Как определить постоянную времени

7

40 Постоянная времени.

Величин, характеризующая скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называетсяпостоянная времени ().

Воспользуемся 2 правилом коммутации:

Uc=-закон из-ияUна С

— закон изм — ия тока

Чем больше , тем медленнее переходный процесс, тем больше. Хотя полученные выше выражения определяют бесконечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю – практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное .

Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведённой в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 4.7).

Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения

. (4.10)

Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.

41 Подключение rc-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.8

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

, ,

.

Характеристическое уравнение цепи

,

.

Постоянная времени .

3. Запишем полное решение

.

Здесь свободная составляющая также включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.

4. Подставив в полное решениеt= 0 + , определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации.

Таким образом, окончательный результат имеет вид

.

.

Графики изменения ипредставлены на рис. 4.9. Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значение, и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, что ведет к соответственному уменьшению тока в цепи.

42 Подключение индуктивности l к источнику постоянной эдс.

Подключение R-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.10

.

2. Получим дифференциальное уравнение цепи

,

,

.

Корень характеристического уравнения и постоянная времени соответственно

, .

3. Полное решение имеет вид:

.

4. Подставив в i_L(t) t = 0 + на основании правила коммутации определим постоянную интегрирования

.

Таким образом,

.

Напряжение на индуктивности

. Графики изменения u_L(t), i_L(t) приведены на рис. 4.11.

44 Подключение rc-цепи к источнику гармонического напряжения.

Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 4.12) действует источник синусоидальной ЭДС

.

Здесь – фаза включения, т.к. она определяется моментом срабатывания коммутатора. Интуитивно следует ожидать влияниена качественную и количественную картину протекания переходного процесса.

Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.

1. Запишем правило коммутации

.

2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение:

.

Корень характеристического уравнения

.

3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка

.

4. Расчет принужденной составляющей произведем символическим методом

;

;

;

.

5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0 +

;

.

В соответствии с правилом коммутации

;

.

;

Оба выражения для u_C и i_Cв общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включенияи соотношения параметров цепииR.

Исследуем ожидаемое влияние фазы включения источника на переходный режим

1) Пусть , тогда. Посколькуcos 0 = 1, получим

.

а) исследование кривой напряжения (рис. 4.13) наглядно демонстрирует, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено .

б) исследование кривой тока (рис. 4.14).

Максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения иR и может превышатьI_mпр в несколько раз. Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.

2) В случае, если, поскольку , получим

Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.

Классический метод расчета переходных процессов

Переходным процессом в электрической цепи называют электромагнитный процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот процесс возникает в электрических цепях при подключении к ним или отключении от них источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов. Установившимся называют такой режим, при котором токи, напряжения и ЭДС в цепи являются постоянными функциями времени [I4].

В цепях, не содержащих энергоемких элементов (индуктивностей и емкостей), новый установившийся режим наступает непосредственно за моментом коммутации. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

В цепях с энергоемкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергии электрических полей конденсаторов

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются непосредственно по законам Кирхгофа или с помощью других методов расчет цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотношения между токами и напряжениями в элементах цепи

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная, и исключением других переменных из системы уравнений получают одно уравнение, содержащее только основную переменную. В общем случае для линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, содержащих элементы это уравнение является интегро-дифференциальным. Путем повторного дифференцирования этого уравнения можно получить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем случае вид

где — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов; — выходная величина (ток или напряжение); — внешнее воздействие на цепь (источник ЭДС или тока).

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и т. д.

Решение уравнения (6.2) ищется в виде

где — свободная составляющая, являющаяся общим решением однородного дифференциального уравнения

— вынужденная составляющая, являющаяся частным решением уравнения (6.2).

Свободная составляющая — это свободные электрические токи или напряжения, которые равны разности переходных и установившихся токов или напряжений. Они характеризуют процесс рассеивания или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С.

Вынужденная составляющая характеризует процесс, возникающий в цепи под влиянием внешнего воздействия после окончания переходного процесса. Это установившиеся, т.е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые устанавливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических ЭДС или токов.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

где — корни характеристического уравнения

— постоянная интегрирования.

