Сигма-алгебра событий.
В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.
Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется -алгеброй ( -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:
(S1) ( -алгебра событий содержит достоверное событие);
(S2) если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);
(S3) если , , то (вместе с любым счётным набором событий -алгебра содержит их объединение).
Свойство 2. Свойство (S3) можно заменить на
(S4) если , , то .
Как показывает следующее свойство, всякая -алгебра автоматически является алгеброй.
Свойство 3. Если — -алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых и выполняется .
Доказательство. Превратим пару в счётную последовательность событий так: , т.е. положим , при всех . Объединение совпадает с объединением всех множеств из этой бесконечной последовательности. А так как — -алгебра, то
Пример. Пусть , и пусть — множество, содержащее любые конечные подмножества (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. В частности, множество принадлежит , множество также принадлежит .
Легко проверить, что множество является алгеброй. Действительно, пустое множество и само там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в по определению, дополнение к множеству вида для конечных совпадает с и также принадлежит по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит . Объединение конечного множества с множеством вида , где конечно, есть снова множество вида , где конечно (или пусто). Объединение двух множеств и , являющихся дополнениями до конечных множеств и , есть снова множество такого же вида.
Однако алгебра не содержит ни одного счётного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд не принадлежит . Поэтому не является -алгеброй: для бесконечной, но счётной последовательности одноточечных множеств из их объединение не принадлежит .
Все алгебры из примера 11 являются -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве понятия алгебры и -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств является -алгеброй для любого .
Определение вероятности на общем пространстве элементарных исходов. Свойства вероятности.
Геометрические вероятности. Примеры.
При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества .
Вероятность события А определяется формулой
где 
обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.
В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области . При этом требуется, чтобы все точки области имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.
Пример. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.
Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:
Пример. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам 
.
По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:
Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам 
Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:
Глава 3 Сигма-алгебра ( \(\sigma\) — алгебра)
Случайные величины принято обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита, например \(X, Y, Z\) . События обычно обозначают заглавными первыми буквами латинского алфавита, например \(A,B,C\) . Для обозначения \(\sigma\) -алгебры обычно используются каллиграфические заглавные буквы латинского алфавита, например \(\mathcal
3.1.2 Неформальное определение \(\sigma\) — алгебры:
\(\sigma\) -алгебра индивида — множество событий, про которые индивид может гарантированно сказать, произошли они или нет, вне зависимости от исхода эксперимента. Цель использования \(\sigma\) -алгебр — описать наделенность информацией индивидов.
3.1.3 Пример с игровым кубиком:
Эксперимент заключается в однократном подбрасывании игрового кубика. Пространство элементарных исходов: \[ \Omega = \<1,2,3,4,5,6\>\] Имеется три наблюдателя эксперимента: Антон — знает что кубик бросали, но не видел что на нем выпало. Обозначим \(\sigma\) -алгебру Антона \(\mathcal
Определим, из каких элементов состоит каждая \(\sigma\) -алгебра. Антон не видел исход эксперимента, но знал, что эксперимент был, таким образом он может ответить на вопрос: “Упал ли кубик?”, или по-другому: “Выпало ли какое-нибудь число?”. То есть Антон различает только два события: “кубик упал”, которому соответствует все пространство элементарных исходов, и “кубик не упал”, которому соответствует пустое множество. Получаем, что \(\sigma\) -алгебра Антона состоит из двух элементов: \[\mathcal
Берта видела исход эксперимента и различает все исходы, а значит, различает все возможные события, которые могут произойти в ходе эксперимента, их объединения, пересечения и прочие логические операции над ними ( мы предполагаем, что наши индивиды умеют делать логические выводы, на основе имеющейся информации). \(\sigma\) -алгебра Берты — булеан \(\Omega\) .
3.1.4 Формальное определение \(\sigma\) — алгебры:
Множество \(\mathcal
- \(\varnothing,\Omega \in \mathcal
\) - Если \(A \in \mathcal
\) , то и \(\bar \in \mathcal \) - Если \(A_<1>, A_<2>,\dots \in \mathcal
\) , то любое событие, которое можно получить из \(A_\) с помощью любой логической операции в счетном количестве, обязательно лежит в \(\mathcal \) .
