Интегралы, зависящие от параметра с примерами решения и образцами выполнения
Понятие интеграла, зависящего от параметра, и его непрерывность:
Пусть в прямоугольнике
определена функция двух переменных f(x,y) (рис. 1).
Предположим, что при любом фиксированном значении у ∈ [с, d] существует интеграл
Ясно, что этот интеграл является функцией переменного у,
Интеграл (1) называется интегралом, зависящим от параметра у.
Имеет место следующая теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.
Теорема:
Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция I(у), определенная соотношением (1), непрерывна на отрезке [с, d].
Из формулы (1) вытекает, что приращение ∆I = I(у + ∆у) — I(у) функции I(у), соответствующее приращению аргумента ∆у, можно оценить так:
По условию теоремы функция f(x, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, а значит, f(x,y) равномерно непрерывна в этом прямоугольнике. Следовательно, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что при всех х из [а, b] и всех у и у + ∆у из [с, d] таких, что | ∆у| < δ, будет выполняться неравенство
Отсюда и из оценки (2) получаем, что
Это означает, что функция I(у) непрерывна в каждой точке отрезка [c, d].
Следствие (переход к пределу под знаком интеграла). Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П, то
где уо — любое фиксированное число, принадлежащее отрезку [с, d],
Так как функция I(у) непрерывна на [с, d], то имеют место равенства
равносильные равенствам (3).
Пример:
f(x, у) = (2x — 1) cos(xy)
непрерывна в любом прямоугольнике
где с < 0 < d. Отсюда по формуле (3) получаем
Дифференцирование интеграла no параметру
Теорема:
Если функция f(x, у) и ее частная производная непрерывны в прямоугольнике П = <а≤ х ≤ b, с ≤ у ≤ d>, то для любого у ∈ [с, d] справедлива формула Лейбница дифференцирования по параметру под знаком интеграла
Предполагая, что у + ∆у ∈ [с, d], составим разностное отношение
Переходя в этом равенстве к пределу при ∆у —> 0 и пользуясь непрерывностью частной производной и формулой (3), получим
Замечание:
Пусть пределы интегрирования зависят от параметра у. Тогда
где а(у) ≤ х ≤ b(у) и функции а(у) и b(у) дифференцируемы на отрезке с ≤ у ≤ d. При условии, что функции f(x, у) и f`y(x, у) непрерывны в области D = (рис. 2), получаем, что функция F(y) дифференцируема на [с, d], причем
(6)
Формула (6) доказывается с помощью дифференцирования сложной функции.
Так как F(у) = F(у, а(у), b(у)), то полная производная
Подставляя выражения для производных и в формулу (7), получим требуемую формулу (6).
Пример:
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл
а также ее производная по параметру
непрерывны в прямоугольнике
Поэтому применима теорема 2 о дифференцировании интеграла по параметру при |а| ≤ 1 — ε < 1. Имеем
Положим tg x = t, тогда
Интегрируя no t от 0 до + ∞, получим
Отсюда I(a) = π arcsin a + С. Устремляя a к нулю и замечая, что I(0) = 0, имеем С = 0. Следовательно, I(a) = π arcsin а.
Пример:
Найти производную F'(y) для функции
Здесь f(x,у) =, а(у) = у, b(у) = у 2 . Применяя формулу (6), получим:
Интегрирование интеграла по параметру
Теорема:
Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П = <а≤ x ≤ b, с ≤ у ≤ d>, то функция
интегрируема на отрезке [с, d], причем справедливы равенства
Другими словами, если f(x, у) непрерывна в П, то интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла.
Согласно теореме 1, функция I(у) непрерывна на отрезке [с, d] и поэтому интегрируема на нем. Справедливость формулы (8) следует из равенства повторных интегралов,
Пример:
Проинтегрировать по параметру у интеграл
в пределах от 0 до 1.
Так как функция f(х, у) = у x непрерывна в прямоугольнике
то применима теорема 3 об интегрировании интеграла по параметру. Имеем
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра:
Пусть функция двух переменных f(х, у) определена в полуполосе
(рис.3) и при каждом фиксированном у ∈ [с, d] существует несобственный интеграл f(x,y)dx, являющийся функцией от у.
называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у. Интервал (с, d) может быть и бесконечным.