Корни характеристического уравнения у пассивных электрических цепей всегда либо вещественные отрицательные, либо комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Характер корней уравнения определяет вид свободной составляющей (табл. 6.1).

Особенностью метода является необходимость определения постоянных интегрирования и корней характеристического уравнения.

Число постоянных интегрирования и корней характеристического уравнения зависит от порядка цепи. Постоянные интегрирования находят из начальных условий искомой функции и ее производных.

Законы коммутации

Начальные условия — значения токов и напряжений при t = 0.

Независимые начальные условия — это величины, которые согласно законам коммутации не изменяются скачком. Они определяются из расчета установившегося режима до коммутации:

Зависимые начальные условия — это значения токов и напряжений в момент коммутации которые изменяются скачком. Они определяются по схеме, образованной после коммутации, по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.

Пример расчета начальных условий

Независимые начальные условия (рис. 6.1) определяют по второму закону коммутации, используя соотношение (6.2)

Зависимые начальные условия находят для после коммутационной схемы (рис. 6.2), записав уравнения в соответствии с законами Кирхгофа с учетом того, что известно, т. е.:

Выразим из первого уравнения системы уравнений (6.10) и подставим во второе уравнение.

В матричной форме система уравнений (6.11) принимает вид:

Решении системы уравнений (6.12), согласно формулам Крамера имеют вид:

где

Определение корней характеристического уравнения

Определение корней по однородному уравнению:

Записывают неоднородное дифференциальное уравнение относительно тока

Преобразуя однородное уравнение, получают характеристическое

откуда корень характеристического уравнения

Определение корней по входному комплексному сопротивлению после коммутационной схемы

Запишем выражение для входною комплексного сопротивления, приравняем его к нулю (для схемы с источником ЭДС) или комплексную проводимость (для схемы с источником тока) заменив на из уравнения определяют

Переходя от исследуемой схемы (рис. 6.3, a) к комплексной схеме замещения <рис. 6.3, б), определяют

Заменив на и приравняв к нулю, получим

откуда корень полученного уравнения

Определение корней по постоянной времени цепи

Известно [4, 14], что где — постоянная времени цепи.

Для цепи с одним индуктивным элементом постоянная времени , а с емкостным —

Для определения необходимо закоротить входной источник ЭДС или разорвать ветвь с источником тока в после коммутационной схеме (см. рис. 6.3, а) и определить общее сопротивление цепи относительно зажимов peактивного элемента (рис. 6.4):

Для последовательного колебательного контура

Определение корней по определителю матрицы комплексных контурных сопротивлений (узловых проводимостей)

Определитель матрицы комплексных контурных сопротивлений (узловых проводимостей) приравнивают к нулю и, заменив рассчитывают корни уравнений (см. рис. 6.3, б):

Порядок расчета переходных процессов. Составляют дифференциальные уравнения для послекоммутационной схемы относительно величин, которые согласно законам коммутации не изменяются скачком. Решение уравнений представляют в виде суммы вынужденной и свободной составляющих:

Определяют вынужденную составляющую тока (напряжения), используя методы расчета цепи в установившемся режиме, т.е. в цепи после окончания переходного процесса

Определяют свободную составляющую.

Вычисляют постоянные интегрирования.

Рассчитывают корни характеристического уравнения р„.

Записывают решение, строят графики.

Проверяют решение, изображают схему при

Качественный анализ переходных процессов

В цепях с одним реактивным элементом можно провести качественный анализ переходных процессов без составления и решения дифференциальных уравнений, применив законы Кирхгофа и учитывая законы коммутации. Для этого используют два положения:

1. в цепях 1-го порядка свободная составляющая затухает но экспоненциальному закону ;
2. закон изменения вынужденной составляющей определяется характером воздействующих на цепь напряжений.

Порядок расчета переходных процессов в цепях первого порядка:

• определяют значения переходных токов и напряжений для
• определяют значения переходных токов и напряжений для
• определяют постоянную времени цепи
• строят графики токов и напряжений;
• записывают по графикам аналитическое выражение для переходных токов и напряжений.

