В пирамиде 10 винтовок из которых 4 снабжены оптическим прицелом

Практическое занятие №6 формула полной вероятности. Повторные независимые испытания

Цель: Формирование навыков решения задач с использованием формул полной вероятности и Бейеса. Решение задач по нахождению вероятности появления данного события в серии из однородных независимых испытаний с использованием формул Бернулли, Пуассона и локальной теоремы Лапласа.

Контрольные вопросы

1. Формула полной вероятности. Гипотезы. 2. Формула Бейеса. 3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число. 4. Локальная теорема Лапласа. 5. Формула Пуассона.

Примеры решения типовых задач

Пример 6.1. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы – деталь изготовлена цехомI. – II цехом. События и – образуют полную группу.

; .

–условная вероятность события А при условии гипотезы .

–условная вероятность события А при условии гипотезы _.

По формуле полной вероятности: .

Пример 6.2. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что она была с оптическим прицелом?

Интересующее нас событие – стрелок поразил мишень. Нам необходимо найти вероятность того, что мишень была поражена из винтовки с оптическим прицелом. Воспользуемся теоремой Бейеса:

Здесь – гипотеза, которая заключается в том, что была выбрана винтовка с оптическим прицелом,;– гипотеза, которая заключается в том, что была выбрана винтовка без оптического прицела,. Условные вероятности равны:,..

Пример 6.3. Футболист выполняет пенальти. Вероятность того, что он забьет гол равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5 пенальти данный футболист забьет 3 мяча.

Воспользуемся формулой Бернулли:

Найдем сначала число сочетаний: .

Пример 6.4. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа: .,.,,,.

Найдем значение аргумента .

По таблице находим . Искомая вероятность равна:

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Электролампы изготавливаются на двух заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 55%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных ламп, второго – 80%. В магазин поступает продукция всех двух заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

6.2. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная.

6.3. Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой урне содержатся три черных и один белый шар, во второй – один черный и два белых. Наугад выбирают одну из урн и из нее вынимают шар. 1) Найти вероятность того, что шар был белым. 2) Предположим, что шар оказался белым. Какова вероятность того, что он был вынут из первой урны. Выбор урны считать равновероятным.

6.4. Завод выпускает три типа предохранителей для магнитофона. Доля каждого из них в общем объеме составляет: 30%; 50% и 20% соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8; второго – 0,9; третьего – 0,85. Какова вероятность того, что выбранный произвольно предохранитель сработал при перегрузке сети?

6.5. Турист может пообедать в 3 столовых города. Вероятность того, что он отправится к первой столовой , ко второй –и к третьей –. Вероятность того, что эти столовые закрыты следующие: первая –; вторая –и третья –. Турист пришел в одну из столовых и пообедал. Какова вероятность того, что он направился ко второй столовой.

6.6. В следственном изоляторе находятся 8 правонарушителей, задержанных за хулиганство, 12 за кражу и 5 за мошенничество. Вероятность того, что правонарушителя отпустят под залог для первого вида правонарушителей равна 0,75; для второго – 0,5; для третьего – 0,25. Правонарушителя выпустили под залог. Какова вероятность того, что он был задержан за мошенничество.

Читать:

Как в питоне вернуться на определенную строку

6.7. Вероятность взрыва при химической реакции равна 0,05. Найти вероятность того, что в серии из 7 синтезов взрыв произойдет 3 раза.

6.8. Игральный кубик бросается 6 раз. а) Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза; б) наивероятнейшее число .

6.9. Найти вероятность того, что событие наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

6.10. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет 350.

6.11. Вероятность ДТП на данном участке дороги в течение суток равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 25 суток на данном участке произойдет одно ДТП. При расчетах использовать формулу Пуассона.

6.12. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что брошюровка неправильная, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

6.13. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

6.14. Согласно учетным данным, рецидивисты составляют 60% от общего числа установленных правонарушителей. Органы правопорядка задержали 8 нарушителей. Какова вероятность того, что среди задержанных трое рецидивистов?

В пирамиде стоят 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из

В пирамиде стоят 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью p1=0,9, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью p2=0,55. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Обозначим событие A – стрелок поразил мишень и гипотезы: B1 – стрелок выбрал винтовку с оптическим прицелом, B2 – без оптического прицела. Тогда получаем pB1=410=0,4; pB2=610=0,6. Вероятность поражения мишени: pB1|A=0,9 – с оптическим прицелом pB2|A=0,55 – без оптического прицела Вычислим вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки, используя формулу полной вероятности: pB= pB1∙pB1|A+pB2∙pB2|A pB=0,4∙0,9+0,6∙0,55=0,36+0,33=0,69

В пирамиде стоят 10 винтовок, из них 4 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из (Решение → 5574)

Библиотека Ирины Эланс, основана как общедоступная библиотека в интернете. Онлайн-библиотеке академических ресурсов от Ирины Эланс доверяют студенты со всей России.

Библиотека Ирины Эланс

Полное или частичное копирование материалов разрешается только с указанием активной ссылки на сайт:

Задача 25448 98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4.

98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение

Выбираем гипотезы:
Н1-''выбрана винтовка с оптическим прицелом''
Н2-''выбрана винтовка без оптического прицела''
р(Н1)=4/10
p(H2)=6/10
Cобытие А — '' стрелок поразит мишень''
Вероятность события А при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95;
p(A/H1)=0,95
Вероятность события А при выстреле из винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8
p(A/H2)=0,8

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=
=0,4*0,95+0,6*0,8=
=0,38+0,48=0,86

p(Н1/А)*р(А)=р(Н1)*р(А/Н1) ⇒ p(Н1/А)=0,38/0,86 ≈ 0,44
p(Н2/А)*р(А)=р(Н2)*р(А/Н2) ⇒ p(Н2/А)=0,48/0,86 ≈ 0,56

вероятнее, что стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела