приступать в последнюю очередь в ходе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Читатель данного урока должен быть хорошо подкован в неопределенных интегралах, определенных интегралах, уметь находить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Кроме того, потребуются знания простейших пределов и графиков элементарных функций. По логике изложения материала эта статья является продолжением урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки.
Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.
Что значит вычислить несобственный интеграл?
Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Несобственные интегралы бывают двух видов: первого и второго рода.
5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:
.
В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе.
.
Встречаются интегралы и с бесконечным нижним пределом
или с двумя бесконечными пределами:
.
Мы рассмотрим самый популярный случай 
. Техника работы с другими разновидностями – аналогична.
Всегда ли существует несобственный интеграл ?
Подынтегральная функция должна быть непрерывной на интервале 
. Строго говоря, последнее утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить интервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов.
Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:
Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на интервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:
1) Первая мысль, которая приходит в голову: «Раз фигура бесконечная, то и 
», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.
2) Но! Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например:
.
Может ли так быть? Да. В этом случае несобственный интеграл сходится.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции .
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл
«расходится», либо равен отрицательному числу.
Несобственный интеграл может быть отрицательным.
Важно! Когда Вам для решения предложен ПРОИЗВОЛЬНЫЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО, либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла рассказан только для того, чтобы легче было понять материал.
Поскольку несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница:
На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что здесь необходимо применение теории пределов, и формула запишется так:
.
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл) и уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии. Рассмотрим два классических примера:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Для наглядности построим чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.
Подынтегральная функция 
непрерывна на интервале 
, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.
Применение нашей формулы
и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.
В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому-что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».
Если Вам непонятно почему 
при 
, то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.
При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!
Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:
Подынтегральная функция непрерывна на «полубесконечном» интервале
Несобственный интеграл расходится.
При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией на границах интервала.
Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла.
Если Вам встретится интеграл вроде
,
то с вероятностью, близкой к 100%, можно сказать, что это опечатка. Здесь подынтегральная функция не является непрерывной на интервале интегрирования 
, она терпит разрыв в точке . Теоретически и практически допустимо вычислить два несобственных интеграла на интервалах 
и 
, а потом их сложить, но со здравой точки зрения такая вещь выглядит довольно абсурдно. Опечатка.
Иногда вследствие опечатки несобственного интеграла может вообще не существовать. Например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть интервала интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.
Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функция непрерывной на интервале интегрирования.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 
.
Выполним чертеж: 
Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция
непрерывна на интервале . Хорошо. Решаем с помощью формулы
(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.
(3) Указываем, что , если (это нужно понимать) и упрощаем ответ.
Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.
Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:
“ 
Подынтегральная функция непрерывна на полубесконечном интервале 
“
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором я уже рассказал в статье Определенный интеграл. Примеры решений.
Сначала попытаемся найти первообразную функцию F(X) (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.
На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс:
.
Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.
Проведем замену 
, тогда:
.
Неопределенный интеграл найден, константу C в данном случае добавлять не имеет смысла.
На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:
.
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.
Теперь находим несобственный интеграл:
(1) Записываем решение в соответствии с формулой
.
Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница.
Почему 
при ? Смотрите график арктангенса.
(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что arctg(0) = 0, полезно знать наизусть.
Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:
Подынтегральная функция непрерывна на интервале .
.
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
ВНИМАНИЕ! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка. Полные решения и ответы в конце урока.
Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения определённых и несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.
2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?
Интеграл тоже встречается на практике, и это очень интересный случай. Для его вычисления без всяких комплексов можно использовать формулу:
– предел с двумя «динамическими» переменными, и давайте рассмотрим больше такой демонстрационный интеграл:
Пример 32
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна всюду, и прямое решение таково:
Второй, более академичный способ состоит в том, чтобы разделить интеграл на две части, обычно в качестве точки «распила» выбирают ноль:
Далее разделываемся с каждой половинкой по отдельности:
после чего суммируем трофеи:
Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Знакомая геометрия: 
В несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определённому интегралу, промежуток интегрирования выгодно споловинить, а результат – удвоить:
Переходим к ещё более любопытному случаю:
Пример 33
Подынтегральная функция всюду непрерывна, нечётна и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Но пользоваться этим НЕЛЬЗЯ, поскольку интеграл от такой функции может быть вовсе не определён. Как в нашем случае – по той причине:
– что этого предела не существует. Он не определён.
Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус» бесконечности, например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс» бесконечности. Или наоборот.
К такому же выводу можно прийти, если распилить пациента на две части:
и выполнить мартышкин труд:
Несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – значение итогового интеграла не определено, ибо не определена сумма . К слову, для чётной функции получаются бесконечности одного знака, и всё хорошо.
Следует отметить, что в теории рассматривается особый случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям с одинаковой скоростью. Это выражается пределом:
и называется сходимостью по Коши. Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла и обозначают так: (Valeur principale de Cauchy).
Но это имеет смысл включать в решение тогда, когда вы учитесь сильно углублённо 🙂 В «массовой» же практике такие вещи ни к чему, а посему просто даём ответ, что значение интеграла не определено.
Тонкость же состоит в том, что несобственные интегралы от некоторых нечётных функций определены и в самом деле равны нулю! А именно, это те функции, для которых «половинки» сходятся, равны по модулю и противоположны по знаку (в силу нечётности функции):
Пример 34
Исследовать сходимость несобственного интеграла.
Это пример для самостоятельного решения. Но на практике, разумеется, функция не обязана быть чётной или нечётной, пожалуйста: – используем «двойной» предел или делим интеграл на две части в удобной точке. Если оказалось, что один интеграл равен , а другой , то общего интеграла не существует.
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Эффективные методы решения
определенных и несобственных интегралов
Данная статья содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов, предназначенных для чайников: Неопределенный интеграл, примеры решений.
Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл, с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры.
Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала я рассмотрю особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой. Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!
Второй раздел предназначен для читателей, знакомых с несобственными интегралами. Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных, нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основную статью: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.
Если вам интересно что-то конкретное, сразу ссылки:
Метод решения определенного интеграла от четной функции
по симметричному относительно нуля отрезку
Рассмотрим определенный интеграл вида . Легко заметить, что отрезок интегрирования симметричен относительно нуля.
Если функция подынтегральная является чётной, то интеграл можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить: .
Многие догадались, почему так, тем не менее, рассмотрим конкретный пример с чертежом:
Вычислить определенный интеграл
О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций. Повторим один раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство . Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо «икс» подставить .
В данном случае:
, значит, данная функция является чётной.
Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:
А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….
Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси :
Определенный интеграл численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а значит, симметричности её графика относительно оси , достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки!
Именно поэтому справедливо действие
Аналогичная история происходит с любой чётной функцией по симметричному относительно нуля отрезку:
Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:
Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.
Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает.
Короткий разминочный пример для самостоятельного решения:
Вычислить определенный интеграл
Полное решение и ответ в конце урока.
Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Иллюстрация к Примеру 1 дана только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:
1) Вычислить определенный интеграл .
2) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и осью на интервале .
Это две разные задачи! Об этом уже говорилось в статье Как вычислить площадь плоской фигуры? Сначала разберемся с первым пунктом:
1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!
2) Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:
Если у вас возникло затруднение с наивным косинусом, пожалуйста, обратитесь к статье Геометрические преобразования графиков.
На отрезке график функции расположен ниже оси , поэтому:
Площадь не может быть отрицательной, именно поэтому в формуле вычисления площади добавляют минус (также см. пример 3 урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры).
Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять споловинили отрезок, и удвоили интеграл.
Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла
Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.
Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида задаёт окружность с центром в точке радиуса . В частности, уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат.
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением
– это окружность с центром в начале координат радиуса .
Выполним чертёж:
Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна:
Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности выразить функцию «игрек» в явном виде:
Верхняя полуокружность задается уравнением
Нижняя полуокружность задается уравнением
Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.
Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-й четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.
Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:
Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:
Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:
Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».
После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.
Осталось вычислить новые пределы интегрирования:
Если , то
Новый нижний предел интегрирования:
Новый верхний предел интегрирования:
Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:
Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула ? А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).
Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула !
Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:
Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:
Вычислить определенный интеграл
По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.
Метод решения определенного интеграла от нечетной функции
по симметричному относительно нуля отрезку
Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования: .
Если подынтегральная функция является нечётной, то .
Почему такой интеграл равен нулю?
Вычислить определенный интеграл
Выполним чертеж:
Вот, заодно и график функции , который ещё нигде у меня не встречался, график представляет собой перевёрнутую кубическую параболу.
Проверим нашу функцию на четность/нечетность:
, значит, данная функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Из симметрии графика следует равенство площадей, которые заштрихованы красным и синим цветом.
При вычислении определенного интеграла площадь, которая заштрихована синим цветом, формально является отрицательной. А площадь, которая заштрихована красным цветом – положительной. Поскольку площади равны и формально противоположны по знаку, то они взаимно уничтожаются, следовательно .
И еще раз подчеркиваю разницу между заданиями:
1) Любой определенный интеграл (само собой он должен существовать) – это всё равно формально площадь (пусть даже отрицательная). В частности, поэтому , так как в силу нечётности функции площади взаимно уничтожатся. Что и проиллюстрировано на конкретном примере.
2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача. Так, если бы нам было предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следовало бы вычислить следующим образом:
Еще несколько коротких примеров на тему данного правила:
И, аналогично для любой нечетной функции и симметричного относительно нуля отрезка.
Применять ли данный метод на практике? На самом деле вопрос не такой простой. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность отрезка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.
Но когда вам предложен короткий пример, то преподаватель вполне обоснованно может заставить прорешать его подробно: взять интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Например, вам предложено вычислить тот же определенный интеграл . Если вы сразу запишите, что и поясните словами, почему получается ноль, то это будет не очень хорошо. Намного лучше «прикинуться дурачком» и провести полное решение:
А то, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее 😉 И это знание 100%-но позволит избежать ошибки.
Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
Второй раздел статьи предназначен для тех, кто хорошо разобрался с уроком Несобственные интегралы. Примеры решения, или, по крайне мере, понял бОльшую его часть. Речь пойдет о несобственных интегралах первого рода с бесконечным нижним пределом: .
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Чем отличается данный интеграл от «обычного» несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом? По технике решения практически ничем. Так же нужно найти первообразную (неопределенный интеграл), так же нужно использовать предел при вычислении интеграла. Отличие состоит в том, что необходимо устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»: .
Из вышесказанного следует очевидная формула для вычисления такого несобственного интеграла:
В данном примере, подынтегральная функция непрерывна на и:
, то есть, несобственный интеграл расходится.
Вот тут, главное, быть аккуратным в знаках, и не забывать, что . Нужно внимательно разобраться, что куда стремится.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Метод решения несобственного интеграла
с бесконечными пределами интегрирования
Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:
Как его решить? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:
(всё гениальное просто) и смотреть по ситуации:
Примечание: вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Представляем интеграл в виде суммы двух интегралов:
и разделываемся с ними по отдельности:
Таким образом:
, то есть несобственный интеграл существует и сходится.
Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной.
В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричным интервалом интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определенному интегралу, промежуток выгодно споловинить, а результат – удвоить:
Почему такое возможно? График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси . Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться. И не забываем о третьем случае: если половины не существует, то второй, и всего интеграла – тоже. Например:
– данного предела не существует, а значит, не существует и несобственного интеграла .
Переходим ещё к более любопытному случаю:
Исследовать несобственный интеграл на сходимость.
Обратите внимание на задание – здесь в условии уже не констатируется факт существования интеграла.
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой, и мы в академичном стиле распиливаем пациента на две части:
И, несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – итогового интеграла в общем случае не существует, ибо сумма не определена. Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус бесконечности», например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс бесконечности» (или наоборот).