Определение:
Несобственный интеграл (1) называется сходящимся в точке у ∈ [с, d], если существует конечный предел
т.е. если для любого ε > 0 существует число Во такое, что для всех В ≥ Вo выполняется неравенство
Если несобственный интеграл (1) сходится в каждой точке у отрезка [с, d], то он называется сходящимся на этом отрезке. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся на отрезке [с, d], если сходится интеграл
Равномерная сходимость несобственного интеграла. Критерий Коши
Определение:
Несобственный интеграл (1) называется равномерно сходящимся по параметру у на отрезке (с, d), если он сходится на этом отрезке и для любого ε > 0 можно указать такое А ≥ а, зависящее только от ε, что для всех В > А и для всех у из отрезка [с, d] выполняется неравенство
Имеет место следующий критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема:
Для того, чтобы несобственный интеграл (1) равномерно сходился по параметру у на отрезке [с, d], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 можно было указать число А ≥ а, зависящее только от ε и такое, что для любых В и С, больших А, и для всех у из отрезка [с, d] выполнялось неравенство
Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости.
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема:
Признак Вейерштрасса. Пусть функция f(x,y) определена в полуполосе alt=»Интегралы, зависящие от параметра» width=»» />и для каждого у ∈ [с, d] интегрируема по х на любо мот резке [а, А]. Пусть, кроме того, для всех точек полуполосы alt=»Интегралы, зависящие от параметра» width=»» />выполняется неравенство
Тогда из сходимости интеграла alt=»Интегралы, зависящие от параметра» width=»» />g(x) dx вытекает равномерная сходимость по у на отрезке [с, d] несобственного интеграла I(y) = alt=»Интегралы, зависящие от параметра» width=»» />f(x, у) dx.
В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции g(х), для любого ε > О можно указать число А ≥ а такое, что при всех С > В ≥ А выполняется неравенство
Используя неравенство (4), отсюда получим, что
для всех у из отрезка [с, d). Тем самым, критерий Коши равномерной сходимости интеграла
Пример:
Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл
Так как при любом s ∈ [а, β], где а и β — произвольные вещественные числа, выполняется неравенство
сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) равномерно сходится для всех s ∈ [а, β].
Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра
Свойство:
Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Если функция f(х, у) непрерывна в области и интеграл
сходится равномерно по у на отрезке [с,d], то функция I(у) непрерывна на [с, d].
Свойство:
Интегрируемость несобственного интеграла по параметру. Если функция f(x, у) непрерывна в области и интеграл (6) сходится равномерно по у на [с, d], то
Свойство:
Дифференцируемого несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) и ее частная производная непрерывны в области несобственный интеграл (6) сходится, а интеграл
сходится равномерно по у на [с, d]. Тогда
Пример:
Вычислить интеграл, зависящий от параметра s,
В примере 1 мы доказали равномерную сходимость интеграла
по параметру s на любом отрезке [a, β]. Покажем, что интеграл (9) также равномерно сходится по параметру s на любом отрезке [а, β]. В самом деле,
откуда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла (9). Обозначая подынтегральную функцию интеграла (5) через f(x, s),
— подынтегральная функция равномерно сходящегося интеграла (9). Используя свойство дифференцируемости несобственного интеграла по параметру, получим
K(s)=I'(s).
Так как I(s) = этом легко убедиться путем интегрирования по частям), то
Пример:
по у, у > 0, найти интеграл
Покажем сначала, что несобственный интеграл
зависящий от параметра у, сходится равномерно на отрезке [a, b]. Это вытекает из признака Вейер-штрасса, так как
по параметру у в пределах от а до b. Имеем
Замечание:
До сих пор мы рассматривали несобственные интегралы вида
Эго несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра у. Несобственным интегралам второго рода, зависящим от параметра у, называется интеграл вида
Теория несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, аналогична рассмотренной нами теории для несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра.
Интегралы Эйлера. Гамма-функция и ее свойства
Гамма-функцией называется интеграл
(1)
Область определения гамма-функции Г(х)
В интеграле (1) имеются особенности двух типов: ^интегрированиепо полупрямой 0 ≤ t < + ∞;
2) в точке 4 = 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность (при х< 1).
Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(х) в виде суммы двух интегралов
и рассмотрим каждый из них отдельно.
Так как при t > 0, то интеграл I1(x) сходится при х > 0 (по признаку сравнения).
Интеграл I2(x) сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное λ > 1, получим, что при любом х
При λ > 1 интеграл 
сходится, следовательно, интеграл 
сходится при любом х.