Примеры решения типовых задач

Пример 6.5.1.

Накопительная емкость импульсного модулятора передающего устройства РЛС (рис. 6.5) после включения разряжается через разрядное сопротивление. Определить время, через которое напряжение на емкости уменьшится до уровня

Решение

Составляют дифференциальное уравнение для послекоммутационной схемы относительно напряжения

где

Решением дифференциального уравнения служит напряжение на емкости в переходном и установившемся режимах и имеет вид

Вынужденная составляющая напряжения (в послекоммутационной схеме при )

Свободная составляющая напряжения

Рассчитывают постоянную интегрирования А из начальных условий |при /(0+)].

Определяют постоянную времени, используя соотношение

Находят напряжение в переходном режиме

Вычисляют время разряда накопительной емкости из уравнений

После логарифмирования получаем:

Строят, например, в среде Mathcad, графики изменения напряжения на емкости в переходном режиме (рис. 6.6).

Определяют длительность переходного процесса

Вывод. Для регулирования длительности переходного процесса необходимо изменять в цепи постоянную времени Это достигается путем выбора параметров R и С. За время свободная составляющая уменьшается в е = 2,718 раз.

Пример 6.5.2.

Обмотка электромагнитного реле подключается к источнику постоянной ЭДС последовательно с добавочным сопротивлением (рис. 6.7).

Найти время, через которое срабатывает реле, если ток срабатывания Параметры обмотки реле:

Решение

Составляют дифференциальное уравнение для послекоммутационной схемы относительно тока

Решив полученное дифференциальное уравнение, получают ток переходного процесса

Определяют вынужденную составляющую тока (в послекоммутационной схеме при )

Определяет свободную составляющую тока

Определяют постоянную интегрирования А из начальных условий. Независимые начальные условия находят по первому закону коммутации

откуда

Определяют постоянную времени электрической цепи

Определяют ток в переходном режиме

Определяют время срабатывания реле из уравнения

в результате следующих преобразований которого

получаем

В среде Mathcad график функции i(t) имеет вид, приведенный на рис. 6.8.

Выводы. 1. Подбирая различное по значению добавочное сопротивление можно управлять временем срабатывания реле.

2.Приведенный порядок расчета можно применить в интегрирующих и дифференцирующих цепях, используемых для коррекции динамических свойств систем автоматического управления.

Пример 6.5.3.

Параллельный колебательный контур (рис. 6.9) подключается к источнику ЭДС

Определить закон изменения напряжении для трех случаев:

Решение

Определяют напряжение на конденсаторе в переходном режиме как сумму вынужденной и свободной составляющей

Определяют вынужденную составляющую напряжения

При установившемся режиме конденсатор шунтирован катушкой индуктивности накоротко.

Определяют корни характеристического уравнения Для этого находят входное сопротивление цепи и приравнивают к нулю (см. разд. 6.4.2)

Для трех заданных значений параметров определяют вид корней:

а после вычислений получаем

Корни действительные и различные, поэтому свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид

2)

Корни действительные, равные, следовательно,

3)

Корни комплексные, сопряженные, тогда

Определяют постоянные интегрирования из начальных условий:

Решают уравнения, составленные по законам Кирхгофа для

Далее находят из выражений для и Для момента времени

Рассчитаем для трех случаев корней:

1) корни действительные и различные (рис. 6.10): тогда

Графики напряжения и его составляющих выполнены в среде Mathcad и показаны на рис. 6.10;

2) корни действительные и равные (рис. 6.11): тогда

.

Компьютерный график напряжения приведен на рис. 6.11;

3) корни комплексные, сопряженные (рис. 6.12): тогда

тогда

Компьютерный график напряжения приведен на рис. 6.12.

Выводы

1. Напряжение при колебательном режиме, если представляет собой затухающее колебание. Уменьшение R приводит к увеличению времени

2. Переходной процесс в параллельном колебательном контуре при R

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.

