Как найти производную по направлению

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

геометрическое изображение смысла производной по направлению функции трёх переменных

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM 1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 — точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .

Производная функции по направлению

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ \overline $ и находится по формуле:

Находим частные производные первого порядка:
$$ \frac<\partial u><\partial x>; \frac<\partial u><\partial y>; \frac<\partial u><\partial z>$$
Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
$$ \frac<\partial u><\partial x>\bigg |_; \frac<\partial u><\partial y>\bigg |_; \frac<\partial u><\partial z>\bigg |_ $$
Получаем направляющие косинусы по формулам:
$$ \cos \alpha = \frac<|\overline|>; \cos \beta = \frac<|\overline|>; \cos \gamma = \frac<|\overline|> $$
Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Примеры решений

Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $:

Вычисляем направляющие косинусы:

Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $:

Производная по направлению и градиент функции

Уже в начале первой статьи о дифференцировании функции двух переменных я коротко рассказал о смысле частных производных 1-го порядка и подвёл вас к теме сегодняшнего урока. Итак, что же такое производная по направлению? На самом деле с данным понятием вы знакомы ещё с 1-го семестра, поскольку производную функции одной переменной смело можно назвать производной по направлению – ведь она характеризует скорость изменения функции в направлении оси .

И эта суть с учётом бОльшего разнообразия направлений распространяется на производные функций нескольких переменных, в частности, на производные функции . Геометрически функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность, и значения «зет» у нас чётко ассоциируются с высотой. Таким образом, с позиций геометрии скорость изменения данной функции – есть скорость изменения высоты. При этом совершенно понятно, что «негоризонтальная» поверхность изменчива – в каких-то направлениях она крутА, в каких-то полога, а где-то таки «равнина». И производная по направлению как раз призвана охарактеризовать «ландшафт местности» (скорость изменения функции) в различных точках по различным направлениям. В этой связи возникает первый вопрос:

а КАКИМ СПОСОБОМ вообще можно задать какое-то конкретное направление?

Вспомним забавную модель урока Предел функции двух переменных, в которой мы перемещаемся по комнате в плоскости декартовой системы , а прямо над нами «зависло одеяло», заданное функцией . Давайте встанем в некоторую точку области определения. В зависимости от выбора точки нам доступен бесконечно малый «шажок» в некоторых или, что вероятнее, во всех направлениях. Направление традиционно обозначается исходящим из точки лучом , лежащим в плоскости . Сам луч можно определить с помощью угла (между ним и осью либо ), а ещё лучше – с помощью вектора.

как узнать скорость изменения функции в каком-либо направлении?

С помощью производной по направлению . Как вариант, в обозначении можно использовать букву «эф»: .

Если в точке существует производная по направлению луча (исходящего из точки и лежащего в плоскости ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

– частные производные 1-го порядка в точке ;
– направляющие косинусы (координаты вектора единичной длины), однозначно определяющие данное направление.

Примечание: Производная по направлению, конечно же, не обязана существовать во всех возможных направлениях (представьте, например, «край одеяла»). Со строгими условиями её существования можно ознакомиться в учебной литературе.

На практике популярна более компактная запись: .

– это ЧИСЛО, характеризующее скорость изменения функции, причём:

– если , то функция в точке по данному направлению возрастает (поверхность «идёт в гору»);

– если , то функция в точке по данному направлению убывает («склон» поверхности);

– если , то функция в точке по данному направлению постоянна (поверхность параллельна плоскости ).

Геометрический смысл производной по направлению по существу напоминает геометрический смысл «обычной» производной. Представьте плоскость, проходящую через луч «эль» перпендикулярно плоскости . Данная плоскость «высекает» из поверхности пространственную линию , которой, очевидно, принадлежит точка . Производная по направлению численно равна тангенсу угла между касательной к линии в точке и плоскостью :

Примечание: также можно сказать, что – это угол между касательной к линии в точке и её ортогональной проекцией на плоскость , т.е. направлением луча (см. Пример 3, пункт «д» статьи Основные задачи на прямую и плоскость).

Более того, само обозначение символизирует отношение приращения функции («высоты») к бесконечно малому «шажку» по направлению луча «эль». Таким образом, чем больше по модулю, тем больше крутизна поверхности в данной точке по данному направлению. Крутизну можно выразить непосредственно через угол:

, после чего данная характеристика приобретает простой обывательский смысл («подъём в гору под углом 30 градусов» и т.п.). Впрочем, в геодезии приняты другие стандарты.