Тем самым, сходится при х > 0, и мы доказали, что областью определения гамма-функции Г(x) является полупрямая х > 0
Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке [с, d], где 0 < с < d < + ∞. Пусть с ≤ х ≤ d. Тогда при 0 ≤ t ≤ 1 имеем
Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства
получаем равномерную сходимость Г(x) на любом отрезке [с, d], где 0 < с < d < + ∞. Из равномерной сходимости Г(х) вытекает непрерывность этой функции при х > 0.
Некоторые свойства гамма-функции
1, Г(х) > 0 при х > О (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей).
2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции
Г(х + 1) = хГ(x). (4)
3. При x = n имеет место формула
Г(n + 1) = n! (5)
Пользуясь формулой (4), получим
Применяя формулу (4) п раз, при х > 0 получаем
4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле,
Отсюда следует, что производная Г'(х) на полупрямой (0, + ∞) может иметь только один нуль. А так как Г(1) = Г(2) = 1, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г'(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку Г»(х) > 0, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум.
Можно показать, что на (0, + ∞) функция Г(х) дифференцируема любое число раз.
5. Из формулы Г(х + 1) = хГ(х) следует, что
(ибо Г(х) непрерывна и Г(х+1) → Г(1) = 1 при х → +0).
6. Формула дополнения.
График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4.
Бета-функция и ее свойства
Бета-функцией называется интеграл
(7)
зависящий от параметров х и у.
Область определения бета-функции В (x)
Подынтегральная функция при х < 1 и у < 1 имеет две особые точки t = 0 и t = 1.
Для отыскания области определения В(х, у) представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов
первый из которых (при х < 1) имеет особую точку t = 0, а второй (при у < 1) — особую точку t = 1. Интеграл
— несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что 1-х < 1, т. е. при х > 0, а интеграл
сходится при у > 0. Тем самым, бета-функция В(х, у) определена для всех положительных значений х и у.
Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области x≥ а > 0, у ≥ b > 0, так что бета-функция непрерывна при х > 0, у > 0.
Некоторые свойства бета-функции
1, При х > 0 и у > 0 справедлива формула
(9)
2. Бета-функция является симметричной относительно х и у, т. е.
В(х, у) = В(у, х).
Это следует из формулы (9).
Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов
Рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Введем замену
Тогда при х1 =0 имеем t1 = + ∞, а при x2 = 1 получаем t2 = 0. Поэтому
Пример 2. Вычислить интеграл
Положим х m = t, тогда пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции:
Пример:
Исходя из равенства
Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами (9), (4), (5) и (10).
Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
16. Интегралы, зависящие от параметра
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Пусть 
обладает следующими свойствами:
1. 
Û
2. 
, 
по совокупности аргументов Û
.
При этих условиях существует
Докажем, что 
, причем производную 
можно искать дифференцируя под знаком интеграла.
Из курса действительного анализа известно, что действительный интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна. Поэтому
Кроме того, 
Þ, причем
Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства
Пусть заданы два некоторых множества $X \subset R$ и $Y \subset R$, где $Y$ — множество параметров, а $X$ представляет из себя некоторый отрезок $[a, b]$ — множество переменных. Тогда определим множество
$$K=\left\< < (x,y) >| < \begin
На заданном множестве $K$ зададим некоторую функцию $f(x,y)$ и предположим, что, для каждого фиксированного $y \in Y$, она интегрируема по Риману на промежутке $[a,b]$ (в данной работе мы рассматриваем только собственные интегралы). Тогда заданную функцию
$$J(y)= \intop_^ f(x,y)dx$$
назовем интегралом, зависящим от параметра $y$.
Так как нами введена новая функция, логично рассмотреть некоторые ее свойства.