τ – постоянная времени RC-цепи – это временна́я характеристика простой электрической цепи, в которой происходит изменение заряда конденсатора С за счёт его разряда через сопротивление R. Постоянная времени вычисляется как τ=R*C [Ф*Ом], что эквивалентно размерности «секунда» [c].
Как показано на рисунке, постоянная времени τ входит в аналитическую функцию описания процесса изменения напряжения на конденсаторе U(t) при его заряде от источника напряжения через сопротивление R. На рисунке U(0) – это начальное напряжение на конденсаторе (в момент времени t=0), а U(∞) – это напряжение источника напряжения, к которому асимтотически стремится U(t).

За время, равное τ, напряжение на конденсаторе изменяется от U(0) до U(∞) + [U(0) — U(∞)]/e, где e=2,718. .

Экспоненциальный заряд конденсатора происходит для случая U(∞) > U(0), а экспоненциальный разряд – для случая U(∞) -t/τ ) в моменты времени t от t=0,001τ до t=10τ протекания экспоненциального процесса.

Понятие постоянной времени RC-цепи помогает оценить время протекания процесса при анализе эквивалентных электрических схем, содержащих RC-цепи. Заметим только, что понятие постоянной времени не применимо для частного случая заряда-разряда конденсатора постоянным током, где закон изменения напряжения и заряда на конденсаторе имеет линейный характер, а не экспоненциальный.

Постоянные времени RC-цепей (в качестве величин с прозрачным физическим смыслом) участвуют в аналитических решениях дифференциальных уравнений, описывающих не только экспоненциальные процессы в электрических схемах, содержащих RC-цепи (например, пассивные и активные RC-фильтры).

Примеры [ править ]

Постоянные времени в электрических цепях [ править ]

Переходная характеристика напряжения конденсатора. Отклик на скачок напряжения индуктора.
В цепи RL, состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени (в секундах ) равна τ

— сопротивление (в омах ), а
L
— индуктивность (в Генри ).

Точно так же в RC-цепи, состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна: τ

— сопротивление (в омах ), а
C
— емкость (в фарадах ).

Электрические схемы часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (см. Некоторые примеры в разделе « Переходная характеристика» и « Разделение полюсов»). В случае наличия обратной связи в системе могут наблюдаться нестабильные возрастающие колебания. Вдобавок физические электрические цепи редко являются действительно линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.

В цифровых электронных схемах часто используется другая мера, FO4 . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения . [4] 5 τ = FO4 <\displaystyle 5\tau =<\text>>

Тепловая постоянная времени [ править ]

Постоянные времени — это характеристика сосредоточенного системного анализа (метод анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, который используется, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . В этом случае передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой: [5]

— коэффициент теплопередачи ,
A
s — площадь поверхности,
T (t)
= температура тела в момент времени
t
, а
T
a — постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что
F
является положительным, когда тепло выходит
из
тела, потому что его температура выше, чем температура окружающей среды (
F
— поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемому по формуле [5]
ρ c p V d T d t = − F , <\displaystyle \rho c_

V<\frac

>=-F,>
где ρ = плотность, с

р = удельная теплоемкость и
V
представляет собой объем тела. Отрицательный знак указывает на падение температуры при передаче тепла
наружу
от тела (то есть, когда
F
> 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,
ρ c p V d T d t = − h A s ( T ( t ) − T a ) . <\displaystyle \rho c_

V<\frac

>=-hA_\left(T(t)-T_\right).>
Очевидно, это LTI-система первого порядка, которую можно представить в виде:

Другими словами, постоянная времени говорит о том, что большие массы ρV

и большая теплоемкость
c
p приводят к более медленным изменениям температуры, в то время как большие площади поверхности
A
s и лучшая теплопередача
h
приводят к более быстрым изменениям температуры.