Как видите, всё очень и очень напоминает производную функции одной переменной – с тем отличием, что направлений стало гораздо больше, и по одну руку может быть «скала», а по другую – «пропасть». Кстати, все ли понимают, почему мы делаем именно бесконечно малые «шаги» по различным направлениям? Дело в том, что существует поверхности, «рельеф» некоторых меняется невероятно быстро – на 1 квадратном сантиметре могут запросто умещаться миллионы «гор» и «ущелий», да и того больше. Поэтому для корректного описания «местности» и используются бесконечно малые величины

После небольшого экскурса в теорию вернёмся к самой формуле , из которой выведем скорость изменения функции в двух хорошо знакомых направлениях.

Рассмотрим исходящий из точки луч , параллельный оси (либо совпавший с ней) и направленный в сторону её острия. Очевидно, что данный луч однозначно определяется единичным вектором . Таким образом, (напоминаю, что координаты вектора единичной длины – это и есть соответствующие направляющие косинусы) и общая формула чудесным образом упрощается:

То есть, частная производная «по икс» в точке характеризует скорость изменения функции в направлении острия оси (параллельно данной оси).

Самостоятельно проведите рассуждения для луча и сделайте вывод о том, что .

Теоретическая часть урока начинает плавно перетекать в практику, и первые задачи будут посвящены «трёхмерным аналогам» примеров статьи о смысле производной:

Найти производную функции в точке по направлению вектора

А теперь давайте немного разомнёмся и немного походим по комнате. Предположим, что под нами плоскость . Да-да, всё верно – сейчас мы перемещаемся ПО САМОЙ поверхности. На уроке Предел функции двух переменных нам помогал один волшебный персонаж, но сегодня настал черёд самостоятельно исследовать поверхности – чтобы как следует прочувствовать тему =)

Что с высотой? Очевидно, что в каком бы направлении мы ни пошли – высота будет оставаться неизменной. Таким образом, сразу понятно, что в любой точке и по любому направлению скорость изменения функции равна нулю.

Однако, несмотря на известный ответ и всю простоту задачи, со всей ответственностью отнесёмся к её решению:

Вычислим скорость изменения функции по направлению исходящего из точки луча , который определяется вектором . Используем рабочую формулу:

В результате получены две константы, а именно, два нуля. Что это значит? Это значит, что частные производные равны нулю В ЛЮБОЙ точке области определения функции (вся плоскость ), в частности и в точке :

Примечание: формально частные производные можно расписать в виде и выполнить подстановку координат точки :

Полученные результаты подтверждают тот факт, что откуда бы и по какому бы направлению мы ни передвигались – наша высота будет сохраняться постоянной:

В принципе, здесь следует записать ответ, но ради отработки общего алгоритма решения найдём направляющие косинусы предложенного направления. По существу, требуется найти вектор единичной длины, который сонаправлен с вектором . Задача нахождения такого вектора подробно рассмотрена в самом конце статьи Скалярное произведение векторов. Воспользуемся готовой формулой:

Легко проверить, что любой другой ненулевой сонаправленный вектор приводится к этому же «эталону». Протестируем, например, вектор :

К слову, не лишним будет убедиться, что его длина действительно равна единице:

Эквивалентный способ проверки основан на известном равенстве :

Собственно, финальный расчёт:

Ответ:

Можно использовать обозначение либо , подчёркивая, что производная по направлению найдена именно в точке . Однако упущение невелико, поскольку это и так ясно из контекста решения.

Легко понять, что проведённые выкладки справедливы и для любой другой «горизонтальной» плоскости, то есть производная функции в любой точке и по любому направлению равна нулю. Ну а сейчас самое время покинуть душные квартиры и выйти склон зелёного холма, где безмятежно пригревает майское солнышко. …Хотя кто знает, возможно, вы там и находитесь – ведь с развитием гаджетов люди стали получать знания в самых неожиданных местах =)

Но, так или иначе – добро пожаловать на природу:

Найти производную функции в точке по направлению:

1) координатных осей (параллельно им);
2) вектора ;
3) вектора ;
4) градиента.