Свойство непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра
$\Box$ Начнем доказательство, воспользовавшись теоремой Кантора. Исходя из того, что любая непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве (в данном случае прямоугольнике $K$) равномерно непрерывна на этом множестве, можем записать данное условие для дальнейшей работы с функцией. То есть, для любого $\varepsilon >0$ найдется такое $< \delta >_< \varepsilon >$(вообще говоря не зависящие от выбора точек $\left( < x >_< 1 >,< y >_ < 1 >\right)$ и $\left( < x >_< 2 >,< y >_ < 2 >\right)$ в данном прямоугольнике $K$), что из выполнения неравенств
$$\left| < x >_< 1 >—< x >_ < 2 >\right| << \delta >_< \varepsilon >,\quad \left| < y >_< 1 >—< y >_ < 2 >\right| << \delta >_< \varepsilon >\quad$$
следует выполнения неравенства
$$\left| f\left( < x >_< 1 >,< y >_ < 1 >\right) -f\left( < x >_< 2 >,< y >_ < 2 >\right) \right| <\frac < \varepsilon >< b-a >.$$
Положив $x=< x >_< 1 >=< x >_< 2 >$, можем заключить, что для любого $x \in [a, b]$ и $< y >_< 1 >,< y >_ < 2 >\in [c, d]$, таких, что $< \left| < < y >_< 1 >-y >_ < 2 >\right| ><< \delta >_< \varepsilon>,$ выполняется условие
$$\left| f\left( x,< y >_ < 1 >\right) -f\left( < x >,< y >_ < 2 >\right) \right| <\frac < \varepsilon >< b-a >.$$
Тогда для любых $< y >_< 1 >,< y >_< 2 >$ из отрезка $[c,d]$, удовлетворяющих условие описанное выше, выполняется:
$$\left| J(< y >_< 1 >) — J(< y >_< 2 >)\right| =$$ $$=\left| \intop_< a >^< b >< f(x,< y >_< 1 >)dx > -\intop_< a >^< b >< f(x,< y >_< 2 >)dx > \right| =$$ $$=\left| \intop _< a >^< b >< \left( f(x,< y >_ < 1 >\right) -f(x,< y >_< 2 >))dx > \right| \le \intop _< a >^< b >< \left| f(x,< y >_< 1 >)-f(x,< y >_< 2 >) \right| dx > \le $$ $$ \le \frac < \varepsilon > < b-a >(b-a)=\varepsilon.$$
Откуда можем сделать вывод о том, что функция $J(y)$ непрерывна в на отрезке $[c,d]$, что и требовалось доказать.$\blacksquare$
Как важное практическое применение данной теоремы, например, можем определить возможность переходить к пределу под знаком интеграла, при выполнении других необходимых для этого условий, а именно:
$$\lim _< y\rightarrow < y >_ < 0 >>< \intop _< a >^< b >< f(x,y)dx=\intop _< a >^< b >< \lim _< y\rightarrow < y >_ < 0 >> f(x,y)dx=\intop _< a >^< b >< f(x,< y >_< 0 >)dx\quad \forall > < y >_< 0 >\in [c,d] > > >.$$
Свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра
Заметим, что указанное выше равенство называется правилом Лейбница: «Производная интеграла, зависящего от параметра, равна интегралу от производной подынтегральной функции по заданному параметру».
Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении *
$$< \frac < J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) > < \Delta y >>=\intop _< a >^< b >< \frac < f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) > < \Delta y >dx >=$$ $$ =\intop_< a >^< b >< \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y+< \theta >_< x >\Delta y \right) dx >,\quad < \theta >_< x >\in \left( 0,1 \right).$$
Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$:
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists < \delta >_< \varepsilon >>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$$ $$=\left| \Delta y \right| << \delta >_< \varepsilon >\Rightarrow \left| \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) \right| <\frac < \varepsilon >< b-a >.$$
Принимая во внимание тот факт, что $< \theta >_ < x >\in \left( 0,1 \right)$, автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
$$\left| \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y+< \theta >_ < x >\Delta y \right) -\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) \right| <\frac < \varepsilon >< b-a >.$$
Тогда можем записать
$$\left| \frac < J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) > < \Delta y >-\intop _< a >^< b >< \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) dx > \right| =$$ $$=\left| \intop _< a >^< b >< \left( \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y+< \theta >_ < x >\Delta y \right) -\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) \right) dx > \right| \le$$ $$\le \intop _< a >^< b >< \left| \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y+< \theta >_ < x >\Delta y \right) -\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) \right| dx > \le \left( b-a \right) \frac < \varepsilon > < b-a >=\varepsilon.$$
Обобщив указанную ранее теорему, можем получить формулу Лейбница для случая, когда пределы интегрирования являются некоторыми функциями, зависящими от параметра $y$.
