Как найти производную в эксель

Лабораторная работа № 11

Цель работы: выработать навык использования табличного процессора MS Excel для численного (приближенного) вычисления производных функций (дифференцирование) и определенных интегралов (интегрирование), заданных в табличном виде.

Вычисление производной функции

Для функции своего варианта, используя MS Excel, вычислить производную в точках заданного интервала тремя способами: правых конечных разностей, левых конечных разностей и центральных разностей. Построить совмещенные графики вычисленных производных.

Методика выполнения задания.

Способы вычисления производной функции, заданной в табличном виде:

способ правой конечной разности

с пособ левой конечной разностью

с пособ центральных разностей

Вычисление производных на границе интервала, где задана функция, имеет свои особенности. Несложно догадаться, что, например, если вычислять производные согласно формуле для правых разностей, на правой границе диапа­зона производную вычислить не удастся. Для формулы левых разностей пробле­мы возникают, соответственно, на левой границе. Что касается центральных раз­ностей, то формула не может использоваться на обеих границах интервала.

Вычислить производную функции на интервале [0; 5].

Аналитически производная выражается формулой .

На рисунке представлена функция, табулированная с шагом 0,5 и формулы вычисления производной перечисленными выше способами. Там же приведены и точные значения производной в соответствующих точках.

интервала.

Порядок решения примера:

В ячейку А2 вводим 0 (начальное значение интервала) и с шагом 0,5 заполняем диапазон до значения 5 (конечная ячейка А12).

В ячейку В2 =1/(1+A2) (функция 1/(1+x)) и копируем до ячейки В12;

В ячейку С2 (Правые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки С11;

В ячейку D3 (Левые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки D12;

В ячейку Е3 (Центральные разности) =(В4-В2)/(A4-A2) и копируем до ячейки E11;

В ячейку F2 (Точное значение) =−1/(1+A2)^2 (аналитически вычисленная производная -1/(1+x)^2) и копируем до ячейки F12.

Н а рисунке приведено расположение формул в ячейках таблицы.

3. Строим совмещенные графики, вычисленной производной всеми способами и проводим анализ. При заданных начальных условиях ближе всего к точному решению находится результаты расчета способом центральных разностей.

В вариантных примерах Задания 1 шаг табулирования функции внутри интервала выбрать по формуле:

Вычисление производной в Excel

Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента.

Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов.

На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д.

Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок.

Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки?

Минимум теории.

Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве.

Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции.

y’ ( x )=lim ( Δy / Δx ) при Δx →0

Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции в этой точке.

tg ( α )= Δy / Δx

Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей.

Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.

В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.

Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.

Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.

На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F₁ . Подвесная площадка имеет вес 2* F₂ и крепится к балке в двух точках.

Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.

На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.

На следующем скриншоте представлены исходные данные.

Расчетные исходные данные:

3. Погонная масса двутавра 30М:

γ =50,2 кг/м

Сечение балки составлено из двух двутавров:

n =2

Удельный вес балки:

q = γ * n * g =50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм

5. Момент инерции сечения двутавра 30М:

I_x1 =95 000 000 мм 4

Момент инерции составного сечения балки:

I_x = I_x1 * n =95 000 000*2=190 000 000 мм 4

10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:

R =( q * z_max +8* F₁ +2* F₂ )/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н

В расчете учитывается собственный вес балки!

Задача:

Найти значения изгибающего момента M_xi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.

Решение:

Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Q_y , изгибающих моментов M_x , углов поворота U_x оси балки и прогибов V_x по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h . (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)

Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.

Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь.

Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB).

Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.

Из теории мы знаем, что:

Угол поворота – это первая производная прогиба U = V’ .

Момент – это вторая производная прогиба M = V’’ .

Сила – это третья производная прогиба Q = V’’’ .

Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.

Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54.

Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.

Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.

Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!

Однако.

Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!

Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью

1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h , «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.

Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.

Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.

Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i =4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении ( ε₂₁ =1,813%).

Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации.

Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.

Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!

Нахождение производной в Excel

В Excel есть график, его уравнения нет (никакой функциональной зависимости нет) , могу ли я найти производную в точке с известными координатами?
Ну или тангенс угла наклона касательной к графику в данной точке
Помогите, пожалуйста! Подскажите, как это сделать

Ну блин.. . delta y / delta x

Вычисляет или предсказывает будущее значение по существующим значениям. Предсказываемое значение — это y-значение, соответствующее заданному x-значению. Известные значения — это x- и y-значения, а новое значение предсказывается с использованием линейной регрессии. Эту функцию можно использовать для предсказания будущих продаж, потребностей в оборудовании или тенденций потребления.

x — это точка данных, для которой предсказывается значение.

Известные_значения_y — это зависимый массив или интервал данных.

Известные_значения_x — это независимый массив или интервал данных.

Чтобы найти производную в данной точке, лучше взять СРЕДНЕЕ между двумя соседними. То есть для точки (R,C) сосчитать производную слева как (Y(R, C)-Y(R-1, C-1))/(X(R, C)-X(R-1, C-1)), аналогично сосчитать производную справа и сосчитать среднее от этих двух величин. Для случая сильно изломанной кривой это даст более точный результат.

Если уравнения нет, возьмите как Булат подсказывает две соседние точки в желаемом месте графика и разделите их разности координат (Y2-Y1) / (X2-X1).

Как взять производную в Excel?

Программа электронных таблиц Microsoft Excel содержит множество математических функций, но имеет нет включить исчисление в стандартную версию. . Эти пакеты расширяют математические возможности Excel, позволяя использовать вычисления в электронных таблицах. Некоторые из этих функций работают с уравнениями; другие выполняют вычисления на числовых данных.

Что такое производная формула?

Производная помогает нам узнать, как меняются отношения между двумя переменными. Математически формула производной полезна для определения наклона линии, для определения наклона кривой и для определения изменения одного измерения по сравнению с другим измерением. Формула производной: ddx. хп = п. xn − 1 d d x.

Что такое производный символ?

Таблица математических символов для расчетов и анализа

Условное обозначение	Название символа	Пример
DИкс у	производная
DИкс 2 у	вторая производная
частная производная	∂ (х 2 + y 2 ) / ∂x = 2x
∫	интеграл

Как мне вставить Quadf в Excel?

Например, чтобы интегрировать формулу, хранящуюся в A1, относительно X1 между 1 и 2, вы используете функцию QUADF в формуле, как это: = QUADF (A1, X1,1,2). Фактически, чтобы интегрировать простую формулу, вы можете передать ее прямо следующим образом: = КВАДФ (X1 * КОРЕНЬ (X1); X1,1,2) .

Что такое производный пример?

Производный инструмент — это инструмент, стоимость которого определяется стоимостью одного или нескольких базовых инструментов, которыми могут быть товары, драгоценные металлы, валюта, облигации, акции, фондовые индексы и т. Д. Четыре наиболее распространенных примера производных инструментов: Форварды, фьючерсы, опционы и свопы.

Каковы четыре основных производных правила?

Это включает правило констант, правило мощности, правило множественных постоянных, правило сумм и правило разностей.