Производная по направлению характеризует крутизну поверхности в данном направлении

Решение: итак, выберите произвольную точку «зелёного холма» и осмотритесь по сторонам. Теперь переместитесь в какую-нибудь другую точку плоскости и снова оцените «местность»:

…кой-какие обозначения я не проставил из эстетических соображений, ну да ладно, не извращаться же со слоями в Фотошопе…

Что можно сказать о «ландшафте»? Во всех своих точках плоскость имеет постоянный наклон по всем направлениям, то есть, с точки зрения наклона – без разницы, где мы находимся. Проверим это аналитически:

Как и в предыдущем примере, производные-константы подразумевают тот факт, что в ЛЮБОЙ точке плоскости XOY, а значит и в точке (которую я выбрал исключительно для удобства построения чертежа), эти значения сохраняются постоянными:

Таким образом:
– и данный результат как раз убедительно подтверждает то, что скорость изменения функции зависит только от направления.

1) Найдём производную по направлению луча , совпадающего с положительной полуосью . Тут даже с направляющими косинусами возиться не надо – как было установлено выше, производная по данному направлению равна частной производной по «икс» в точке :

Для лучшего понимания я изобразил «чёрную дорожку», по которой мы будем «подниматься вверх по склону» и, исходя из геометрического смысла производной, очень легко отыскать конкретное значение «чёрного» угла: .

И ещё раз подчёркиваю независимость выбора исходной точки – если мы выберем любую другую «начальную точку путешествия» и начнём двигаться в направлении вектора , то «угол подъёма» будет точно таким же.

Аналогичная история с положительным направлением оси :

Отрицательный знак производной говорит об убывании функции в направлении координатного вектора . Иными словами, тут нас ожидает «желтая дорожка» вниз по склону под «жёлтым» углом градусов.

2) Вычислим производную по направлению луча . Для этого отработанным приёмом найдём единичный вектор , сонаправленный с вектором :
– координаты которого и являются направляющими косинусами данного направления:

Да, не забываем о проверке:
, ч.т.п.

По правилам хорошего тона запишем вычисления подробно:

И действительно, синяя «дорожка» проходит на неизменной высоте прямо в плоскости .

Аналогично – если мы «выйдем» из любой другой точки плоскости по направлению того же вектора , то наша высота (скорость изменения функции) будет оставаться постоянной.

3) Найдём производную по направлению вектора :

Проверим результат с помощью равенства :

Вычислим производную по направлению луча , который «спрятался» под плоскостью :

Таким образом, подъём по «оранжевой дороге» осуществляется под углом

4) Градиент

Понятие градиента можно сформулировать по-разному. Начнём с локального определения, а именно, с градиента функции в отдельно взятой точке:

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который показывает направление и скорость наискорейшего роста функции в данной точке.

Если совсем просто, то куда «смотрит» градиент – там и самый крутой «подъём в гору»

Распространённые обозначения: либо , причём здесь уже нельзя записывать просто (точнее, эта запись приобретает несколько другой смысл).

И теперь заостряю внимание: градиент в точке – это вектор несвободный. По той причине, что характеризует поведение функции именно в данной точке, а не где-то ещё. Поэтому, следует отложить от начала координат. Однако он тоже оказывается под плоскостью , и «красный» вектор на чертеже, которым я обозначил общее направление – это на самом деле градиент в другой точке:

Взаимосвязь производной по направлению с градиентом:

Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление:
, откуда, согласно известным геометрическим выкладкам (см. ссылку выше), получается весьма полезная практическая формула:

– длина градиента;
– угол между градиентом и данным направлением.

В свою очередь из этой формулы следует, что производная по направлению достигает максимального значения при , то есть когда – направление совпадает с направлением градиента.

В нашей задаче производная по направлению градиента:
и максимальный «красный» угол подъёма:

Заметьте, что полученный результат – это отличное средство дополнительного контроля решения: если по другому направлению получился бОльший угол, то нужно искать ошибку.

Как всегда, в лучших своих традициях я аккуратно встроил теоретический материал в развёрнутое практическое задание, и после увлекательной прогулки настало время подвести итог:

Ответ:

Если что-то осталось недопонятым, то, вероятнее всего, у вас пробелы в теории производной функции одной переменной и/или основах аналитической геометрии. Особенно много сегодня требуется геометрических знаний. Спокойствие и только спокойствие – всё можно наверстать буквально в ближайший час, после чего вернуться на эту страницу и перечитать начало статьи ещё раз.