Читать:

Как создать ярлык в ubuntu

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на изменяющуюся во времени температуру окружающей среды T

a . Однако, сохраняя простой пример с константой внешней среды, подставляя переменную
ΔT
≡ (
T — T
a ), можно найти:
d Δ T d t + 1 τ Δ T = 0. <\displaystyle <\frac

>+<\frac <1><\tau >>\Delta T=0.>
Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет вышеуказанному экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения ΔT

как функция времени
t
определяется как:
Δ T ( t ) = Δ T 0 e − t / τ , <\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_<0>e^<-t/\tau >,>
где ΔT

0 — начальная разница температур в момент времени
t
= 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Константы времени в неврологии [ править ]

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна τ

m — сопротивление через мембрану, а
c
m — емкость мембраны.

Сопротивление через мембрану является функцией количества открытых ионных каналов, а емкость — функцией свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания роста и падения мембранного напряжения, где рост описывается выражением

и падение описывается

где напряжение в милливольтах, время в секундах и секундах. τ

V max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где

m — сопротивление через мембрану,
I
— ток через мембрану.

Настройка для t

= для повышения устанавливает
V
(
t
) равным 0,63
В
макс . Это означает , что постоянная времени является время , прошедшее после того, как 63%
V
макс было достигнуто
τ
Установка для т

= для падения множеств
V
(
т
) , равное 0,37
V
макс , а это означает , что постоянная времени это время , прошедшее после того, как она упала до 37% от
V
макс .
τ
Чем больше постоянная времени, тем медленнее растет или падает потенциал нейрона. Длительная постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени, скорее, дает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .

Экспоненциальный спад [ править ]

Дополнительная информация: Экспоненциальный спад

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянная времени может интерпретироваться как среднее время жизни . Полураспада Т
HL
связана с экспоненциальной постоянной времени путем τ <\displaystyle \tau >
T H L = τ ⋅ l n 2. <\displaystyle T_=\tau \cdot \mathrm \,2.>
Обратная величина постоянной времени называется постоянной затухания и обозначается λ = 1 / τ . <\displaystyle \lambda =1/\tau .>

Метеорологические датчики [ править ]

Постоянная времени

— это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение измеряемой величины, пока он не будет измерять значения в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это относится к измерениям температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.

Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:

и с емкостным, как:

где — входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать

где в соответствии с вышесказанным

Переходные процессы при подключении последовательной R-L-C-цепи к источнику напряжения

Рассмотрим два случая:

Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения

Характеристическое уравнение цепи

решая которое, получаем

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. или , где — критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

2. — предельный случай апериодического режима.

В этом случае и

3. — периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае и

где — коэффициент затухания; — угловая частота собственных колебаний; — период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим

Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности

На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .

Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Здесь также возможны три режима:

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — ; 2 — ; 3 — , — которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?

Переходные процессы в RC- и RL- цепях

Переходными, в электрической цепи, принято называть процессы возникающие в результате различных воздействий (например: включений или отключений цепи от источника питания, обрывах или коротких замыканиях, импульсных возмущающих воздействий и так далее) и переводящих её из одного стационарного (установившегося) состояния в новое (другое) стационарное состояние.
Рассмотрим переходный процесс в RC-цепи (рисунок 1), в состав которой входят резистор R, конденсатор С, ключ К и источник питания, на зажимах которого поддерживается постоянное напряжение E=U.

Рисунок 1. Схема RC-цепи.

Если установить ключ К в положение ”1” (рисунок 1), то начнётся процесс заряда конденсатора С через резистор R (рисунок 2,a). Для образовавшейся цепи будет справедливо соотношение :

Так как на конденсаторе напряжение скачком изменяться не может, то в момент (t=0) подключения цепи к источнику питания всё напряжение источника окажется на резисторе R, то есть uR = U, uc = 0.

