Найдите вероятность того что бросали второй кубик

Задача 24694 В случайном эксперименте бросают две.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что одновременно хотя бы на одном кубике выпало число 1 и ни на одном кубике не выпало число 6.

Решение

На первой кости может выпасть любое из шести чисел, на второй кости может выпасть любое из шести чисел
n=36
Результаты появления чисел можно записать парами.
(1;1) — на первой кости 1 и на второй кости 1
.
(1;6)
.
(6;6)
Всего 36 пар.

Cобытие А — ''хотя бы на одном кубике выпало число 1 и ни на одном кубике не выпало число 6''
Событию А благоприятствуют исходы
(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5)
(2;1);
(3;1)
(4;1)
(5;1)

Новые задачи по теории вероятностей

Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.

Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.

1. № 508755

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.

Нам нужно найти вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков при условии, что вы сумме выпало 8 очков.

Воспользуемся формулой Байеса.

Пусть событие А «в сумме выпало 8 очков»

Событие В «в первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков»

Искомая вероятность равна

Если всего в сумме выпало 8 очков, то возможны такие варианты бросков:

Вероятность этого события

В первый раз выпало 6 очков И в сумме выпало 8 очков всего в одном случае, и вероятность этого события равна

Тогда вероятность равна

2. № 508769

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Пусть событие А — «сумма выпавших очков окажется равна 8» при условии, что три очка не выпадет ни разу.

Представим число 8 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых принимает значения от 1 до 6 (возможное число очков):

По условию задачи сумма (2) нам не подходит.

Сумма (1) выпадает в двух случаях: 2+6 и 6+2.

Сумма (3) выпадает в одном случае.

При бросании кости 2 раза получаем возможных исходов. Из этих исходов вычтем те, при которых выпало 3 очка. Таких исходов 11: 3 очка при первом броске, и 6 вариантов для второго броска, или наоборот. При этом исход 3;3 считаем один раз. Таким образом, имеем 36-11=25 возможных исходов. Для нас благоприятными являются 3 исхода. Таким образом, искомая вероятность равна

3. № 508781

Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

При каждом броске монеты получаем 2 возможных исхода: орел или решка. При броске монеты 11 раз имеем возможных исходов.

Пусть событие А — «выпадет ровно 5 орлов».

Пусть событие В — «выпадет ровно 4 орла»

Найдем число благоприятных исходов для события А. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 5. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 5.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем число благоприятных исходов для события B. Оно равно числу способов выбрать из 11 элементов 4. То есть мы ищем число сочетаний из 11 по 4.

Сократим дробь и получим:

Таким образом, .

Найдем :

Ответ: в 1,4 раза.

4. № 508791

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Вероятность получить определенную комбинацию очков при одновременном бросании костей такая же, как при их последовательном бросании.

Пусть событие А — «в первой попытке выпала комбинация 5 и 6 очков»

Пусть событие В — «во второй попытке выпала комбинация 5 и 6 очков»

При бросании двух костей имеем возможных исходов.

Найдем число благоприятных исходов в каждой попытке: нас устраивает: если гость выбросит (5 и 6) очков или (6 и 5) очков, то есть 2 благоприятных исхода.

Следовательно, вероятность получить искомую комбинацию в первой попытке равна

Вторая попытка необходима, если первая неудачна. Вероятность того, что первая попытка неудачна, равна

Вторая попытка, то есть одновременное бросание двух костей второй раз ничем не отличается от первой.

Итак, считаем вероятность того, что «искомая комбинация выпала при первой попытке» ИЛИ «искомая комбинация НЕ выпала при первой попытке И выпала при второй попытке».

Вероятность получить искомую комбинацию в первой ИЛИ второй попытке равна сумме вероятностей:

5. № 508793

Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.

Заметим, что уже известно, что сумма всех выпавших очков равна 4. Это ограничивает число возможных вариантов бросков.

Рассмотрим все возможные варианты. Для этого представим число 4 в виде различных сумм слагаемых:

Найдем вероятность каждого исхода:

Вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка, равна сумме вероятностей всех исходов:

Вероятность того, что в результате трех бросков сумма выпавших очков оказалась равна 4:

Нам нужно найти вероятность того, что сделано 3 броска при условии, что сумма всех выпавших очков равна 4.

Пусть А — событие «сумма всех выпавших очков равна 4».

Пусть В — событие «сделано 3 броска»

Пусть B|A — событие «сделано 3 броска при условии, что сумма всех выпавших очков равна 4»

Пусть АВ — событие «в результате трех бросков сумма выпавших очков оказалась равна 4»

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Тогда по формуле Байеса

6. № 508798

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Можно переформулировать вопрос так: какова вероятность того, что сумма выпавших очков станет больше либо равна 4 при трех бросках?