Ну а мы продолжаем рассматривать тематические задачи, и оставшиеся примеры будут значительно короче. Но расслабляться ни в коем случае не следует, поскольку впереди ещё немало нового и интересного материала:

Дана функция , точка и вектор . Требуется найти:
а) производную функции в точке по направлению вектора ;
б) градиент функции в данной точке.

Классика жанра – найти производную по какому-нибудь направлению и градиент.

Закрепляем алгоритм решения:

а) Обозначим через исходящий из точки по направлению вектора луч и воспользуемся стандартной формулой:

Тут не помешает «прозвонить» равенство , благо, смешанные производные 2-го порядка отыскиваются с пол тычка.

А вот сейчас наступает действительно ответственный момент – это «реальное» вычисление частных производных 1-го порядка в точке . Всегда проявляйте ПОВЫШЕНОЕ ВНИМАНИЕ на данном этапе:

Полезный приём: несмотря на кажущееся отсутствие хорошей проверки, я всё-таки придумал небольшое ноу-хау, которое с высокой эффективностью позволяет избегать вычислительных ошибок. Ухищрение состоит в следующем: когда вам предложена задача с неприятными и плохо проверяемыми вычислениями, то сначала СОСРЕДОТОЧЕННО прорешайте её на черновике и отложите листок в сторону. Далее переключаемся на другие дела, после чего черновое решение благополучно забывается. Спустя некоторое время (полчаса — час, а ещё лучше – день) так же ВНИМАТЕЛЬНО оформляем чистовое решение и сверяемся с черновиком. Почти 100% – ошибка «не пройдёт».

На очереди нахождение единичного вектора, сонаправленного с вектором :

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

На завершающем этапе тоже проявляем внимание, правда, здесь уже гораздо меньше шансов что-то «прозевать»:

И конечно, не забываем о геометрическом смысле результата: отрицательный знак производной сообщает нам об убывании функции в данном направлении, т.е. при бесконечно малом «шажке» из точки по направлению луча «эль» крутизна «склона» поверхности составит .

Особо подчёркиваю, что в отличие от Примеров № 1, 2 оговорка о «бесконечно малом шажке» становится необходима, ибо многие поверхности – это «не плоскости плоские», а «волны волнистые», и в соседней, пусть даже очень близкой точке производная по тому же направлению в общем случае будет другой.

Кстати, в условии запросто может спрашиваться НЕ о производной по направлению, а о крутизне поверхности – и в этом случае расчёт угла станет обязательным завершающим шагом решения.

2) Второй пункт совсем прост:

Однако и тут снова следует проявить аккуратность – условие задачи вполне может запрашивать НЕ градиент, а «наибольшую скорость роста функции в точке ». Тогда находим производную по направлению градиента:
, которая и является мерилом этой скорости.

А если же требуется найти «наибольшую крутизну поверхности в точке », то в ответе указываем НЕ градиент и НЕ его длину, а угол .

Завершая этот содержательный разбор полётов, расскажу о более широком понятии градиента. В более широком смысле под градиентом понимают векторную функцию , которая каждой точке области определения функции (где существует градиент) ставит в соответствие вектор, показывающий направление максимального роста функции в данной точке.

Так, например, в нашем случае можно составить векторную функцию и для десятка-другого точек построить целую «карту» направленных отрезков, которая безо всякого трёхмерного чертежа достаточно хорошо охарактеризует «поведение» поверхности в интересующих нас направлениях.

Отсюда становится окончательно понятно, почему градиент в точке – это несвободный вектор, отложенный именно от конкретной точки.

Молодцы, что осилили =) . теперь и теория поля будет нипочём!

Ответ:

Пара типовиков для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению вектора и максимальную крутизну поверхности в данной точке.

Слишком просто? В простых задачах и ошибаются! …ну что же, сами виноваты – задачка позанятнее:)))

Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с градиентом функции в этой точке.

Если возникли затруднения, пожалуйста, вернитесь к вышеизложенному материалу. Примерный образец чистового оформления решений в конце урока.

На практике довольно часто встречаются задания, в которых направление задаётся другими способами:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 2-го координатного угла.