В начальный момент времени заряда конденсатора, ток в RC-цепи будет иметь наибольшее значение: i=U/R. Конденсатор начнёт заряжаться, напряжение на нём “постепенно” повышается, что, в свою очередь, приведёт к уменьшению падения напряжения на резисторе uR = U — uC, а следовательно и уменьшению тока в RC-цепи, вплоть до его ”полного” прекращения. Напряжение на конденсаторе, во время заряда, нарастает по экспоненциальной зависимости согласно формуле:

где t – любой момент времени, τ – постоянная времени заряда конденсатора в секундах:

Значения напряжения на резисторе и общего тока RC-цепи уменьшаются также по экспоненциальному закону:

Рисунок 2. Переходные процессы в RC-цепи. (а – при подключении к источнику; б –при замыкании цепи)

Из приведенных выше математических выражений, а также изображений на рис.2,а можно сделать вывод что, величина τ характеризует скорость заряда конденсатора или скорость затухания переходного процеесса. Через время t= τ , после подключения RC-цепи к источнику постоянного напряжения, напряжение на конденсаторе достигнет значения

, а напряжение на резисторе уменьшится до значения . Процесс заряда конденсатора будет продолжаться до тех пор, пока напряжения на его выводах не достигнет значения равного напряжению источника питания U. Когда заряд конденсатора закончится — ток в RC-цепи становится равным нулю. Теоретически, для “полного” заряда конденсатора, потребуется бесконечно большое время.

Поэтому, принято считать, что процесс заряда конденсатора заканчивается, когда напряжение на нём достигает значений 90,95 или 99% величины напряжения источника питания U=E.

В подавляющем большинстве случаев, как на практике, так и в теоретических расчётах, время t в течение которого конденсатор считается полностью заряженным, принимают равным 3τ. Также это можно отнести ко всем электрическим цепям, где токи меняются по экспоненциальному закону.

Если установить ключ К в положение ”2” (рисунок 1) то начнётся новый переходный процесс — разряд конденсатора С через резистор R (рисунок 2,a). В этом случае предварительно заряженный конденсатор становится фактическим источником напряжения, т.к. источник внешнего напряжения E=U перестаёт действовать и для любого момента времени становится действительным соотношение uC + uR = 0, то есть uC = -uR.

Ток в начальный момент ( t=0) разряда конденсатора будет иметь максимальное значение:

Но по мере разряда конденсатора (превращения накопленной в его электрическом поле энергии в тепловую на резисторе R ) напряжение на нём будет уменьшаться и, как следствие, будут уменьшаться по экспоненциальному закону ток в цепи и напряжение на резисторе:

Через некоторое время, например t=3τ (см. приведенную выше табл.), на конденсаторе останется примерно 5% напряжения от начального значения, что условно можно считать окончанием переходного процесса и возвратом схемы в исходное состояние когда: uC = 0, uR = 0, i = 0.

Теперь рассмотрим переходной процесс в RL-цепи (рис.3), в состав которой входят резистор R, катушка индуктивности L, ключ К и источник питания, на зажимах которого поддерживается постоянное напряжение E=U.

Рисунок 3. Схема RL-цепи.

При подключении к источнику E=U, переводом ключа “K” в положение 1, ток в RL-цепи не сразу достигнет значения i=U/R, а будет нарастать по экспоненциальному закону (см.рис.4,а). Это связано с тем, что кроме источника E=U, в цепи с индуктивностью L начинает действовать ЭДС самоиндукции eL, препятствующая нарастанию тока. В момент включения, когда t=0, ЭДС самоиндукции максимальна и принимает значение eL = -U, при этом все напряжения выделяются на катушке индуктивности L :

, так как при t=0 ток в цепи i=0, следовательно iR = 0. С течением времени напряжение на катушке uL уменьшается, а ток i и напряжение на резисторе uR экспоненциально возрастают:

Постоянная времени RC — RC time constant

Постоянная времени RC

, также называемая тау, постоянная времени (в секундах ) RC-цепи , равна произведению сопротивления цепи (в омах ) на емкость цепи (в фарадах ), т. Е.