Это возможно в следующих случаях: 1+1+2; 1+1+3; 1+1+4; 1+1+5; 1+1+6; 1+2+. (здесь при третьем броске нас устраивает любое число очков, то есть имеем 6 благоприятных исходов); 2+1+. (6 исходов). То есть из 216 возможных исходов при трех бросках благоприятными для нас являются 5+6+6=17 исходов. Тогда получаем, что вероятность равна

7. № 508809

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Если вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок, равна 0,2, следовательно, вероятность того, что сообщение будет передано с ошибкой, равна . Нам надо найти вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки.

Нарисуем дерево вероятностей.

Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате первой попытки, равна 0,2. Вероятность того, что сообщение будет верно передано в результате второй попытки, равна . Следовательно, вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок в результате первой ИЛИ второй попытки, равна

8. № 508820

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

Нам нужно найти вероятность того, что пациент болен при условии, что известно, что у него ПЦР тест положительный. Пусть вероятность того, что пациент болен , тогда вероятность того, что пациент здоров равна .

Нарисуем дерево вероятностей.

По условию в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, к исходу «положительный тест» ведут красные линии.

Вероятность того, что пациент имеет положительный тест равна 0,1.

Получаем: если пациент здоров, то вероятность получить положительный тест равна , если пациент болен, вероятность получить положительный тест равна .

Заметим, что вероятность того, что пациент болен И имеет положительный тест равна .

Теперь воспользуемся формулой Байеса. Нам нужно найти отношение вероятности того, что пациент болен И имеет положительный тест к вероятности того, что пациент имеет положительный тест.

9. № 508831

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?

Если стрелок попадает в цель с вероятностью 0,2, то с вероятностью 0,8 он промахивается. Если стрелок промахивается, то он делает следующий выстрел.

Нарисуем дерево вероятностей:

На рисунке изображен результат 4-х выстрелов, но их может быть больше. Красные веточки — это путь к конечному исходу «попал в цель».

Вероятность попасть в цель в результате одного выстрела равна 0,2.

Вероятность попасть в цель в результате двух выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате трех выстрелов равна .

Вероятность попасть в цель в результате четырех выстрелов равна .

10. № 508843

В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Всего в ящике 6 фломастеров. Первый раз синий фломастер появится третьим по счету, если сначала будут вытащены 2 красных фломастера.

Вероятность первый раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 2 красных и 3 синих фломастера, всего 5 штук.

Вероятность второй раз вынуть красный фломастер равна

После этого в ящике останется 1 красный и 4 синих фломастера, всего 4 штуки.

Теперь вероятность вынуть синий фломастер равна .

Тогда вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету равна произведению вероятностей:

11. №508851

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом. Если он попадает в мишень с вероятностью 0,6, то с вероятностью 1-0,6=0,4 он промахивается.

Нарисуем дерево вероятностей:

Мы видим, что вероятность того, что стрелок поразит мишень первым или вторым выстрелом, равна . Отсюда вероятность промахнуться, сделав два выстрела, равна .

Пусть А — событие «стрелок поразит ровно три мишени».

Пусть В — событие «стрелок поразит ровно две мишени»

Найдем вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени». Пусть стрелок первые три мишени поразит, а в последние две промахнется. Вероятность этого события равна . Но он может попадать в цель и промахиваться в произвольном порядке, главное чтобы он три раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 3 цели и в 2 промахнулся» равно — число способов выбрать из пяти элементов три, (число сочетаний из 5 по 3).

Тогда

Найдем вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени». Пусть стрелок первые две мишени поразит, а в последние три промахнется. Вероятность этого события равна . Но он может попадать в цель и промахиваться в произвольном порядке, главное чтобы он два раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 2 цели и в 3 промахнулся» равно — число способов выбрать из пяти элементов три (число сочетаний из 5 по 2) .

Тогда

Найдем отношение :

12. № 508868

В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.

Команда А победила в шести играх, следовательно, она сыграла 6 матчей с шестью командами и оказалась самой сильной из них. В этих матчах приняло участие 7 команд.

Рассмотрим команды, которые уже сыграли. Присвоим каждой команде номер в зависимости от ее силы. Самая сильная команда имеет больший номер. Пусть, например, в нашем случае у команды А будет номер номер 7, а у проигравших команд будут номера от 1 до 6. Вероятность того, что команда А выиграет у всех остальных команд равна вероятности того, из 7 различных чисел у команды А номер 7. Эта вероятность равна .

Теперь нам нужно найти вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд. В седьмом раунде добавится еще одна команда. То есть мы будем иметь уже 8 команд, участвующих в викторине. Теперь у нас уже есть как бы набор из восьми различных чисел, характеризующих силу каждой команды. Найдем вероятность противоположного события: «команда А проиграет седьмой раунд». Это значит, что восьмая команда окажется сильнее, чем команда А. Это произойдет в том случае если из 8 различных неравных чисел у числа, характеризующего силу восьмой команды будет самое большое значение. Вероятность этого события равна .

Отсюда вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд равна

В общем случае получаем, что если команда выиграла в раундах, то вероятность выиграть в -м равна .