То есть, направления заданы через углы. Учимся с ними разбираться:

Решение: частные производные в точке понадобятся в обоих пунктах и поэтому в первую очередь их и найдём:

Ну а что тут такого? Числа как числа.

а) Обозначим через луч, исходящий из точки и образующий угол с положительным направлением оси . Очевидно, что данный луч лежит в 1-й координатной четверти (правой верхней) и образует угол в с осью . Картина очень простая, но если таки мутноватая, выполните чертёж.

Формула производной по направлению, естественно, та же:

И главный вопрос – как найти направляющие косинусы? Я предлагаю следующую цепочку рассуждений, которая мне показалась наиболее простой:

Пусть направляющий вектор луча отложен от начала координат. Совершенно понятно, что этот вектор тоже наклонен к оси под углом 30 градусов.

Угол – это угол между вектором и положительной полуосью . То есть, угол сразу «готов к употреблению» – даже обозначения совпали (в условии вполне могла быть и другая буква, например, ).

Угол – это угол между вектором и положительной полуосью . С «бетой» никаких проблем: поскольку угол между координатными осями составляет 90 градусов, то или .

Вычислим направляющие косинусы:

Впрочем, чего тут вычислять – эти значения вкладывались в наши головы долгие школьные годы. Но на всякий случай ссылка на тригонометрическую таблицу.

Контроль:
Дотошные естествоиспытатели могут изобразить на чертеже вектор и воочию убедиться, что он направлен туда, куда надо.

Искомая производная по направлению:

…это ещё божий одуванчик, бывает гораздо хуже.

б) Вычислим производную в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Напоминаю, что координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, и очевидно, речь идёт о биссектрисе, которая делит пополам левую верхнюю четверть.

Мало-мальски подготовленные люди легко подберут направляющий вектор этого направления, напрашивается вектор , и сразу найдут направляющие косинусы:

Такой вариант решения вполне приемлем, однако «подарочный» угол, кратный 45 градусам, встречается далеко не каждый день, и поэтому мы отработаем универсальную схему решения. Пусть вектор , задающий биссектрису 2-го координатного угла, отложен от начала координат (как вы уже поняли, именно в таком положении проще всего высмотреть нужные углы):
(угол между вектором и положительной (!) полуосью );
(угол между вектором и положительной полуосью ).
Таким образом:

Обозначим буквой луч, который исходит из точки в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. Вычислим производную по данному направлению:

Ответ:

На практике так подробно, конечно, расписывать не нужно и решение следующей задачи поможет вам понять ориентировочный минимум комментариев:

Найти производную функции в точке :
а) в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ;
б) в направлении биссектрисы 4-го координатного угла.

И в заключение этого параграфа хочу отметить, что помимо геометрии, рассматриваемый математический инструментарий широко применяется в различных физических задачах – примеров настолько много, что от физики могут взвыть даже некоторые физики =)
В этой связи я сохраню мудрое молчание, …впрочем, ненадолго =)

Производная по направлению и градиент функции трёх переменных

Грубо говоря, добавляется одно измерение и одно слагаемое. Рассмотрим функцию трёх переменных и точку , принадлежащую её области определения.

Если в точке существует производная по направлению пространственного луча (исходящего из точки ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

– частные производные функции трёх переменных в точке ;
– направляющие косинусы данного направления (они же соответствующие координаты направляющего вектора единичной длины).

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

И обещанный физический пример: рассмотрим функцию трёх переменных , которая характеризует температуру некоего пространственного тела в каждой его точке . Тогда производная по тому или иному направлению в некоторой точке тела будет показывать скорость нагревания/охлаждения тела в соответствующих направлениях, а вектор – указывать направление наибыстрейшего роста температуры в этой точке.

Вот такой вот удачный и понятный пример – не какие-нибудь плохо представляемые электрические поля.

Закрепим формулы несколькими задачами:

Найти производную функции в точке по направлению вектора

Не тушуемся, это пространственный вектор:

Алгоритм решения остаётся прежним. Вычислим частные производные 1-го порядка в точке . Вот уж где точно нужен глаз да глаз:

Найдем направляющие косинусы данного направления:

И завершающий шаг:

Ответ:

Пара символических заданий для самостоятельного решения:

Найти производную функции в точке по направлению, составляющему с положительными координатными полуосями равные углы.

Найти направление и величину наибыстрейшего возрастания функции в точке .