Формула Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от переменной дифференцирования
Пусть пределы интегрирования собственного интеграла зависящего от параметра $y$ – некоторые непрерывно дифференцируемые на отрезке $[c, d]$ функции, зависящие от данного параметра: $a(y),b(y)$. Тогда пусть задана функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right)$ непрерывны в области
$$K=\left\< < (x,y) >| < \begin
Тогда
$$J(y)= \intop_
дифференцируема на $[c,d]$, причем
$$< J >^< \prime >\left( y \right) =\intop _< a\left( y \right) >^< b\left( y \right) >< \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right)dx -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot < a >^< \prime >\left( y \right) +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot < b >^< \prime >\left( y \right) >.$$
$\Box$ Рассмотрим $J(y)$. Это сложная функция, зависящая от трех переменных, то есть можем записать: $J\left( y \right) =J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right)$. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
$$< J >^< \prime >\left( y \right) =\frac < \partial > < \partial y >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac < \partial > < \partial a >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac < da > < dy >+$$ $$+\frac < \partial > < \partial b >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac < db >< dy >.$$
Подставляем найденные производные в исходное выражение для производной сложной функции
$$< J >^< \prime >\left( y \right) =\frac < \partial > < \partial y >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac < \partial > < \partial a >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac < da > < dy >+$$ $$+\frac < \partial > < \partial b >J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac < db > < dy >=\intop_< a\left( y \right) >^< b\left( y \right) >< \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) dx > -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \frac < da >< dy >+$$ $$+f\left( b\left( y \right) ,y \right) \frac < db >< dy >=\intop _< a\left( y \right) >^< b\left( y \right) >< \frac < \partial > < \partial y >f\left( x,y \right) dx > -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot < a >^< \prime >\left( y \right) +$$ $$ +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot b^< \prime >\left( y \right).$$
Численное интегрирование с параметром
Рассмотрим $%\int_<-\infty>^ <\infty>f(x,y)dy$%. Можно ли численно найти значение такого интеграла, как функции от $%x$%? Подынтегральная функция «плохая».
задан 5 Апр ’12 15:54
2 ответа
Достаточно универсальный способ — выбор подходящего базиса в пространстве L2 и разложение функции $%f(x,y)$% по нему, т.е. представление $%f(x,y)=\sum g_k(x)\cdot e_k(y) $%, где <$% e_k(y)$%>— выбранный базис, а <$% g_k(x)$%>— коэффициенты разложения по этому базису. На бесконечном интервале один из стандартных базисов — функции Эрмита (полиномы Эрмита с весом).
В данном случае можно выбрать какой-нибудь более простой, не обязательно ортонормированный базис. Например, если $%f(x,y)$% достаточно гладкая по $%x$% функция можно разложить ее в ряд Тейлора по степеням $%x-x_0$% в окрестности какой-либо точки $%x_0$%.
Если же подынтегральная функция имеет какие-либо особенности, то самое главное выделить и правильно обработать эти особенности. Все эти вопросы рассматриваются в Методах асимптотического интегрирования (часть курса Асимптотические методы).
Дополнение 1. С интегралом такого типа я в свое время имел дело, у меня все хорошо получилось после разложения $%\psi(x,y) $% по степеням $%y-y_0 $%. Но вообще все зависит от конкретного вида интеграла. Может быть, стоит его привести?
Общий рецепт — выделить особенности и «хвосты» — окрестности бесконечности — возможно получится несколько участков, на каждом из которых нужно использовать свое разложение. Как минимум таких участков будет 3 — окрестность $%y_0 $% и окрестности бесконечности. Если на бесконечности подынтегральная функция быстро убывает, а других особенностей, кроме $%y_0 $% нет, останется только 1 участок — окрестность $%y_0 $%.
Сейчас прочитал Ваш комментарий к ответу DocentI. $%ln(y)/y^2 $% — это медленное убывание, поэтому «хвосты» придется учитывать.
Дополнение 2. Fedya, если подынтегральная функция представляется в виде $% \varphi(y) \cdot \psi(x,y) $%, где $% \varphi(y) $%- острый пик в окрестности $%y_0 $%, а $%\psi(x,y) $% — регулярная в функция, то разложение $%\psi(x,y) $% в ряд Тейлора в окрестности $%y_0=y_0(x) $% — это как раз и есть обобщение замены функции $% \varphi(y) $% на $%\delta$%-функцию: если оставить только нулевой член ряда — это будет просто замена функции $% \varphi(y) $% на $%\delta(y-y_0(x))$%, каждый следующий член увеличивает точность аппроксимации, весь ряд дает точное разложение. Погрешность можно оценить по последнему оставленному члену ряда.