На самом деле, некоторые пункты в данном определении можно опустить, так как другие пункты так же их учитывают. Минимальные требования, при которых определение остается корректным:
- \(\varnothing \in \mathcal
\) - Если \(A \in \mathcal
\) , то и \(\bar \in \mathcal \) - Если \(A_<1>, A_<2>,\dots \in \mathcal
\) , то и \(\bigcup_ \)
3.2 Упражнение про Петров и Николаев:
В ходе эксперимента монетку подбрасывают бесконечное число раз. Пусть событие \(A_\) — в i-ом подбрасывании выпал орел, \(i=1,2,\dots\) .Имеются два типа наблюдателей, Петры и Николаи. \(Петр_<1>\) видел все подбрасывания, начиная с первого, \(Петр_<2>\) видел все подбрасывания, начиная со второго и тд. То есть \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная с i-ого. \(Николай_<1>\) видел первое подбрасывание, а потом ушел, \(Николай_<2>\) видел первое и второе подбрасывание, а потом ушел и тд. То есть \(Николай_\) видел все подбрасывания до i-ого включительно, а остальные не видел. Обозначим \(\sigma\) — алгебру i-ого Петра \(\mathcal
Сигма-алгебра
σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
Содержание
Определение
Семейство [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle< X >[/math] называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам [1] :
- [math]\displaystyle < \mathfrak
>[/math] содержит множество [math]\displaystyle< X >[/math] и пустое множество Ø. - Если [math]\displaystyle < E\in \mathfrak
>[/math] , то и его дополнение [math]\displaystyle < X\backslash E\in\mathfrak>[/math] . или пересечениесчётного подсемейства из [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math] принадлежит [math]\displaystyle < \mathfrak>[/math]
Пояснения
- Поскольку [math]\displaystyle< \bigcap_
- Для любой системы множеств [math]\displaystyle < \mathcal
>[/math] существует наименьшая сигма-алгебра [math]\displaystyle< \sigma(\mathcal) >[/math] , являющаяся её надмножеством. - Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств [math]\displaystyle < \mathcal
>[/math] ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на [math]\displaystyle< \sigma(\mathcal) >[/math] , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится. - σ-алгебра, порождённаяслучайной величиной [math]\displaystyle < \xi:\,X\rightarrow \mathbb
>[/math] , определяется следующим образом:
Измеримое пространство
Измеримое пространство — это пара [math]\displaystyle< (X, \mathcal F) >[/math] , где [math]\displaystyle< X >[/math] — множество, а [math]\displaystyle< \mathcal F >[/math] — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Тогда сигма-алгебра — это алгебра, замкнутая относительно счетного числа операций такого вида. Заметим, что переход от алгебры А к сигма-алгебре равнозначен добавлению счетных объединений подмножеств А, причем таким образом мы получаем некоторое семейство множеств А, которое уже не будет замкнутым относительно пересечений. Затем мы добавляем счетные пересечения множеств из А и получаем семейство множеств AI, не замкнутое относительно объединений. Действуя таким способом, мы можем получить сигма-алгебру с помощью трансфинитной индукции — процесса, одно упоминание которого вызывает дрожь. Следующая теорема избегает этого, а просто утверждает, что сигма-алгебры — это монотонные пределы алгебр. [2]
Эта же сигма-алгебра В порождается открытыми шарами. [3]
Тогда Е есть сигма-алгебра и сужение меры ц на Е является счетно-аддитивной мерой. [4]
Очевидно, что любая сигма-алгебра является монотонным классом и семейство всех подмножеств множества П опять же есть монотонный класс. Таким образом, любое семейство подмножеств содержится в монотонном классе. [5]
Если Е — борелевская сигма-алгебра В на R, то каждая непрерывная функция измерима по Борелю. [6]
А принадлежит каждой сигма-алгебре , содержащей F. [7]
Пусть Т о — сигма-алгебра , о которой говорится в предыдущей теореме. [8]
Согласно аксиоме ( i) борелевская сигма-алгебра В содержит все замкнутые множества. С помощью аксиомы выбора можно показать, что В не содержит всех подмножеств пространства Ж, хотя для чтения этой книги не обязательно знать этот факт, как, впрочем, и аксиому выбора. [9]
Поскольку любая сигма-алгебра есть монотонный класс, S является наименьшей сигма-алгеброй , содержащей А. [10]
Пусть А — алгебра подмножеств множества П u S — наименьшая сигма-алгебра , содержащая А. [11]
Доказать, что результат операций объединения подмножеств меры нуль с множествами из сигма-алгебры и дополнения подмножеств меры нуль принадлежит сигма-алгебре, а продолжение меры является опять же мерой. [12]
Следствия ( 3) — ( 5) легко проверить с помощью свойств сигма-алгебры . [13]
Доказать ( см. § 1.5), что для любых борелевского множества А С Е и сигма-алгебры Е множество х: f ( x) е А Е — измеримо, если функция / Е — измерима. [14]
Доказать, что результат операций объединения подмножеств меры нуль с множествами из сигма-алгебры и дополнения подмножеств меры нуль принадлежит сигма-алгебре , а продолжение меры является опять же мерой. [15]