Особых комментариев я не оставлял, поскольку всё очень похоже на примеры 1-й части урока.

Аналогичным образом производная по направлению и градиент определяются и для функций бОльшего количества переменных.

Всех поздравляю! – сегодня мы не только познакомились с новым материалом, но и обобщили понятие производной, после чего ~~забудем о ней, как о кошмарном сне~~ можно смело приступать к изучению интегралов, разновидностей коих – великое множество.
…чувствую-чувствую, что взгрустнулось – вот и решил приободрить =)

Желаю вам выбора удачных направлений, которые, кстати, далеко не во всех точках жизни направлены по градиенту.

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы:

Искомая производная по направлению:

Найдём градиент функции в точке и вычислим его длину:

Таким образом, максимальная крутизна поверхности в точке :

Ответ:

Пример 5: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Составим градиент функции в точке и вычислим его длину:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 7: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

а) Вычислим производную по направлению , составляющему угол с положительным направлением оси . Рассмотрим единичный вектор , определяющий это направление. Очевидно, что . Таким образом:

Искомая производная по направлению:

б) Рассмотрим единичный вектор , определяющий направление биссектрисы 4-го координатного угла. Очевидно, что его углы с положительными полуосями и соответственно равны (можно взять – ориентация угла не имеет значения) и . Таким образом:

В результате производная по данному направлению:

Пример 9: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Найдём направляющие косинусы предложенного направления. Используем равенство:

Так как , то:

И поскольку луч расположен в 1-м октанте:

Искомая производная по направлению:

Ответ:

Пример 10: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :

Направление наибыстрейшего роста функции в точке задаёт вектор градиента в данной точке:

Вычислим величину наибыстрейшего роста функции:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Lection15

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

Как видно из определения градиента функции, компонентами вектора градиента являются частные производные функции.

Пример. Вычислить градиент функции

Решение. Вычислим частные производные функции.

В общем виде градиент функции имеет вид:

Подставим координаты точки A(2,3) в выражения частных производных

В градиент функции в точке A(2,3) имеет вид:

Аналогично можно определить понятие градиента функции трех переменных:

Определение. Градиентом функции от трех переменных

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

Определение производной по направлению.

Пусть задана функция двух переменных

и произвольный вектор

Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора

Т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору . Длина приращения аргумента

Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.

Формула для вычисления производной по направлению.

Исходя из определения градиента, производную функции по направлению, можно посчитать следующим образом.

некоторый вектор. Вектор с тем же направлением, но единичной длины назовем

Координаты этого вектора вычисляются следующим образом:

Из определения производной по направлению , производная по направлению может быть вычислена по следующей формуле:

Правая часть этой формулы представляет собой скалярное произведение двух векторов

Поэтому, производную по направлению можно представить в виде следующей формулы:

Из этой формулы следует несколько важных свойств вектора градиента.

Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно | |.

Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору равна нулю.

Первое свойство градиента следует из того очевидного факта, что скалярное произведение двух векторов принимает наибольшее значение, когда вектора совпадают по направлению. Второе свойство следует из того, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Кроме того, из первого свойства следует геометрический смысл градиента – градиент это вектор, вдоль направления, которого производная по направлению наибольшая. Так как производная по направлению определяет тангенс угла наклона касательной к поверхности функции, то градиент направлен вдоль наибольшего наклона касательной.

Пример 2. Для функции (из примера 1)

Вычислить производную по направлению

Решение. Для вычисления производной по направлению надо вычислить вектор градиента в указанной точке и единичный вектор направления (т.е. нормализовать вектор ).

Вектор градиента был вычислен в примере 1:

Вычисляем единичный вектор направления:

Вычисляем производную по направлению:

#2. Максимум и минимум функции нескольких переменных.

Определение. Функция

Имеет максимум в точке (т. е. при и ), если

для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение. Совершенно аналогично говорят, что функция

Имеет минимум в точке (т. е. при и ), если

для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Имеет очевидный минимум z = -1 при x = 1 и y = 2.

Имеет максимум в точке при x = 0 и y = 0.

Теорема. (необходимые условия экстремума).

Если функция достигает экстремума при , , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Замечание. Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Можно привести примеры функций, которые в некоторых точках имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума в этих точка.

Пример. Функции, которая имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума.

В точке .

Достаточные условия экстремума.

Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.