Но существует особый частный случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям одинаково. Это выражается пределом:
и называется сходимостью интеграла по Коши. Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла.
И поскольку условие требовало от нас исследования, то здесь будет грамотным следующий ответ: в общем случае несобственного интеграла не существует, однако имеет место сходимость по Коши и главное значение интеграла равно нулю. Главное значение принято обозначать так:
А сейчас очень важный момент: подынтегральная функция является нечётной, и как вы правильно догадываетесь, в несобственных интегралах с бесконечными пределами нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ.
В этом состоит отличие от определенного интеграла. Там можно смело записать, что , а здесь так поступать не следует. Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится автоматическая ошибка , что не соответствует действительности.
Тонкость же состоит в том, что интегралы от некоторых нечётных функций и в самом деле равны нулю! И как раз этой тонкости посвящен следующий пример для самостоятельного решения:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Полное решение и ответ в конце урока.
Метод решения несобственного интеграла второго рода
с точками разрыва на обоих концах отрезка
Заключительные пункты этой статьи предназначены для читателей, которые хорошо разобрались с несобственными интегралами второго рода на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Рассмотрим другие разновидности несобственных интегралов второго рода. Ничего сложного!
Многие выкладки предыдущего параграфа будут справедливы и сейчас.
Сразу конкретная задача:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Изобразим подынтегральную функцию на чертеже:
Геометрически данный несобственный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху.
Методика решения точно такая же, как и в предыдущем параграфе – разделяй и властвуй:
А уж интегралы правой части рассматривались во втором разделе урока Несобственные интегралы. Примеры решений.
Но, вместо этого замечаем, что подынтегральная функция является чётной. Чётность использовать МОЖНО. В этом легко убедиться и по чертежу. Таким образом, интеграл целесообразно споловинить, а результат удвоить. Решаем наиболее рациональным способом:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках . Данная функция является чётной, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля.
Ответ: , то есть, несобственный интеграл сходится
Исследовать несобственный интеграл на сходимость 😉
Это пример для самостоятельного решения. Всё, как и в предыдущем параграфе – нечетностью функции пользоваться НЕ НУЖНО. Аккуратно делим интеграл на две части и исследуем сходимость по типовому алгоритму. Полное решение и ответ в конце урока.
Не редкость, когда подынтегральная функция не является четной или нечетной, да и отрезок интегрирования не симметричен относительно нуля. Например, рассмотрим несобственный интеграл . Подынтегральная функция опять терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Алгоритм такой же, делим интеграл на два интеграла:
Интегралы правой части разобраны на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. В качестве факультатива выясните, существует ли этот интеграл в общем случае, и если существует – то сходится или нет.
Метод решения несобственного интеграла
с точкой разрыва на отрезке интегрирования
Если честно, такой пример встречался в моей практике всего один раз (по крайне мере, вспомнил лишь один), поэтому я ограничусь только обзором.
Пример опять же будет в известной степени условным, первое, что в голову пришло. Рассмотрим несобственный интеграл . На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке . Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интегрирования не симметричен относительно нуля.
Метод уже состарился, как хмм… чешуя динозавра. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
Интегралы правой части вам уже знакомы. А проговаривать алгоритм в третий раз не буду, смотрите предыдущие два параграфа)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 5: Решение:
Проведем замену:
Новые пределы интегрирования:
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на
Пример 11: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.
Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
Вычислим первый интеграл:
Вычислим второй интеграл:
Таким образом:
– интеграл сходится и равен нулю.
Ответ:
Примечание 1: В частности, равно нулю и главное значение интеграла
Примечание 2: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что , пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен.
Пример 13: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках .
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Вычислим первый интеграл:
Вычислим второй интеграл:
Таким образом, интеграла в общем случае не существует. Исследуем сходимость интеграла по Коши, используем чётность косинуса и свойство логарифмов:
Ответ: интеграл сходится лишь по Коши, главное значение
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!