τ знак равно р C [секунды]

Это время, необходимое для зарядки конденсатора через резистор от начального напряжения заряда, равного нулю, до примерно 63,2% от значения приложенного напряжения постоянного тока или для разряда конденсатора через тот же резистор примерно до 36,8% от его начального значения. напряжение заряда. (Эти значения получены из математической константы e

: и .) Следующие формулы используют ее, принимая постоянное напряжение, приложенное последовательно к конденсатору и резистору, для определения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени: 63,2 % знак равно 1 — е — 1 >

Помехоподавляющая RC-цепочка в реле (сетевой снаббер)

Помехоподавляющая RC-цепочка (сетевой снаббер, сетевой демпфер, RC SNUBBER NETWORKS, RC element) – это устройство, используемое для подавления выбросов напряжения (Surge suppressors) в электрических цепях, устройство гашения импульсных перенапряжений.
Применение RC-цепочек сглаживает и ограничивает коммутационные перенапряжения на элементах схем релейного управления, снижает искрообразование на контактах управляющего реле и тем самым увеличивает его коммутационный ресурс. Предотвращение или сведение к минимуму искрения в контактах реле снижает интенсивность электромагнитного излучения, генерируемого в моменты коммутации, что обеспечивает необходимую помехоустойчивость при работе чувствительных электронных схем.

Дугогасящая RC-цепочка работает в момент размыкания контактов, отключающих катушку, поглощает и подавляет энергию дуги, замыкает выброс напряжения на себя, позволяя паразитной энергии обойти управляющий контакт.

RC-цепочка состоит из соединенных последовательно конденсатора и резистора. Конденсатор должен поглощать энергию импульсов тока и напряжения и обеспечивать защиту от потенциалов, генерируемых индуктивностью в процессе отключения и дребезга контактов. Диэлектрик конденсатора, используемого в снабберной цепи должен выдерживать величину перенапряжения. Резистор должен быть безындуктивного типа для обеспечения высокого быстродействия снаббера и проведения тока импульсной помехи. Искровые разряды и индуцированные шумы, возникающие при коммутации, должны эффективно поглощаться RC-цепочкой.

При управлении электромагнитными устройствами, имеющими значительную индуктивность (например, соленоиды электромагнитных клапанов, катушки электромагнитных пускателей, реле и контакторов), рекомендуется применять помехоподавляющие RC-цепочки в соответствии со схемой, приведенной на рис.1.

Рис. 1. Включение помехоподавляющей RC-цепи в схему управления контакторами. а) схема без RC-цепочки; б) схема с подключенной RC-цепочкой

Подробные осциллограммы, снятые в схеме управления реального АВР приведены ниже на рисунках.

На рис. 2 приведена осциллограмма напряжения 220 В на катушке управляющего реле в схеме без помехоподавляющей RC-цепи, в соответствии с рис. 1а. В схеме использован контактор АВВ ESB 20-11 Выброс напряжения при отключении контактов управляющего реле составил +2200 В (1 дел.=1000 В).

Рис. 2. Оосциллограмма напряжения на катушке управляющего реле в схеме без помехоподавляющей RC-цепи.

На рис. 3 приведена осциллограмма напряжения 220 В на катушке управляющего реле в схеме с установленной помехоподавляющей RC-цепочкой, в соответствии с рис. 1б. В схеме использован контактор АВВ ESB 20-11 Выброс напряжения при отключении контактов управляющего реле отсутствует (1 дел.=1000 В).

Рис. 3. Осциллограмма напряжения на катушке управляющего реле в схеме с установленной помехоподавляющей RC-цепочкой.

Рис. 4. Способ подключения RC-цепи к контактору

Примечание. Применение помехоподавляющей RC-цепочки с указанными параметрами приводит к незначительному увеличению времени отключения контактора/магнитного пускателя. Эта задержка составляет от 0,05 до 0,015 с, в зависимости от типа контактора. В большинстве применений увеличением задержки можно пренебречь.

Неправильный подбор параметров помехоподавляющей RC-цепи на катушке приводит к замедлению работы контактора в определенных режимах работы и еще большему дребезгу его силовых контактов.

Постоянная времени

Постоянная времени — характеристика экспоненциального процесса, определяющая время, через которое амплитуда процесса упадёт в «е» раз.

В радиотехнике

В радиотехнике постоянная времени характеризует длительность протекания переходного процесса, обычно это тот промежуток времени, в течение которого реакция схемы на единичный скачок убывает в «е» раз (е≈2.718) и напряжение достигает 63,2 % своего установившегося значения. Постоянная времени связана с граничной частотой, либо с частотой пропускания фильтра нижних частот.