13. № 508871

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

Если в турнире участвуют 8 игроков, то в первом туре будет сыграно 4 партии, во втором 2 и в третьем 1 партия.

Иван и Алексей могут сыграть в первом туре. В первом туре соперником Ивана может быть один из семи игроков, то есть вероятность того, что это Алексей, равна .

Значит, вероятность того, что Иван и Алексей сыграли в первом туре равна .

Если Иван и Алексей не сыграли в первом туре, то они могут сыграть во втором. Для начала они должны выйти во второй тур. Для этого должны быть выполнены два условия: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре (вероятность этого события ) И 2) оба победили каждый в своей партии.

Вероятность того, что они выйдут во второй тур равна .

Во второй тур выходят 4 человека, значит, при условии, что Иван и Алексей вышли во второй тур, вероятность сыграть друг с другом равна .

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей вышли во второй тур И сыграли друг с другом равна .

Вероятность не сыграть друг с другом, при условии, что они вышли во второй тур равна .

Тогда они могут выйти в третий тур. Чтобы они вышли в третий тур необходимо выполнение двух условий: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре И выиграли обе партии в первом туре, 2) они не сыграли друг с другом во втором туре И они победили каждый в своей партии во втором туре. Вероятность того, что это произойдет равна

Если они вышли в третий тур, то они точно сыграют друг с другом.

Таким образом, вероятность того, что Иван и Алексей сыграют друг с другом ИЛИ в первом туре, ИЛИ во втором ИЛИ в третьем туре, равна

Графически решение можно изобразить так:

14. № 508887

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?

При бросании первого кубика вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Во втором кубике по две грани с числами 3 и 5, соответственно вероятность, что выпадут 3 и 5 очков, ИЛИ 5 и 3 очка равна .

Получили, что вероятность выпадения указанной комбинации при бросании второго кубика в 4 раза больше, чем при бросании первого. То есть из 5 серии бросков, при которых выпали числа 3 и 5, в среднем в 4-х случаях из пяти это будут броски второго кубика. Следовательно, вероятность того, что бросали второй кубик равна 0,8.

15. № 509078

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?

По условию покупка одного яйца не принесет Маше принцессу нового вида, то есть вероятность того, что Маша получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна , соответственно, вероятность того, что при покупке одного яйца Маша НЕ получит такую же принцессу, как у нее уже есть, равна .

Маша получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке второго Киндер-сюрприза, если в первом купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а во втором отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна

Маша получит принцессу, отличную от тех, что у нее есть при покупке третьего Киндер-сюрприза, если в первом и втором купленном яйце будет такая же принцесса, как у нее есть, а в третьем отличная от уже имеющихся. Вероятность этого события равна

Тогда вероятность получить новую принцессу при покупке второго ИЛИ третьего Киндер-сюрприза равна

15. № 508885

Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятность на единицу больше предыдущего и с вероятность на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Искомая вероятность находится по следующей формуле:

где — вероятность того, что следующий член последовательности на единицу больше предыдущего, . Вывод этой формулы выходит за рамки школьной программы, поэтому просто используем ее для решения задачи:

Решение №2167 Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза.

Решение:

При броске обычного игрального кубика могут выпасть числа от 1 до 6.

Решение №1360 В случайном эксперименте бросили игральный кубик 2 раза.

При бросании первого обычного кубика вероятность того, что выпадут 3 и 5 очков ИЛИ 5 и 3 очка равна:

На втором кубике по две грани с числами 3 и 5, соответственно вероятность, что выпадут 3 и 5 очков ИЛИ 5 и 3 очка равна:

Заметим, что вероятность выпадения при бросании второго кубика в 4 раза больше, чем при бросании первого:

Значит вероятности относятся как 4:1 (второй кубик : первый кубик). Всего частей 4 + 1 = 5 из них 4 части вероятности выпадения второго кубика.
Вероятность того, что бросали второй кубик равна:

Какова вероятность того что при броске двух кубиков сумма выпавших очков будет равна 6

Поскольку кубик имеет 6 граней, при броске каждого кубика есть шесть возможных вариантов выпадения очков. Если бросать два кубика одновременно, то количество разных вариантов выпадения очков на двух кубиках будет равно 6*6 = 36.
Теперь нам необходимо определить, какое количество вариантов соответствует случаю, когда сумма выпавших на двух кубиков очков будет равна 6. Переберем все такие возможности:
1) 1 кубик — 1, 2 кубик — 5;
2) 1 кубик — 2, 2 кубик — 4;
3) 1 кубик — 3, 2 кубик — 3;
4) 1 кубик — 4, 2 кубик — 2;
5) 1 кубик — 5, 2 кубик — 1.
Всего таких вариантов 5, а общее число вариантов выпадения очков на двух кубиках равно 36, следовательно, вероятность того что при броске двух кубиков сумма выпавших очков будет равна 6 составит 5/36.